Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы управления цепями поставок модели и методы. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
1
ТЕМА 5. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ
ЛИНЕЙНОГО СПЛАЙНА
Постановка задачи
Известен сложный материальный поток, представленный парами значений
( , )
i i i
M x y
, за определенное число месяцев
1,im
. Построить по этим дан-
ным линейный сплайн, исследовать его свойства.
Этапы решения задачи
1. Нанести все точки
( , ), 1,
i i i
M x y i m
на координатную плоскость.
2. Записать уравнение сплайна на каждом отрезке
1
[ , ]
ii
MM
(сколько
их?), используя формулу:
11
ii
i i i i
y y x x
y y x x
.
3. Преобразовать записанные уравнения к стандартному виду линейной
функции
ii
y k x b
.
4. Построить график сплайна и убедиться в том, что он проходит через
нужные точки.
5. Найти по точкам
( , ), 1,
i i i
M x y i m
уравнение линейного тренда и по-
строить его график.
6. Найти координаты точек пересечения сплайна и тренда.
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
Таблица 8
x
0 1 2
3 y 2 1 0
4
По данным табл. 8 имеем, что
1 2 3 4
0, 1, 2, 3x x x x
;
1 2 3 4
2, 1, 0, 4y y y y
, т.е.
4m
,
1 2 3 4
(0,2), (1,1), (2,0), (3,4).M M M M
Следо-
вательно, сплайн состоит из трех отрезков.
Уравнение первого имеет вид
20
1 2 1 0
yx
. Преобразовав это выражение
к стандартному виду, получаем, что
2yx
при
01x
.
22
Уравнение второго имеет вид
11
0 1 2 1
yx
. Преобразовав это выражение к
стандартному виду, получаем, что
2yx
при
12x
, т.е. уравнения на от-
резках
[0,1]
и
[1,2]
совпадают.
Уравнение третьего имеет вид
02
4 0 3 2
yx
. Преобразовав это выражение
к стандартному виду, получаем, что
48yx
при
23x
.
Таким образом, искомое уравнение линейного сплайна имеет следующий
вид:
2 , 0 1,
2 , 1 2,
4 8, 2 3.
xx
y x x
xx
Можно легко убедиться, что сплайн проходит через точки
1 2 3 4
, , , .M M M M
Уравнение линейного тренда в данном случае
/ 2 1yx
. Точки пересе-
чения тренда и сплайна следующие:
(2/ 3;4/ 3), (18/7;16/7).NK
Промежуточ-
ные выкладки здесь опущены (в отчете их следует привести!). Графическая иллюстрация приведена на рис. 7.
Рис. 7. Линейный сплайн и линейный тренд
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении Г.
23
ТЕМА 6. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ
КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА
Постановка задачи
Известен сложный материальный поток, представленный парами значений
( , )
i i i
M x y
, за определенное число месяцев
1,im
. Построить по этим дан-
ным кубический сплайн, исследовать его свойства.
Этапы решения задачи
Сплайн ищется в виде:
23
( ) ( ) ( ) , 1,
26
ii
i i i i i
cd
y a b x x x x x x i m
,
где коэффициенты
, , ,
i i i i
a b c d
определяются на каждом отрезке
1
[ , ]
ii
MM
.
1. Определить значение m и количество фрагментов, из которых состоит
сплайн.
2. Определить значение h — шаг сплайна по x.
3. Найти значения
i
a
из условия
()
ii
y x y
.
4. Записать систему уравнений для нахождения
i
c
, пользуясь равенством
-1 1 -1 1
4 6( 2 )/
i i i i i i
c c c y y y h
, и решить ее.
5. Найти значения
i
d
, пользуясь формулой
1
()
ii
i
cc
d
h
.
6. Найти значения
i
b
, пользуясь формулой
1
2
()
(2 ) (6 )
i i i i
i
c d y y
b
h h h
.
7. Записать уравнение кубического сплайна.
8. Нанести все точки
( , ), 1,
i i i
M x y i m
на координатную плоскость.
9. Изобразить сплайн графически, убедиться, что он проходит через нуж-
ные точки.
10. Найти значения при
1
, 1,
2
ii
i
xx
x i m
а) кубического сплайна;
б) линейного сплайна.
11. Сравнить полученные в п. 10 значения. Сделать вывод.
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
24
Таблица 9
x
0 1 2
3 y 2 1 0
4
По данным табл. 9 имеем, что
1 2 3 4
0, 1, 2, 3x x x x
;
1 2 3 4
2, 1, 0, 4y y y y
, т.е.
4m
,
1 2 3 4
(0,2), (1,1), (2,0), (3,4).M M M M
Следо-
вательно, сплайн состоит из трех фрагментов.
