Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Проектирование систем снижения шума оборудования при высокочастотном импульсном характере технологического процесса. Учебное пособие
.pdf
11
Учитывая, что шарик обладает лишней степенью подвижности, получаем:
3 1 2W
.
Таким образом, ведущими являются 2-е и 3-е звенья, имеющие самостоятельные приводы.
До ударного взаимодействия шарики прижаты к упрочнителю за
счет центробежных сил. В момент соприкосновения шарика с трубой
происходит их ударное взаимодействие.
Рассмотрим общий случай ударного взаимодействия, когда при соударении звеньев между ними возникают импульсы не только вдоль
линии удара, но и перпендикулярно к ней (в плоскости, касательной и соударяющимися поверхностями звеньев в точке или по линии контакта).
В качестве ударных импульсов приняты (см. рис. 2.2)
34
S
и
43
S
(в точке касания звеньев 3-го и 4-го),
42
S
и
24
S
(в точке касания звеньев
2-го и 4-го), а также импульсы ударных реакций в опоре вибровозбуди-
теля
03
S
и
30
S
и трубы лонжерона
02
S
и
20
S
. Первая цифра справа от
импульса означает номер звена, со стороны которого передается импульс, вторая – номер звена, которому сообщается импульс.
Истинные направления и модули импульсов (и их проекций) определяются в результате расчета, но на расчетной схеме соблюден принцип равенства действия и противодействия:
4334
SS
;
2442
SS
.
В соответствии с изложенным, движение звеньев механизма рассматривается как плоское относительно инерциальных систем координат О3Х3Y3Z3, О2Х2Y2Z2, оси которых О3Х3 и О2Х2 параллельны линии
удара между 2-м и 4-м звеньями, а оси О3Y3 и О2Y2 перпендикулярны
этой линии. Оси О3Z3 и О2Z2 перпендикулярны плоскости рис. 2.2.
Кроме отмеченных систем координат, с 4-м звеном, совершающим
плоскопараллельное движение, связана поступательно движущаяся система координат О4Х4Y4 с началом в центре масс звена 4.
Кроме этого, в качестве первого приближения, скорости центров
масс 2-го и 3-го звеньев приняты равными нулю, поскольку, во-первых,
упрочнитель 3 в соответствии с технологическим процессом изготовления подвергается динамической балансировке, а во-вторых, угловая
скорость трубы лонжерона в процессе упрочнения составляет 0,2–0,4 %
от угловой скорости упрочнителя. Другими словами, в первом прибли-
12
жении будем считать, что оси вращения упрочнителя 3 и трубы лонжерона 2 являются их главными центральными осями инерции.
Задачу ударного взаимодействия звеньев механизма рассмотрим с
использованием теорем об изменении количества движения и главного
момента количества движения системы при ударе. Для решения этой
задачи найдем сначала количество движения и момент количества движения для каждого звена механизма.
Момент количества движения KZ4 шарика относительно оси О3Z3,
как совершающего сложное движение, запишем в виде:
4Z Z Z
K M Q K K
, (2.4)
где
Z
MQ
– момент вектора количества абсолютного движения шарика,
приложенного в его центре масс относительно оси О3Z3; K – момент ко-
личества движения шарика относительно оси, проходящей через центр
масс параллельно оси О3Z3.
Учитывая, что шарик совершает плоскопараллельное движение,
Z CZ CZ
KI
, где
CZ
I
– момент инерции шарика относительно его цен-
тральной оси, параллельной оси О3Z3, CZ – угловая скорость шарика
относительно его центральной оси (параллельной оси О3Z3)
Вектор количества движения шарика в абсолютном движении
44 O
vmQ
, где m4 – масса шарика, О4 – центр его масс,
4O
v
– абсо-
лютная скорость центра масс шарика, имеющая вид
r
O
e
OO
vvv
444
.
Тогда
4 4 4 4 4
er
Z Z O Z O CZ CZ
K M m v M m v I
.
Центр масс шарика О4 при относительном движении движется
прямолинейно и пересекает ось О3Z3, поэтому момент количества дви-
жения при относительном движении
0
44
r
OZ
vmM
.
В связи с этим
4 4 4
e
Z Z O CZ CZ
K M m v I
,
где
4 3 3 4
e
OO
v O O
, а модуль момента количества движения
2
433444
OOmvmM
O
e
OZ
,
где
O3
– угловая скорость 3-го звена до удара;
43
OO
– расстояние от
центра О3 до центра масс 4-го звена О4 (шарика).
С учетом изложенного получим:
CZCZOZ
IOOmK
2
43344
. (2.5)
13
Проанализируем модули слагаемых, входящих в формулу (2.5).
