Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы метрологии, стандартизации и измерительной техники. Учебное пособие
.pdf
51
1
( ) ( )
n
kk
k x i x i
i
M x m x m p
2
2
2
22
.
x x x
D x M x m x m f x dx m
x
Dx
а
б
в
Рис. 28. Характеристики положения для симметричных распределений
( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 .
Me
Me
P x Me P x Me f x dx f x dx
– для дискретной случайной величины
.
Важную роль в теории вероятности играет второй центральный
момент, называемый дисперсией. Дисперсия характеризует степень
разброса (рассеивания) результатов наблюдения относительно математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс и
тем точнее измерение. Дисперсия определяется как математическое
ожидание квадрата центрированной случайной величины:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
Для удобства описания степени рассеивания результатов измерения используют среднеквадратическое отклонение
К основным числовым характеристикам относят характеристики положения, рассеяния и формы распределения.
Характеристики положения отражают положение плотности
распределения на числовой оси. К ним относят математическое ожи-
дание, медиану, центр размаха или центр интерквантильного промежутка, а также моду для одномодальных распределений.
Математическое ожидание – координата центра тяжести пло-
ской однородной фигуры, ограниченной кривой плотности распределения.
.
Медиану Me определяют как координату, разделяющую площадь под кривой плотности распределения на две равные части и
представляющую собой 50%-ю квантиль (рис. 28, а). Медиана может
быть найдена из равенства
52
( ) ,
p
Fx р
( ) .
x
p
f x dx p
(1 ) 2p
(1 ) 2p
11
22
1
.
2
pp
p
R x x
а
б
Рис. 29. Одно- (а) и двухмодальное (б) распределение вероятности
случайной величины x
Квантиль х
порядка р – это такое значение случайной величи-
р
ны, при котором проведенная через него ордината разделяет площадь
под кривой плотности распределения на две части: слева площадь р и
справа – площадь (1–р) (рис. 28, б). Квантиль – корень уравнения
т.е.
Центр размаха R ограниченных распределений – это середина
границ плотности распределения. Для неограниченных распределений
вместо центра размаха удобнее использовать центр интерквантильного
промежутка Rp, соответствующего доверительной вероятности
p (рис. 28, в). Его определяют как полусумму квантилей порядка
и
:
Модой Мо называют значение случайной величины, имеющее у
дискретной величины наибольшую вероятность, а у непрерывной –
наибольшую плотность вероятности. Если кривая плотности распределения имеет один максимум, то мода равна значению случайной
величины, соответствующему этому максимуму. Такая кривая называется одномодальной (рис. 29, а). Если кривая плотности распределения
имеет два или несколько одинаковых максимумов случайной величины, то она соответственно называется двухмодальной или многомодальной (рис. 29, б).
Для симметричных распределений все характеристики положения совпадают.
Характеристики рассеяния отражают ширину распределения.
Часто используют дисперсию, среднее по модулю отклонение, вероятное отклонение, половину ширины интерквантильного промежутка с
заданной доверительной вероятностью.
Дисперсия – квадратическая мера случайной величины.
53
( ) .d M x m x m f x dx
( ) ( ) 0,5 .P x m E P x m E
11
22
pp
p
r x x
33
44
3/ 2 3 2 4
22
, 3 3 .Sk Ex
а б в
Рис. 30. Распределение плотности вероятности
при различных значениях коэффициента асимметрии
4
4
3
Среднее по модулю отклонение составляет
Названные характеристики рассеяния применимы для законов
распределения, имеющих моменты первого и второго порядков соответственно. Если такие моменты не существуют, то применяют величины, определяемые по вероятности как характеристики рассеяния.
Вероятное отклонение Е – такое значение отклонения, при котором большие и меньшие по модулю отклонения от математического
ожидания равновероятны:
Ширина интерквантильного промежутка rp, разделенная на
два, может служить мерой рассеяния для любых законов распределения
.
