Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компьютерная обработка статистических данных. Учебное пособие
.pdf
6. Анализ динамических рядов
Основные понятия
При исследовании многих природных и
производственных процессов возникает задача анализа в
динамике событий и их последовательностей, которые не
поддаются методам стандартного математического анализа,
поскольку зависят от случайных факторов. Основными
задачами в таких исследованиях являются детальное
изучение этих процессов, выделение их существенных
характеристик и внутренних закономерностей, которое
позволит прогнозировать развитие процессов в будущем.
Динамический ряд (ряд динамики) – это последовательно
измеренные через некоторые промежутки времени данные о
значении какого-либо параметра исследуемого процесса (или
нескольких параметров, в этом случае говорят о
многомерном временном ряде).
Динамический ряд состоит из двух элементов:
- периода времени, за который или по состоянию на который
приводятся числовые значения;
- числовых значений показателя, называемых уровнями ряда.
Классификация динамических рядов проводится по
следующим признакам.
• По характеру показателя:
- детерминированные ряды, полученные на основе
значений некоторой неслучайной функции, например,
ряд данных о количестве дней в месяцах;
- случайные ряды, представляющие собой реализацию
некоторой случайной величины.
• По форме представления уровней:
- ряды абсолютных величин;
- ряды относительных величин;
- ряды средних величин.
• По характеру временного показателя:
- моментные ряды, в которых уровни характеризуют
значение показателя по состоянию на определенные
71
моменты времени;
- интервальные ряды, уровни которых характеризуют
значение показателя за определенные периоды
времени. Важная особенность интервальных
временных рядов абсолютных величин заключается в
возможности суммирования их уровней.
• По расстоянию между датами и интервалами времени:
- полные (равноотстоящие) ряды, если даты регистрации
или окончания периодов следуют друг за другом с
равными интервалами;
- неполные ряды, если принцип равных интервалов не
соблюдается или имеются пропущенные значения.
При изучении рядов динамики обычно решают
следующие задачи:
1. Вычислить числовые и функциональные характеристики
ряда (описательные методы).
2. Определить, имеется ли некоторая неслучайная,
закономерная компонента, описывающая тенденцию (тренд)
процесса.
3. Определить, нет ли регулярных, колебательных
“сезонных” компонент, связанных с периодическими
естественными колебаниями параметров процесса.
4. Выделить и описать основные колебания случайного
процесса вокруг тренда, в случае необходимости удалить
влияние второстепенных факторов.
5. Дать прогноз развития случайной процесса на ближайшее
будущее и указать степень уверенности в этом прогнозе.
Следует иметь в виду, что при изучении рядов динамики
необходимо соблюдение ряда условий:
• Статистические данные должны быть сопоставимы по
территории, кругу охватываемых объектов, единицам
измерения, времени регистрации, ценам, методологии
расчета. Так, сопоставимость по территории означает,
что данные по странам и регионам, границы которых
изменились, должны быть пересчитаны в старых
72
пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых
показатель
базисный
цепной
Абсолютный прирост i
0iбаз i
yy
1iцеп i i
yy
Коэффициент роста Кр
0iбаз i
Kp y y
1iцеп i i
Kp y y
Темп роста Тр
100
iбаз
Kp
100
iцеп
Kp
Коэффициент прироста
Кпр
0
1
iбаз
iбаз
Kp
y
1
1
iцеп
iцеп
iy
Темп прироста Тпр
100
iбаз
Kпp
100
iцеп
Kпp
Абсолютное значение
1% прироста А
0
100
баз
Ay
1
100
iбаз i
Ay
объектов означает сравнение совокупностей с равным
числом элементов.
• Числовые уровни рядов динамики должны быть
упорядоченными во времени. Не допускается анализ
рядов с пропусками отдельных уровней (неполных), если
же такие пропуски неизбежны, то их восполняют
условными расчетными значениями.
• Динамические ряды применяются только для
краткосрочного прогнозирования (чаще всего на 1
период вперед).
• Для анализа и прогноза необходима достоверная
информация о развитии исследуемого явления минимум
за пять периодов.