Момент инерции однородного шарика относительно центральной
оси
2
4
5
2
RmI
CZ
, где R – радиус шарика. Тогда
CZOZ
RmOOmK
2
4
2
43344
4,0
. (2.6)
В производственных условиях используются шарики радиусом
3,5–10 мм, а у большинства упрочнителей расстояние О3О4 находится в
пределах 200 мм.
С учетом изложенного получим:
CZOZ
mmK
4
22
344
01,04,02,0
. (2.7)
Заметим, что до удара
0
CZ
.
Если предположить, что после удара угловые скорости будут одинаковы, то даже в этом случае второе слагаемое в равенстве (2.7) составляет 0,1 % от первого. Это позволяет, с указанной погрешностью,
пренебречь вращением шарика в относительном движении. Тогда
2
43344
OOmK
OZ
. (2.8)
Используя теорему об изменении главного момента количества
движения механической системы, составляем уравнения изменения
моментов количества движения для каждого звена механизма. При этом
звенья (связи), действующие на рассматриваемое звено, отбрасываем,
а их действие заменяем импульсами реакций связей.
Для трубы лонжерона 2, принимая ось ее вращения совпадающей с
главной центральной осью инерции, изменение момента количества
движения имеет вид:
2 2 20 42 2ZY
I S AO
, (2.9)
где
2Z
I
– момент инерции звена 2 относительно оси О2Z2; 2, 20 – уг-
ловые скорости этого звена после и до удара; А – точка касания шарика
с трубой лонжерона;
42Y
S
– проекция импульса со стороны 4-го звена
на линию, перпендикулярную линии удара, а знак «минус» в правой части означает, что направление момента проекции импульса относительно центра О2 совпадает с направлением вращения часовой стрелки.
Это же правило принято для указания направлений моментов других
импульсов, а также угловых скоростей звеньев.
14
Для упрочнителя 3, учитывая, что ось его вращения O3Z3 также является главной центральной осью инерции, изменение момента количества движения запишем так:
RSOOSI
n
Z
4343433033
, (2.10)
где
3Z
I
– момент инерции упрочнителя 3 относительно оси O3Z3,
3
и
30
– угловые скорости 3-го звена после и до удара,
n
S
43
и
43
S
– проек-
ции импульса
43
S
на линию удара 3-го и 4-го звеньев и на перпендику-
ляр к ней.
С учетом (2.8), изменение момента количества движения шарика 4
относительно оси O3Z3 имеет вид:
2
4 3 4 3 30 34 34 3 4 24 3 24
n
YX
m O O S R S O O S O B S AB
, (2.11)
где
n
S
34
,
34
S
– проекции импульса
34
S
на линию удара между 3-м и 4-м
звеньями и на перпендикуляр к ней, а
43
OO
и R – плечи этих импульсов
относительно центра
3
O
;
24Y
S
,
XS24
– проекции импульса
24
S
на линию
удара между 2-м и 4-м звеньями и на перпендикуляр к ней;
BO
3
– длина
перпендикуляра (см. рис. 2.2), опущенного из центра О3 на линию, перпендикулярную линии удара AO2.
В равенствах (2.4) – (2.10) моменты импульсов ударных реакций со
стороны станины механизма не учитывались, так как в соответствии с
принятыми допущениями, линии их действия проходят через оси вращения звеньев и не создают моментов относительно этих осей.
Кроме этого, копирные ролики, перекатываясь по поверхности
трубы лонжерона с малыми скоростями, не создают ударные импульсы.
Поэтому их взаимодействие оценивается силами и реакциями связей,
которые относятся к конечным силам, действие которых при ударных
процессах не учитывается.
Составим в соответствии с теоремой об изменении количества
движения механической системы уравнения изменения количества
движения для всех звеньев механизма.
Так как оси вращения 2-го и 3-го звеньев являются главными центральными осями инерции, скорости их центров масс равны нулю и изменение количества движения этих звеньев не происходит.
15
Изменение количества движения шарика 4 в проекциях на неподвижные оси координат O3X3 и O3Y3 с учетом направления скоростей до
удара имеет вид:
4 4 4 24 34 34
cos sin ,
n
O X O X X
m U V S S S
(2.12)
4 4 4 24 34 34
sin cos ,
n
O Y O Y Y
m U V S S S
(2.13)
где α и β – углы на рис. 2.2;
XOU4
и
4OX
V
– проекции скоростей центра
масс 4-го звена на ось O3X3 после и до удара;
4OY
U
и
4OY
V
– проекции
скоростей центра масс звена 4 на ось O3Y3 после и до удара.
Следовательно, ударное взаимодействие звеньев механизма описывается пятью уравнениями.
