Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации алгоритмические основы задач оптимизации. Курс лекций
.pdf
3. Запишите общий вид целевой функции в задаче ДП.
Что такое условно-оптимальная траектория?
4.
Сформулируйте задачу распределения ресурсов в терминах ДП.
5.
6.
В чем состоит метод ветвей и границ?
Как вычисляется минимальная нижняя оценка в задаче ЦЛП
7.
при решении методом ветвей и границ?
Как реализуется процесс ветвления в этой задаче?
8.
Сформулируйте основную идею метода Гомори.
9.
10.
Сформулируйте «задачу коммивояжера».
Как вычисляется минимальная нижняя оценка в этой задаче?
11.
Как реализовано ветвление в этой задаче?
12.
13.
Сформулируйте целевую функцию в задаче о максимальном
потоке.
Что такое метка вершины графа в этой задаче?
14.
15.
Что такое минимальное сечение сети?
Что такое дополняемый путь?
16.
17.
Как определяется приращение потока на дополняемом пути?
По какому признаку происходит останов алгоритма поиска
18.
максимального потока?
121
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.А. Методы оптимизации. –
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. – 340 с.
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и
связь, 1988. – 128 с.
Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. – М.: Радио и связь, 1987. – 396 с.
Васильев Ф.П. Методы оптимизации: Учеб.: В 2 кн. – М.: Изд-во
МЦНМО, 2011. – 620 с.
Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. – М.: Наука, 1988. – 206 с.
Глебов Н.И., Кочетов Ю.А., Плясунов А.В. Методы оптимизации:
Учеб. пособие. – Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2000. – 105 с.
Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. Исследование операций: Сб. задач. – Киев: Вища шк., 1984. – 222 с.
Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование
в примерах и задачах: Учеб. пособие для эконом. специальностей
вузов. – М.: Высш. шк., 1979. – 125 с.
Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического
программирования. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. – 192 с.
Кузнецов А.В. Сборник задач по математическому программированию. – Минск: Вышэйш. шк., 1985. – 143 с.
Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983. – 384 с.
Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. –
М.: Мир, 1986. – 349 с. Т. 1.
Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач
дискретной оптимизации. – Киев: Наук. думка, 1985. – 381 с.
Фараджев И.А. Алгоритмы дискретной оптимизации: Учеб. пособие для практич. занятий. – М.: МИСиС, 1987. – 120 с.
Фараджев И.А. Математические методы дискретной оптимизации. –
М.: МИСиС, 1990. – 132 с.
Филипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М.: Мир,
1984. – 496
Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программирование. –
М.: Мир, 1975. – 534 с.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. – М.:
Мир, 1974. – 519 с.
Ю.Б. Гермейер. Задачи по исследованию операций. – М.: Изд-во
МГУ, 1979. – 168 с.
122
с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
( ) 10 exp( ( 2) / 2 exp( ( 4) / 2)
Приложение 1
Некоторые функции для тестирования работоспособности
алгоритмов поиска минимума
1. Функция Химмельблау:
f(x) = (x
2
+ x2 – 11)2 + (x1 + x
1
Эта функция имеет четыре минимума в интервале (+6, –6) по обе-
им переменным.
Функция Розенброка:
2.
f(x) = 100(x
– x
2
2
1
)2 + (1 – x1)2.
Эта функция имеет один минимум (1, 1), расположенный в «изо-
гнутом овраге» с закругленным дном.
Примечание. Форма дна оврага бывает двух типов – закругленная
и острая. В первом случае производная сечения функции плоскостью, перпендикулярной оси оврага, меняет знак резко, но является
непрерывной. Во втором случае производная разрывна и на оси оврага не существует.
3.
Седловая функция:
f(x) = 2x
2
1
+ 4x
1x2
3
– 10x
Точка (0, 0) этой функции является стационарной.
4.
Функция, предложенная автором:
=− − − − − − − + +
fx k x x k x x
xx
++
12
112 212
/2.
22
1x2
2
– 7)2.
2
+ x
2
.
2
Эта функция имеет два минимума на оси оврага с острым дном.
Значения коэффициентов k
и k2 можно задавать в интервале (0, 10).
1
123
Приложение 2
( 1) ( 1) ()()
Sk gk kSk
2
(1)
() .
(1)()
xj xj
Доказательство для метода сопряженных градиентов
Теорема.
Пусть очередное направление в методе сопряженных
градиентов вычисляется по формуле
где
k
γ=
gk
gk
()
+=− ++γ
+
2
, (П2.1)
Пусть также по этой формуле уже построены направления S(0),
S(1), ..., S(k), причем S(k) является C-сопряженным ко всем направле-
ниям S(0), ..., S(k – 1). (Напомним, что для направлений S(0) и S(1)
это доказано.)
Тогда направление S(k + 1) является C-сопряженным со всеми на-
правлениями S(0), S(1), ..., S(k).
