Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы управления цепями поставок модели и методы. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
ТЕМА 2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТРЕНДА
Постановка задачи
Известен материальный поток за 6 лет. Построить линейный, квадратичный, экспоненциальный, гиперболический тренды, выполнить геометрические
иллюстрации. Вычислить среднее квадратичное уклонение для каждого из
трендов, выбрать наилучший из них и использовать его для прогнозирования.
Этапы решения задачи
1. С помощью метода наименьших квадратов получить уравнения для
следующих трендов:
а) линейного;
б) квадратичного;
в) экспоненциального;
г) гиперболического.
Выполнить геометрические иллюстрации
2. Вычислить среднее квадратичное уклонение для каждого из трендов и
выбрать наилучший из них.
3. Принять наилучший тренд к прогнозированию и сделать прогноз на два
шага (года) вперед.
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
Таблица 2
Объем в год, тыс. т
t
1 2 3 4 5
6
y
14,7
18,4
26,5
35,4
50,7
66,5
Линейный тренд
Уравнение линейного тренда
10
.у a t a
Коэффициенты a1, a0 определя-
ются при решении следующей системы:
01
01
6 21 212,2
21,
21 91 925,1 6;
aa
aa
01
01
126 441 4456,2,
126 546 5550,6;
aa
aa
00
212,2 21 10,423; 1,113.aa
Уравнение тренда:
10,423 – 1,113.yt
Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 1.
12
Рис. 1. Линейный тренд
Квадратичный тренд
Уравнение квадратичного тренда
2
2 1 0
.у a t a t a
Коэффициенты a2, a1, a0 определяются при решении системы:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
6 21 91 212,2 6,
21 91 441 925,1 21,
91 441 2275 4554,7 91;
a a a
a a a
a a a
0 1 2
0 1 2
0 1 2
3,5 15,1667 35,3667,
4,3333 21 44,0524,
4,8462 25 50,0516;
a a a
a a a
a a a
12
02
0 1 2
10,4229 7 ,
1,1133 9,3333 ,
4,8462 25 50,0516;
aa
aa
a a a
2 1 0
1,5946, 0,7396, 13,77.a a a
Уравнение тренда:
2
1,595 – 0,740 13,77.у t t
Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 2.
Рис. 2. Квадратичный тренд
13
Экспоненциальный тренд
Уравнение экспоненциального тренда
bt
у a e
. Пусть
0
ln , ln .w y a a
Тогда исходный временной ряд перепишется в виде:
Таблица 3
t 1 2 3 4 5 6
w
2,69
2,91
3,28
3,57
3,93
4,20
Коэффициенты a0, b определяются при решении системы:
0
0
6 21 20,5672,
21 91 77,4237.
ab
ab
Систему следует решить самостоятельно, решение привести в отчете:
0
2,3402, 0,3108.ab
Отсюда
0
10,3829.
a
ae
Уравнение тренда:
0,311
10,383 .
t
ye
Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.
Рис. 3. Экспоненциальный тренд
Гиперболический тренд
Уравнение гиперболического тренда
1
0
a
ya
t
. Пусть
1
.xt
Тогда исходный временной ряд перепишется в виде:
Таблица 4
x
1
0,5
0,3333
0,25
0,2
0,1667
y
14,7
18,4
26,5
35,4
50,7
66,5
14
и уравнение тренда станет линейной функцией
01
.y a a x
Коэффициенты
01
,aa
определяются при решении системы:
01
01
6 2,45 212,2,
2,45 1,4914 62,807.
aa
aa
Систему следует решить самостоятельно, решение привести в отчете:
01
55,1954, 48,5601.aa
Уравнение тренда:
48,560
55,195yt
.
Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 4.
Рис. 4. Гиперболический тренд
Сравнительная оценка качества трендов
Для оценки точности тренда используется среднее квадратичное уклонение, которое в данном случае вычисляется по формуле:
6
2
1
1
,
6
yi
i
где
*
ε
i i i
yy
— уклонения тренда от данных временного ряда.
Для линейного тренда:
*
1 1 1
– 9,31 14,7 5,39;yy
*
2 2 2
– 19,733 18,4 1,333;yy
*
3 3 3
– 30,156 26,5 3,656;yy
*
4 4 4
– 40,579 35,4 5,179;yy
*
5 5 5
– 51,002 50,7 0,302;yy
*
6 6 6
– 61,425 66,5 5,075;yy
15
29,052 1,777 13,366 26,822 0,091 25,756
4,401
6
y
.