К характеристикам формы распределения относят коэффи-
циент асимметрии (скоса) Sk и коэффициент эксцесса Ex:
При одномодальном распределении Sk>0, если мода находится
слева от математического ожидания (рис. 30, а), и Sk<0, если мода находится справа от математического ожидания (рис. 30, б). При симметричном распределении Sk=0 (рис. 30, в).
Коэффициент эксцесса Ex принимают за характеристику плосковершинности кривой распределения. При симметричном одномодальном распределении Ex >0, если кривая распределения островершинна, и Ex <0, если кривая распределения плосковершинна. Для нор-
мального распределения Ex=0, так как
законов распределения коэффициент эксцесса изменяется в пределах
от -2 до .
. Для произвольных
54
44
24
2
3Ex
4
4
1
k
01k
2
()
2
2
1
( ) .
2
xm
x
f x e
1
, ,
()
0, , .
a x b
ba
fx
x a x b
Рис. 31. Нормальный закон
распределения
Рис. 32. Равномерный закон распределения
По величине коэффициентов асимметрии и эксцесса можно
сделать допущение о нормальности распределения случайной величины (Sk =0, Ex =0), хотя это требует более строгой проверки.
Для теоретических исследований более удобными характеристиками формы плотности распределения являются эксцесс
, изменяющийся в пределах от 0 до , а также
контрэксцесс
, так что
, т.е. изменяющийся в
нормированном единичном интервале.
6.5. Типовые модели законов распределения погрешностей
Нормальный закон распределения, или закон Гаусса, основан
на двух аксиомах:
1) при большом числе измерений погрешности, одинаковые по
величине и различные по знаку, встречаются одинаково часто;
2) малые погрешности встречаются чаще, чем большие.
Плотность распределения вероятностей случайной величины по
Гауссу имеет вид, представленный на рис. 31. Этому закону подчиняются многие непрерывные случайные величины, встречающиеся в
технике: погрешности измерений, высота микронеровностей обработанной поверхности и т.п.
55
2
2
4( )
, ;
( ) 2
4( )
( ) , ;
( ) 2
0, , .
x a a b
ax
ba
b x a b
f x x b
ba
x a x b
Рис. 33. Треугольный закон распределения
Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой: если случайная величина
Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин х1, х2,…, хn, влияние каждой из которых на
всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются слагаемые х1, х2,…, хn, сама величина Х будет
иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем
ближе, чем больше число слагаемых. Так, действительные размеры
деталей часто подчиняются закону нормального распределения: результирующую погрешность обработки можно представить как сумму
большого числа погрешностей, зависящих от свойств станка, приспособления, инструмента и заготовки.
Равномерный закон
Равномерным (рис. 32) распределением называют распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может
принимать любое значение в заданных пределах (a,b). Закону равномерного распределения подчиняются:
- погрешность от трения в опорах приборов;
- погрешность округления величин, полученных при измерении
на приборах;
- погрешность квантования в цифровых измерительных устрой-
ствах;
- неисключенные остатки систематических погрешностей.
Треугольный закон
По треугольному закону (распределению Симпсона) распределяются сумма двух одинаковых равномерно распределенных величин
(погрешность суммы двух округленных слагаемых), погрешность измерения частоты и временных интервалов цифровыми частотомерами.
Аналитическое выражение плотности распределения Симпсона представлено на рис. 33.
56
Рис. 34. Смещение кривой плотности распределения
,
(1)
()
1
; .
n
n
xx
xx
uu
SS
6.6. Выявление и исключение грубых погрешностей (промахов)
Анормальными называют результаты (рис. 34, а), резко отличающиеся от основной совокупности наблюдений (рис. 34, б) и принадлежащие другой генеральной совокупности.
В экспериментальной практике отбрасывают крайние, имеющие
большое удаление от центра распределения, отсчеты. Однако для принятия решения об исключении предполагаемого промаха необходимы
какие-либо формальные критерии.