Доказательство
Назовем последнее положение (положение о С-сопряженности
направления S(k+1) с остальными) – тезис 0.
Формально он выглядит так:
S(k + 1)TCS(j) = 0 для всех j = 0, k.
Предварительно заметим, что
x(j + 1) = x(j) + α(j)S(j) (где α(j) – число).
Отсюда
Справедливо также (при условии, что функция аппроксимирована
в окрестности точки x(j) квадратичной формой f(x) = a + b
следующее выражение для приращения градиента:
Δg(j) = g(j + 1) – g(j) = C(x(j + 1) – x(j)), (П2.3)
где g(j + 1) = b + Cx(j + 1); g(j) = b + Cx(j).
Представим тезис 0 (который подлежит доказательству) в виде
двух составляющих тезисов:
тезис 1: S(k + 1)
–
–
тезис 2: S(k + 1)
124
=
+−
j
()
α
. (П2.2)
()
Sj
T
CS(j) = 0 для всех j = 0, k – 1;
T
CS(k) = 0.
T
x + xTCx)
Докажем тезис 1. Раскроем соответствующее равенство, подста-
( 1) ( ) ( 1) () () () ( )
Sk CS j gk CS j kSk CS j
(( 1) ())
() () ( 1)( 1)
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)
(1) () ()() (1)
x
ii
.
i
вив в него формулу (П2.1):
TTT
Но по сделанному допущению S(k)
γ+=−++ . (П2.4)
T
CS(j) = 0 для j = 0, k – 1.
Тогда в соответствии с (П2.2) и (П2.3)
xj xj
TT
(1)() (1)
gk S j gk C
−+ =−+ =
(( 1) ())
gj gj
T
(1) .
gk
=+
+−
()
j
α
+−
()
j
α
Чтобы доказать равенство нулю последнего выражения, нужно
доказать тезис 3: g(k + 1)
T
g(j) = 0 для j = 0, k.
По предположению
Sj gj j Sj=− +γ − −
. (П2.5)
Умножим это выражение слева на g(k + 1). Тогда
gk S j gk g j j gk S j+=−++γ−+−. (П2.6)
TT T
Тезис 3 справедлив, если левая часть этого равенства и второе
слагаемое справа равны нулю. Это означает, что должен быть справедлив тезис 4: g(k + 1)
T
S(j) = 0 для j = 0, k.
Докажем его.
Заметим, что при j = k тезис 4 справедлив по определению метода
поскольку точка x(k + 1) есть минимум f(x) вдоль прямой x(k) + αS(k)).
(
Затем можно записать последовательность:
xk xk kSk xk
+= +α = −+
( 1) ( 1) () ()
kSk kSk
+α − − + α =
k
...
=+
+
1
j
()
∑
=+
ij
() ()
α
1
S
для j = 0, k – 1.
Итак,
k
()
xx S
=+
+
j
1
()
+
k
1
∑
=+
ij
() ()
α
1
i
125
Умножим это выражение слева на C:
( 1) ( 1) () ()
C
i
(1) (1)
() () .
i
(1)() (1)()
g k Sj g j Sj
() () ( ).
i
( 1) ( 1) () ()
Sk gk kSk
( 1) () ( 1) () () () ()
Sk CSk gk CSk kSkCSk
xk Cx j iCS
+= ++
Но из (П2.3) следует, что
k
∑
=+
ij
α
1
. (П2.7)
Cx(k + 1) = g(k + 1) – b и Cx(j + 1) = g(j + 1) – b. (П2.8)
Подставив формулы (П2.8) в выражение (П2.7) и произведя опе-
рацию транспонирования, получим
TT
gk g j+= ++
k
∑
=+
ij
T
SiCα
1
(П2.9)
Теперь умножим это выражение справа на S(j):
TT
+=++
k
∑
=+
ij
T
SiCSjα
1
(П2.10)
Но по предположению индукции
T
S
(i)CS(j) = 0 для i = j + 1, k; j = 0, k – 1, (П2.11)
а также по определению метода
g
T
(j + 1)S(j) = 0. (П2.12)
Подставив формулы (П2.11) и (П2.12) в (П2.10), получим
T
g
(k + 1)S(j) = 0 для j = 0, k – 1.
Это завершает доказательство справедливости тезиса 4, а вместе с
ним и тезиса 1, т.е. справедливо выражение
S
T
Осталось доказать тезис 2: S(k + 1)
(k + 1)
T
CS(j) = 0 для j = 0, k – 1. (П2.13)
T
CS(k) = 0.
Запишем основное соотношение метода:
+=− ++γ . (П2.14)
Произведем транспонирование уравнения (П2.14) и умножим век-
тор S(k + 1) справа на CS(k):
TT T
+=++γ . (П2.15)
Но в соответствии с (П2.2) и (П2.3)
126
(( 1) ()) ( 1) ()
() .