Для квадратичного тренда:
* * *
1 1 1 2 2 2 3 3 3
* * *
4 4 4 5 5 5 6 6 6
– 0,075; – 0,2693; – 0,597;
– 0,926; – 0,762; – 0,239;
y y y y y y
y y y y y y
0,0060 0,073 0,357 0,857 0,581 0,057
0,695
6
y
.
Для экспоненциального тренда:
* * *
1 1 1 2 2 2 3 3 3
* * *
4 4 4 5 5 5 6 6 6
– 0,533; – 0,931; – 0,123;
– 0,590; – 1,592; – 0,507;
y y y y y y
y y y y y y
0,284 0,867 0,015 0,348 2,534 0,257
0,928
6
y
.
Для гиперболического тренда:
* * *
1 1 1 2 2 2 3 3 3
* * *
4 4 4 5 5 5 6 6 6
– 8,065; – 12,515; – 12,509;
– 7,655; – 5,217; – 19,398;
y y y y y y
y y y y y y
65,040 156,633 156,467 58,604 27,213 376,281
12,963
6
y
.
Наилучшим является параболический тренд, который и принимается к
прогнозированию.
Прогноз:
*
7
1,595·49 0,740· 7 13,77 86,73;у
*
8
1,595·64 0,740· 8 13,77 109,91.у
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении А.
16
ТЕМА 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ
ТРЕНДА И СЕЗОННОСТИ
Постановка задачи
Известен материальный поток за 12 месяцев. Определить продолжительность сезона, сделать прогноз на второй и последующие сезоны, определить качество прогноза, сделать прогноз на весь первый сезон следующего года.
Этапы решения задачи
1. Определить продолжительность сезона.
2. Найти начальные условия.
3. Построить линейный тренд за первый сезон. Найти приращение за
месяц.
4. Найти коэффициенты сезонности.
5. Сделать прогноз на второй и последующие сезоны года.
6. Оценить качество прогноза.
7. В случае, если качество прогноза окажется удовлетворительным, сде-
лать прогноз на следующий год на весь первый сезон. Принять α = 0,3; β = 0,3;
γ = 0,7.
Пример решения задачи
Выполним решение со следующими входными данными:
Таблица 5
янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
109,1
105,1
107
109
107,9
104
июль
авг.
сент.
окт.
ноябрь
дек.
105,8
107,7
106,7
102,9
104,4
106,5
По данным табл. 5 (см. также рис. 5) можно установить, что в данном
случае в году можно выделить три сезона, т.е. продолжительность каждого из
них равна четырем месяцам, s = 4.
Определим последовательно начальные условия:
4 4 1 2 3 4
, , , , ,L T S S S S
.
L4 — среднее значение материального потока за первый сезон:
4
109,1 105,1 107 109
107,55.
4
L
17
Уравнение линейного тренда за год имеет вид:
–0,25 108,02уt
.
Построение следует выполнить самостоятельно и привести в отчете.
Приращение тренда за один месяц
4
0,25.T
Коэффициенты сезонности:
1
1
4
109,1
1,014;
107,55
y
SL
2
2
4
105,1
0,977;
107,55
y
SL
3
3
4
107
0,995;
107,55
y
SL
4
4
4
109
1,014.
107,55
y
SL
Прогнозные значения определяются следующим образом:
5
5 4 4
1
107,9
(1 )( ) 0,3 (1 0,3)(107,55 0,25) 107,020;
1,014
y
L L T
S
5 5 4 4
( ) (1 ) 0,3(107,02 107,55) 0,7 ( 0,25) 0,334T L L T
;
5
51
5
107,9
(1 ) 0,7 (1 0,7)1,014 1,010;
107,02
y
SS
L
*
6 5 5 2
( ) (107,02 0,334)0,977 104,256;y L T S
*
6 6 6
104 104,256 0,256.yy
Аналогично определяются
*
, , , ,
i i i i i
L T S y
при i = 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ре-
зультаты вычислений приведены в табл. 6.