С учетом принципа равенства действия и противодействия
(см. рис. 2.2), запишем равенства моделей проекций импульсов:
nn
SS
4334
,
4334
SS
,
XX
SS
2442
,
42 24XY
SS
.
Таким образом, число неизвестных проекций импульсов равно 4,
в качестве которых примем:
n
S
43
,
43
S
,
XS24
,
24Y
S
.
Число неизвестных, входящих в уравнения (2.9)–(2.13), равно 8:
2
,
3
,
n
S
43
,
43
S
,
XS24
,
42Y
S
,
XOU4
,
4OY
U
, а число уравнений 5.
Для решения (замыкания) системы уравнений используем гипотезы
Ньютона и «f-гипотезу» Рауса.
Согласно гипотезе Рауса, связь между касательными и нормальными импульсами выражается подобно закону Кулона для трения:
24 24XY
S fS
,
43 43
n
S fS
,
где f – динамический коэффициент трения.
В соответствии с гипотезой Ньютона, относительные скорости
центров тяжести соударяющихся звеньев в проекциях на ось O3Y3 имеют вид:
4 3 4 3O Y O Y O Y O Y
U U R V V
, (2.14)
где
3OY
U
– проекция на ось O3Y3 скорости центра масс 3-го звена после
удара; R – коэффициент восстановления;
3OY
V
– проекция на ось O3Y3
скорости центра масс 3-го звена до удара.
16
Учитывая, что центр масс 3-го звена принят неподвижным, т. е.
30OY
U
и
30OY
V
, то уравнение (2.14) примет вид:
44O Y O Y
U R v
.
Представим уравнения виброударного взаимодействия звеньев механизма в виде:
2 2 20 42 2
,
ZY
I S AO
3 3 30 43 3 4 43
,
n
Z
I S O O S R
2
4 3 4 3 30 34 34 3 4 24 3 24
,
n
YX
m O O S R S O O S O B S AB
4 04 04 24 34 34
cos sin ,
n
X X X
m U V S S S
4 04 04 24 34 34
sin cos ,
n
Y Y Y
m U V S S S
(2.15)
24 24XY
S fS
43 43
,
n
S fS
44
.
O Y O Y
U RV
Из уравнений (2.15) определяются ударные импульсы и скорости в
момент соприкосновения упрочняющего инструмента с изделием. Длительность ударного импульса, согласно теории контактирования твердых тел с учетом геометрии упрочняющего инструмента и упрочняемого изделия (для трубы лонжерона), и частота воздействия определяются
следующими выражениями:
0,4
0,2
22
12
12
12
1 3 2
1 2 0
11
2 1 1
1,6
k
mm
EE
R R R
q m m V
,
в
60
zf
,
где m1 и m2 – массы упрочняющего инструмента и упрочняемого изделия соответственно, кг; μ1 и μ2 – коэффициенты Пуассона; Е1 и Е2 – модуль Юнга, Па; R1 – радиус шарика, м; R2 и R3 – главные радиусы кривизны упрочняемого изделия, м; qk – числовой коэффициент; V0 – скорость в момент контакта, м/с; nу – частота вращения упрочнителя, мин–1;
z – число рядов шариков.
При центробежно-ротационном наклепе силовое возмущение носит
периодический характер и по своей сути соответствует условиям рабо-
17
ты цилиндрической или дисковой фрезы. В этом случае силовое возмущение представим в следующем виде:
*
у
*
2
( ) cos 1
30
nz
F t P t q
z
, (2.16)
где t – время силового воздействия, с; P – амплитуда силового воздействия, Н; q – номер ряда шариков; z* – количество шариков.
Технологический процесс центробежно-ротационного наклепа
происходит при очень низкой частоте вращения изделия (не более
6 мин–1). Поэтому скорость продольной подачи составляет 10–4–10
–5
м/с.
Вследствие этого при моделировании вибраций такого процесса ограничиваются задачей, когда технологическая нагрузка приложена в координате Z
.
Упрочняемые изделия рассматриваются как балки и оболочки на
шарнирных или жестких опорах.
С учетом задания силового воздействия (2.16) дифференциальное
уравнение изгибных колебаний заготовки на шарнирных опорах и его
решение относительно скоростей колебаний определяются следующим
образом:
4 4 2
4 2 2 2
*
у
0
*
1
4 4 2
4 2 2 2
*
у
0
*
1
( ) ( ) ( )
2
2
sin cos 1 sin ,
30
( ) ( ) ( )
22
sin cos 1 sin .