Правила проверки анормальности результатов наблюдений устанавливает ГОСТ 11.002-73. Они основаны на предположении, что
результаты наблюдений получены из нормального распределения.
Критерий оценки анормальности результатов наблюдений при неизвестных генеральном среднем и дисперсии состоит в следующем. Для
упорядоченной выборки оценивают: выборочное среднее и среднее
квадратическое отклонение:
Вычисляют максимальное отклонение подозреваемых на про-
мах результатов (крайних членов вариационного ряда) от выборочного
среднего:
Результаты сравнивают с предельным допустимым значением h,
взятым в таблице из названного стандарта. В ней представлены квантили распределения крайних членов выборки из нормальной совокупности для данного объема выборки и принятого уровня значимости q
(q=1-p). Достаточно малой вероятностью q задаются для практической
уверенности, что анормальный результат действительно имел место.
Уровень значимости выбирается из ряда: 0,10; 0,05; 0,01... .
Если u
>h, то подозреваемый результат исключают как анор-
1,n
мальный. В противном случае его сохраняют.
Если результаты наблюдений не подчиняются нормальному закону распределения, то выявление и исключение промахов нужно
57
Рис. 35. Аддитивная погрешность
Рис. 36. Полный диапазон
измеряемых величин
проводить по методике в соответствии с принятой моделью распределения выборки.
7. КЛАСС ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Класс точности – обобщенная характеристика точности средств
измерений, определяемая пределами допустимых основных и дополнительных погрешностей, значения которых устанавливаются в стандартах на конкретные типы СИ. Пределом допустимой основной погрешности называют наибольшую основную погрешность, при которой СИ по техническим требованиям могут быть допущены к применению.
Общие положения деления средств измерений на классы точности, способы нормирования метрологических характеристик и обозначения классов точности установлены ГОСТ 8.401-80.
Основное различие в способах нормирования обусловлено разным соотношением аддитивной и мультипликативной составляющих в
погрешностях СИ.
Для средств измерений с преобладающей аддитивной составляющей погрешности (рис. 35) пределы абсолютной основной по-
грешности устанавливают в виде: , где - предел
абсолютной основной погрешности, выраженный в единицах измеряемой величины на входе (или выходе) или условно в делениях шкалы;
– значение измеряемой величины на входе (выходе) или число делений, отсчитанное по шкале.
Но нормировать абсолютное значение неудобно, так как для
многопредельных приборов оно будет различным для каждого поддиапазона, и в паспорте прибора пришлось бы перечислять эти значе-
ния для всех поддиапазонов. Поэтому нормируют не абсолютное
приведенное значение этой погрешности
, где
- нормирую-
щее значение измеряемой величины.
, а
58
ГОСТ 8.401-80 определяет для приборов с равномерной или
степенной шкалой, если отметка находится на краю или вне шкалы,
нормирующее значение
рений. Если же нулевая отметка находится посредине шкалы, то
равно протяженности диапазона измерений. Например, для амперметра со шкалой от -30 до +60 А значение
Для обозначения класса точности таких СИ используется значе-
ние приведенной погрешности
1,0.
Следует учесть, что СИ класса точности 1,0 не обеспечивает во
всем диапазоне измерений получение результатов с погрешностью
. Относительное значение границ основной погрешности по диа-
пазону измерений (рис. 36)
где
– верхнее значение шкалы.
Таким образом, текущее значение относительной погрешности
растет обратно пропорционально x и изменяется по гиперболе. Отно-
сительная погрешность равна классу точности прибора
при
.
Значение измеряемой величины, когда и , на-
зывается порогом чувствительности СИ. Полный диапазон DП измеряемых величин для любого преобразователя ограничивается снизу
порогом чувствительности, а сверху – пределом измерений.