Определим значение шага
2 1 3 2 4 3
1h x x x x x x
.
Найдем значения
i
a
:
1 1 2 2 3 3
2, 1, 0a y a y a y
.
Запишем систему уравнений для нахождения c
i
1 2 3 1 2 3
2 3 4 2 3 4
4 6( 2 ),
4 6( 2 ).
с c c y y y
ccс y y y
В данном случае
14
0, 0cc
(почему?), и система упрощается
23
23
4 6(2 2 0),
4 6(1 0 4);
cc
cc
23
23
4 0,
4 30.
cc
cc
Отсюда имеем, что
2
15 30.c
Окончательно получаем, что
23
2, 8.cc
Найдем значения di:
1
20
2,
1
d
2
82
10,
1
d
3
08
8.
1
d
Найдем значения bi:
1
2
1 2 ( 2) 2
0,
1 6 1 3
b
2
2 10 5
1,
2 6 3
b
3
( 8) 1 4
4 4 .
63
b
Составим уравнение кубического сплайна, для чего найденные коэффициенты
, , ,
i i i i
a b c d
подставим в общее уравнение. Получим следующее выраже-
ние:
3
23
23
21
2 , 0 1,
33
55
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) , 1 2,
33
44
( 2) 4( 2) ( 2) , 2 3.
33
x x x
S x x x x x
x x x x
.
25
Найдем значения кубического сплайна средних точках
12
1
0 1 1
2 2 2
xx
x
,
23
2
1 2 3
2 2 2
xx
x
,
34
3
2 3 5
2 2 2
xx
x
:
1
1 1 1 39
2
2 3 24 24
S
,
2
3 5 1 5 1 1
1
2 6 4 3 8 8
S
,
3
5 4 1 9 3
1
2 6 6 6 2
S
.
Значения линейного сплайна (см. тему 5) в тех же точках следующие:
13
22
y
,
31
22
y
,
5
2
2
y
.
Сравнение полученных значений показывает, что модули разности значений линейного и кубического сплайнов в средних точках возрастают:
1 2 3
1 1 1 3 3 3 3 3 1
2 2 8 2 2 8 2 2 2
S y S y S y
.
Графическая иллюстрация приведена на рис. 8.
Рис. 8. Кубический сплайн и линейный сплайн
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении Г.
26
ТЕМА 7. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Постановка задачи:
Известны результаты статистических наблюдений за величинами материальных потоков X и Y, составлена корреляционная таблица. Выполнить регрессионный анализ влияния величины материального потока X на величину
материального потока Y.
Этапы решения задачи
1. Вычислить выборочные вероятности
ij
ij
n
pn
, где
,ijij
nn
, и записать
закон распределения двумерной случайной величины
( , )XY
.
2. Найти одномерные законы распределения составляющих величин
Х и У.
3. Вычислить числовые характеристики величин Х и У:
математические ожидания
( ) , ( )
x i i y j j
ij
m p x x m p y y
;
дисперсии
22
( )( ) , ( )( )
x i i x y j j y
ij
D p x x m D p y y m
;
средние квадратичные отклонения
,
x x y y
DD
.
4. Вычислить совместное математическое ожидание
,
( , )
ij i j
ij
M X Y p x y
.
5. Найти коэффициент корреляции
( , )
( , )
xy
xy
M X Y m m
XY
.
6. Записать уравнение линейной регрессии У на Х:
( , ) ( )
y
xy
x
y X Y x m m
.
7. По величине коэффициента корреляции сделать вывод о том, насколько
сильно влияет величина материального потока X на величину материального
потока Y.
8. Выполнить геометрическую иллюстрацию.
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
27
Таблица 10
Y/X
0,1
0,2
0,3
21
1 2 30
39
3
10
10
82
20
20
4
Найдем значение
1 2 30 3 10 10 20 20 4 100.n
Отсюда име-
ем, что закон распределения двумерной случайной величины
( , )XY
выглядит,
как (см. табл. 11)
Таблица 11
y\x
0,1
0,2
0,3
21
0,01
0,02
0,3
39
0,03
0,1
0,1
82
0,2
0,2
0,04
Одномерные законы распределения составляющих случайных величин Х
и У имеют вид следующий вид (как они получены?):
X
0,1
0,2
0,3
p
0,24
0,32
0,44
Y
21
39
82
p
0,33
0,23
0,44
Найдем математические ожидания для случайных величин X и Y:
0,1 0,24 0,2 0,32 0,3 0,44 0,22,
x
m
21 0,33 39 0,23 82 0,44 51,98
y
m
Найдем дисперсии для случайных величин X и Y
2 2 2
2 2 2
(0,1 0,22) 0,24 (0,2 0,22) 0,32 (0,3 0,22) 0,44 0,0064,
(21 51,98) 0,33 (39 51,98) 0,23 (82 51,98) 0,44 752.
x
y
DD
Найдем средние квадратичные отклонения
σ 0,0064 0,08, σ 752 27,45.
xy
Вычислим совместное математическое ожидание
( , ) 0,1 21 0,01 0,2 21 0,02 0,3 21 0,3 0,1 39 0,03
0,2 39 0,1 0,3 39 0,1 0,1 82 0,2 0,2 82 0,2 0,3 82 0,04 9,966.