30
xx
y
k
yy
x
k
EJ z J z F z
z z t t
P n z
kz kz
tq
l l z l
EJ z J z F z
z z t t
nz
P kz kz
tq
l l z l
Произведя преобразования, получим:
24
2
2
*
у
0
*
1
24
2
2
*
у
0
1
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
2
2
sin cos 1 ,
30
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
22
sin cos 1
30
xx
y
k
yy
x
k
k t k
J z F z EJ z t
l t l
P n z
kz
tq
l l z
k t k
J z F z EJ z t
l t l
nz
P kz
tq
l l z
*
.
18
2
42
*
у
*
у
2
2
4 2 8
*
1
2
у
*
у
Re
( ) ( ) ( )
30
2
30
( ) ( ) ( ) ( )
30
2
sin 1
30
xx
y
k
x x x
t
nz
kk
EJ z J z F z
ll
P n z
l
nz
k k k
EJ z J z F z EJ z
l l l
nz
tq
z
0
*
sin sin ( ) sin ,
kz kz kz
Kt
l l l
2
42
*
у
*
у
2
2
4 2 8
*
1
2
у
*
у
Re
( ) ( ) ( )
30
2
30
( ) ( ) ( ) ( )
30
2
sin 1
30
yy
x
k
y y y
t
nz
kk
EJ z J z F z
ll
nz
P
l
nz
k k k
EJ z J z F z EJ z
l l l
nz
tq
z
0
*
sin sin ( ) sin .
kz kz kz
Kt
l l l
Для заготовки, представляющей собой оболочку на жестких опорах:
24
2
2
*
у
3
0
*
1
24
2
2
*
у
3
0
*
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
6
2
sin cos 1 ,
30
d ( )
( ) ( ) ( ) ( )
d
62
sin cos 1
30
xx
y
k
yy
x
k t k
J z F z EJ z t
l t l
P n z
kz
tq
l l z
k t k
J z F z EJ z t
l t l
nz
P kz
tq
l l z
1,k
24
2
2
*
у
3
0
*
1
3 d ( ) 3
( ) ( ) ( ) ( )
d
6
2
sin cos 1 ,
30
xx
y
k
k t k
J z F z EJ z t
l t l
P n z
kz
tq
l l z
24
2
2
*
у
3
0
*
1
3 d ( ) 3
( ) ( ) ( ) ( )
d
62
sin cos 1 ;
30
yy
x
k
k t k
J z F z EJ z t
l t l
nz
P kz
tq
l l z
19
2
42
**
уу
2
2
4 2 8
*
1
2
у
*
у
3
0
()
30 30
2
Re
()
30
sin sin sin
xx
y
k
x x x
n z n z
kk
EJ J F z
ll
P
tl
nz
k k k
EJ J F z EJ
l l l
nz
kz kz
ll
*
2
42
**
уу
2
2
4 2 8
*
2
у
3
0
2
1
30
33
()
30 30
3 3 3
()
30
3
sin sin sin
xx
x x x
tq
z
n z n z
kk
EJ J F z
ll
nz
k k k
EJ J F z EJ
l l l
n
kz kz
ll
*
у
18
*
23
1 ( )sin ( )sin ;
30
z
kz kz
t q K t K t
z l l
2
42
**
уу
2
2
4 2 8
*
1
2
у
*
у
3
0
()
30 30
2
Re
()
30
sin sin sin
yy
x
k
y y y
n z n z
kk
EJ J F z
ll
P
tl
nz
k k k
EJ J F z EJ
l l l
nz
kz kz
ll
*
2
42
**
уу
2
2
4 2 8
*
2
у
3
0
2
1
30
33
()
30 30
3 3 3
()
30
3
sin sin sin
yy
y y y
tq
z
n z n z
kk
EJ J F z
ll
nz
k k k
EJ J F z EJ
l l l
n
kz kz
ll
*
у
20
*
23
1 ( )sin ( )sin .
30
z
kz kz
t q K t K t
z l l
20
2.2. Математическое описание виброскоростей упрочняющего
инструмента и элементов установки динамических испытаний
Инструмент представляет собой кольцо, в котором по периферии
закреплены шарики, вращающиеся с круговой частотой Ω.
Рассмотрим элемент кольца (рис. 2.3). Ударник имеет высокую частоту собственных колебаний, которая определяется по формуле:
2
2
2
0
1
1
k
kk
EJ
P
R
mk
,
где R – радиус кольца, м; m0 – распределенная масса, кг/м.
На вращающееся кольцо действует сила
2
0
dmu
. Найдем сумму
проекций сил на радиус:
2
00
d d d d 0.m u N P m u
Рис. 2.3. Расчетная схема упрочнителя
Продольное усилие выражается через радиальное перемещение
кольца:
u
N EF
R
,
где F – площадь поперечного сечения кольца, м2.
N
N
R
d
u
0
d
un
F m u
P
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]