В области малых значений х погрешность измерений очень велика, поэтому рабочий диапазон DР ограничивают снизу таким значением x, где относительная погрешность измерений не превосходит
заранее заданного значения З, равного, например, 4,10 или 20 %. В
начальной части шкалы измерения недопустимы, в этом и заключается
отрицательное влияние аддитивной погрешности, не позволяющее
использовать один и тот же преобразователь для измерения как больших, так и малых измеряемых величин.
Для средств измерений с нелинейной шкалой или при верхнем
пределе измерений, равном бесконечности (например, омметры), приведенную погрешность определяют отношением предельной погреш-
ности к линейному размеру шкалы
грешность выражают в линейных размерах шкалы или в делениях
шкалы. В этом случае обозначение класса точности на корпусах или на
шкалах измерительных приборов сопровождается дополнительным
символом в виде:
равным верхнему пределу диапазона изме-
=60-(-30)=90 А.
, выраженное в процентах, например
, например
. Предельную по-
.
лишь
59
Рис. 37. Мультипликативная
погрешность
Рис. 38. Аддитивно-
мультипликативная погрешность
Для средств измерений с преобладающей мультипликативной
составляющей погрешности (рис. 37) пределы абсолютной основной
погрешности устанавливаются в виде , где
ность чувствительности преобразователя. Абсолютная погрешность
возрастает прямо пропорционально текущему значению измеряемой
величины. Поэтому относительная погрешность (погрешность крутиз-
ны преобразования)
оказывается постоянной величиной при любом
значении .
Классы точности для таких средств измерений устанавливают
по погрешности чувствительности, и в обозначениях на шкале они
заключены в кружок .
Таким способом нормируются погрешности масштабных преобразователей (делителей напряжения, шунтов, измерительных трансформаторов тока и напряжения).
Соотношения и справедливы лишь для
рабочего диапазона измеряемых величин, реально не существует преобразователей с бесконечно широким рабочим диапазоном, так как
при измерениях присутствует аддитивная погрешность. Это погрешность от шума, дрейфа, трения, наводок, вибраций. Поэтому для реальных СИ указываются границы рабочего диапазона, в которых отно-
сительное значение погрешности крутизны
остается приближенно
справедливым.
- погреш-
При одновременном присутствии аддитивной и мультипликативной составляющих (составляющие соизмеримы) пределы абсолютной основной погрешности устанавливаются в виде двучленной фор-
мулы
60
В этом случае полоса погрешностей имеет трапецеидальную
форму (рис. 38).
Относительная погрешность по диапазону преобразования
Классы точности для таких средств измерений устанавливают
по суммарной приведенной
погрешности
шкале, циферблатах в виде простой дроби (через косую черту)
например
.
Форму полосы погрешностей (рис. 38) имеют высокоточные потенциометры постоянного тока, цифровые вольтметры.
Кроме перечисленных разновидностей нормирования погрешностей средств измерений, ГОСТ 8.401-80 разрешает использовать
трехчленные формулы, графики, таблицы для определения пределов
допустимой абсолютной или относительной погрешностей. Связано
это с тем, что некоторые СИ имеют более сложный вид полосы погрешностей, чем на рис. 35, 37 и 38, например цифровые частотомеры
(погрешность зависит от измеряемой величины, от времени, отводимого для измерения этой частоты). В подобных случаях необходимо
внимательно изучать документацию на соответствующий прибор и
пользоваться для вычисления погрешности результата измерения приводимыми в ней специальными формулами.
Согласно ГОСТ 8.401-80 для указания пределов допустимой абсолютной или относительной погрешностей не могут использоваться
произвольные числа. Выраженные в процентах, они могут иметь значения:
где
С классом точности связаны пределы всех дополнительных погрешностей и других метрологических характеристик. Например, изменение показаний электроизмерительных приборов класса 1,0, вызванное изменением температуры, не должно выходить за пределы 1,0
% на каждые 10 С изменения температуры в пределах рабочего диапазона.
и приведенной аддитивной
. Обозначение класса точности на корпусах приборов,
.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]