Таблица 6
k 5 6 7 8 9 10
11
12
Lk
107,020
106,608
106,278
106,031
105,689
105,382
105,011
104,749
Tk
−0,334
−0,356
−0,349
−0,319
−0,326
−0,320
−0,335
−0,313
Sk
1,010
0,976
0,995
1,015
1,010
0,976
0,995
1,016
y
k
*
−
104,256
105,707
107,357
106,777
102,839
104,570
106,253
εk
−
-0,256
0,093
0,343
-0,077
0,061
−0,170
0,247
Графическая иллюстрация к решению приведена на рис. 5.
Оценка качества прогноза производится с помощью среднего квадратичного уклонения, которое здесь определяется по формуле:
12
2
2
1
.
12 1
yi
iss
Подставим числовые значения из табл. 6:
2 2 2 2 2 2 2
0,256 0,093 0,343 0,077 0,061 0,17 0,247
0,238
7
y
.
18
Рис. 5. Метод Винтерса
Вывод: качество прогноза удовлетворительное, метод может быть использован для прогнозирования.
Прогноз:
*
13 12 12 9
( ) (104,749 0,313) 1,01 105,450.y L T S
*
14 12 12 10
( 2 ) (104,749 2 0,313) 0,976 101,657.y L T S
*
15 12 12 11
( 3 ) (104,749 3 0,313) 1,001 103,240.y L T S
*
15 12 12 12
( 4 ) (104,75 3 0,313) 1,016 105,174.y L T S
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении Б.
19
ТЕМА 4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ
Постановка задачи
Пусть по результатам наблюдений за некоторым логистическим потоком
получена таблица значений, определяющая зависимости между двумя переменными величинами x и y. Требуется построить интерполяционный полином и
найти приближенное значение величины y в заданной точке x = x* (т.е. выполнить интерполяцию).
Этапы решения задачи:
1. Записать общий вид интерполяционного полинома
()
n
Lx
в форме Ла-
гранжа для заданного количества узлов.
2. Подставить в формулу конкретные значения, взятые из таблицы.
3. Выполнить алгебраические преобразования и записать интерполяцион-
ный полином
()
n
Lx
в стандартном виде.
4. Найти приближенное значение
( *)
n
Lx
.
5. Выполнить геометрическую иллюстрацию, сделать вывод.
Пример решения задачи
Пусть задана табл. 7 значений функций
()y y x
.
Таблица 7
x
-2 0 4
y
-4 1 -3
Требуется построить для этой функции интерполяционный полином Лагранжа и найти приближенное значение в точке x* = 0,5.
Полином составляем, используя значения
k
x
и
k
y
, по формуле:
12
0
0 1 0 2 0 0
( ) ( )...( )...( )
( ) ...
( ) ( )...( )...( )
in
n
in
x x x x x x x x
L x y
x x x x x x x x
0 1 1
0 1 1
( ) ( )...( )...( )
... .
( ) ( )...( )...( )
in
n
n n n i n n
x x x x x x x x
y
x x x x x x x x
Каждое слагаемое в правой части представляет собой полином степени n,
поэтому и сам полином Лагранжа имеет n-ю степень. Число узлов в табл. 7
равно трем, поэтому полином Лагранжа будет иметь вторую степень. Запишем
его, используя приведенную выше формулу:
20
2
( 0) ( 4) ( 2) ( 4) ( 2) ( 0)
( ) 4 1 3
( 2 0) ( 2 4) (0 2) (0 4) (4 2) (4 0)
x x x x x x
Lx
2 2 2
4 ( 4 ) ( 2 4 8) 3 ( 2 )
12 8 24
x x x x x x x
2 2 2 2 2 2
4 16 2 8 3 6 8 32 6 24 7 16 12
.
12 8 24 24 12
x x x x x x x x x x x
1
Итак, получили полином стандартного вида:
2
2
74
( ) 1.
12 3
L x x x
Найдем приближенное значение в точке x* = 0,5:
2
2
7 1 4 1 65
( *) 1 1,354.
12 2 3 2 48
Lx
Графическая иллюстрация приведена на рис. 6. Можно видеть, что при
использовании линейной интерполяции на отрезке
04x
результат в точке
x* = 0,5 будет сильно отличаться (на сколько и в какую сторону?).
Рис. 6. График интерполяционного полинома
Варианты для самостоятельной работы приведены в Приложении В.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]