M X Y
28
Найдем коэффициент корреляции
9,966 0,22 51,98
( , ) 0,67
0,08 27,42
XY
.
Запишем уравнение линейной регрессии У на Х
27,42
0,67 ( 0,22) 51,98
0,08
yx
.
После преобразований это уравнение принимает вид
229,5 102,5yx
.
Коэффициент корреляции
( , ) 0,5XY
. Поэтому величина материально-
го потока X оказывает существенное влияние на величину материального потока Y. Линейная регрессия применима. Поскольку
( , ) 0XY
, то зависимость
обратная, т.е. при увеличении материального потока X происходит уменьше-
ние материального потока Y.
Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 9.
Рис. 9. Линейная регрессия
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении Д.
29
ТЕМА 8. АВС — АНАЛИЗ
Постановка задачи
Известна стоимость единицы и годовое потребление для нескольких видов сырья. Провести по этим данным ABC — анализ и разбить все виды сырья
на соответствующие номенклатурные группы.
Этапы решения задачи
1. Составить вспомогательную таблицу, дополнив исходные данные тре-
мя столбцами: «Годовое потребление, руб.», «Годовое потребление, %» и «Место».
2. Расположить все виды сырья в порядке уменьшения стоимости годово-
го потребления, т.е. упорядочить таблицу по столбцу «Место».
3. Выделить номенклатурные группы А (наиболее ценные), В (средние) и
С (малозначимые).
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
Таблица 12
Виды сырья
Стоимость единицы, руб.
Годовое потребление, ед.
С1
381
66500
С2
711
35700
С3
103
100200
С4
217
69100
С5
158
74500
С6
456
72300
С7
1142
19800
С8
458
85700
С9
102
102000
Добавим в табл. 12 дополнительные столбцы:
Годовое потребление, руб. = Стоимость единицы, руб.× Годовое потребление, ед.;
Годовое потребление, % = Годовое потребление, руб./ Сумма × 100%;
Место (порядковый номер по годовому потреблению).
30
Таблица 13
Виды
сырья
Стоимость
ед. руб.
Годовое
потреб. ед.
Годовое
потреб. руб.
Годовое
потреб. %
Место
С1
381
66500
25336500
13,12
4
С2
711
35700
25382700
13,15
3
С3
103
100200
10320600
5,34
9
С4
217
69100
14994700
7,77
6
С5
158
74500
11771000
6,10
7
С6
456
72300
32968800
17,08
2
С7
1142
19800
22611600
11,71
5
С8
458
85700
39250600
20,33
1
С9
102
102000
10404000
5,39
8
Сумма:
193040500
100,00
Расположим все виды сырья в порядке уменьшения стоимости годового
потребления, т.е. по последнему столбцу.
Таблица 14
Виды
сырья
Годовое
потреб. ед.
Годовое
потреб. руб.
Годовое
потреб. %
Годовое потреб.
по нараст., %
Группа
С8
85700
39250600
20,33
20,33
A
С6
72300
32968800
17,08
37,41
A
С2
35700
25382700
13,15
50,56
B
С1
66500
25336500
13,13
63,69
B
С7
19800
22611600
11,71
75,40
B
С4
69100
14994700
7,77
83,17
C
С5
74500
11771000
6,10
89,27
C
С9
102000
10404000
5,39
94,66
C
С3
100200
10320600
5,34
100,00
C
Выделим номенклатурные группы. Виды сырья С6 и С8 в сумме дают
37,41 % общей стоимости всех видов сырья, причем разрыв между С6, занимающим 2-е место, и С2, занимающим 3-е место, довольно велик, поэтому С6 и
С8 отнесены к группе А. Виды сырья С2, С1 и С8 в сумме дают 37,99 % общей
стоимости всех видов сырья, причем разрыв между С7, занимающим 5-е место,
и С4, занимающим 6-е место, довольно велик, поэтому С2, С1 и С8 отнесены к
группе В. Оставшиеся виды сырья С4, С5, С9, С3 отнесены к группе С.
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении Е.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]