Cxkxkgkgk
(1)() (1) ()( ()
Sk CSk gk k gk
(1)()) ( ()(1) ()()
(1)(1)(1) (1)(1)()).
g k gk g kgk g kgk
22
(1)() ( (1) ()())
2
(1)
CS k
==
+− +−
αα
kk
() ()
(П2.16)
Подставив это соотношение в выражение (П2.15) и учитывая, что
γ
TTT
),1()1()()( −−+−= kSkkgkS
получим
(1) ()
gk gk
TT T
+=−+ +γ−+
+−
()
k
α
(1) ()
gk gk
(1)(1)) .
kSk
+γ − −
T
+−
()
k
α
После перемножения, имеем
γ
α
α
()
k
()
k
1
()
k
(П2.17)
TT
(1)() ((1)(1)
Sk CSk gk gk
+=− +++
TTT
++ + − ++ −
kSkgk kSkgk
−γ − − + − γ − −
TT
В полученной сумме второй и третий члены равны нулю в соответствии с тезисом 3. Пятый член равен нулю в соответствии с тезисом 4, а шестой – в соответствии с определением метода (градиент в
точке x(k) ортогонален предыдущему направлению S(k – 1)). Таким
образом,
α
1
k
()
. (П2.18)
T
Sk CSk gk k gk
+=−++γ
Выражение справа в (П2.18) равно нулю при
+
γ=
()
gk
k
gk
()
,
2
что и завершает доказательство справедливости тезиса 2.
Поскольку справедливость тезисов 1 и 2 эквивалентна справедливости тезиса 0, то это и завершает доказательство теоремы.
127
Небходимо напомнить, что все проведенные выкладки справедливы только для квадратичной формы. Это означает, что ортогональность упомянутых выше векторов соблюдается с той точностью, с
которой исходная функция f(x) аппроксимируется квадратичной
формой в окрестности очередной точки x(k).
128
Приложение 3
(,) () 0.
)
() ();
() ().
L
L
(, , ) 0
(, ) 0, 1,
gxz u j r
,1,;
ln
,1,;
ln
Условия минимума второго порядка для задачи с неравенствами
Напомним
, что задача с неравенствами была сведена к искусст-
венной задаче с равенствами путем эквивалентной замены:
gxz gx z=−= (П3.1)
jjj
2
При этом были введены следующие обозначения:
=+
fx g x
µ
xz
,,
(
fx g x
=+
,,
xz
µ
()
∑
∑
µ
jj
j
µ
jj
j
(П3.2)
Тогда классическое достаточное условие минимума второго по-
рядка (для задачи с равенствами) записывается в виде
2
T
uLxzu∇μ>
xz
, (П3.3)
где u – вектор размерности n + r, отвечающий условиям
∇==. (П3.4)
xz j j
,
При этом подразумевается, что x = x
T
*
и z = z*, что соответствует
точке условного минимума.
Запишем первые частные производные искусственной функции
Лагранжа:
Учитывая, что производные по переменным x
и g
(x) совпадают, запишем вторые частные производные:
j
dd
dd dd dd
dd
()
d
j
∑
µ
j
µ
j
d
j
gx
j
()
gx
j
(*) ( )
Lfx
dd
=− =
xx x
dd d
ll l
L
(*)
d
d
Lfx
xx xx xx
lk lk lk
L
d
zz
jk
2; 1,.
µ
==
z
j
(*) ( )
=− =
µ
2, ;
(*)
=
0, , 1 , .
∑
zj r
jj
=
jk
j
≠=
jkj r
(П3.5)
для функций gj(x, z)
l
(П3.6)
129
Поскольку вторые частные производные в точке минимума функ-
(,), (, ) 0
() 2 0; 1, .
gxy z j r
ции Лагранжа должны быть неотрицательными, из последнего выражения следует
μj ≥ 0; j = 1, r. (П3.7)
Запишем условия минимума второго порядка. Для этого, как известно, нужно слева и справа умножить матрицу вторых производных на некоторый вектор u и показать неотрицательность полученного числа в точке условного минимума. Вектор сделаем составным
из двух векторов: вектора y размерности n и вектора
υ
размерности r.
Запишем указанное умножение, сделав матрицу также составной:
() ()
xx xz
2
TT
,
y
υ
⋅⋅=
(, ) 0
Lx
∇μ
xx
20
0 ......
02
y
μ
1
μ
r
υ
(П3.8)
() ()
zx zz
22
T
yLxy
=∇ μ+ μ >
(, ) 2 0.
xx j j
ν
j
Последнее выражение должно быть больше нуля по условиям минимума второго порядка.
Перепишем условие (П3.4) в виде
или
130
∇−==
gxz g xz∇∇ =
xj zj
T
xj jj
T
υ
y
, (П3.9)
υ
(П3.10)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]