Числовые характеристики динамических рядов
Интенсивность изменений уровней ряда во времени
характеризуют аналитические показатели – базисные
(изменение относительно начального уровня ряда) и цепные
(изменение относительно предыдущего уровня):
Табл.6.1. Аналитические показатели ряда динамики
Ряд динамики в целом характеризуют средние
показатели:
73
Средний уровень ряда:
0
( 1)
n
i
y y n
00
nn
i i i
y y x x
,
i
ii
i
Y
yY
x
11
00
1
, ( ),
2
nn
i i i i i i i i i
y yt t y y y t t t
0 2 1
0,5 ... 0,5
nn
y y y y y n
1
11
n
i цеп n баз
nn
1
, 100
n
n
p p p p
К K T K
1
пp p
KK
100
пp p
T Т
Год
Число
пожаров
Год
Число
пожаров
Год
Число
пожаров
1974
18,9
1981
20
1988
19,3
1975
22,8
1982
16
1989
22,8
1976
15,1
1983
12
1990
18,2
- для полного интервального ряда абсолютных величин:
;
- для полного интервального ряда относительных и
средних величин средний уровень должен определяться
с учетом информации, связанной с осредняемым:
, если
- соответствующая
абсолютная величина;
- для моментного динамического ряда:
;
в частности, для полного моментного ряда:
.
Средний абсолютный прирост:
.
Средний коэффициент (темп) роста:
.
Средний коэффициент (темп) прироста:
,
.
Пример 6.1. Рассмотреть ряд динамики пожаров на
основании данных таблицы 6.2. Вычислить характеристики.
Табл. 6.2. Число пожаров в России (тыс.случаев) в 1974-1988 гг.
74
Решение. Прежде всего, классифицируем данный
1977
17
1984
15
1991
17
1978
12,1
1985
12
1992
23,3
1979
14,3
1986
16,1
1993
18,2
1980
15,1
1987
13,5
1994
20,1
динамический ряд: это полный интервальный ряд
абсолютных величин.
Перенесем данные в Еxcel, расположив их в два столбца.
Добавим также столбец «№ периода», начиная с 0.
Для аналитических показателей подготовим две таблицы –
для базисных и цепных показателей, по периодам начиная с
1, и вычислим соответствующие показатели в таблице по
формулам в таблице 6.1. (рис.6.1.):
Рис.6.1.Вычисление аналитических показателей динамического ряда.
Вычислим теперь средние показатели.
Поскольку мы имеем дело с полным интервальным
рядом абсолютных величин, средний уровень ряда
вычисляем по самой простой формуле среднего
арифметического уровней: =СРЗНАЧ(B2:B22)
Средний абсолютный прирост также вычислить просто:
=D22/20
Для вычисления среднего коэффициента роста
воспользуемся функцией ПРОИЗВЕД, а для извлечения
корня применим возведение в степень 1/n:
=ПРОИЗВЕД(E3:E22)^(1/20)
75
Рис.6.2.Вычисление средних показателей динамического ряда.
ˆ
()
tt
y t y
ˆ
()
tt
y t y
ˆ
t
y
t
Анализ тренда динамического ряда
Перейдем теперь к задачам собственно анализа
временного ряда и прогнозирования.
В общем виде временной ряд представляют, в
зависимости от задачи, в виде аддитивной (6.1) или
мультипликативной (6.2) модели, на основании которой
дается прогноз:
(6.1)
(6.2)
где
- детерминированная составляющая,
-
стохастическая (случайная) составляющая.
В детерминированную составляющую могут входить три
элемента:
- эволюционная составляющая - характеризует основную
тенденцию развития исследуемого объекта (тренд)
- сезонная составляющая - показывает колебания показателя
в течение года.
- циклическая составляющая - формируется под
воздействием долговременных циклических факторов
Стохастическая составляющая формируется под
воздействием большого числа случайных факторов, не
отражаемых в прогнозной модели.
Выделение тренда может быть произведено тремя
методами:
1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на
некоторое достаточно большое число равных интервалов.
Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть
76
тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за
)(ˆtyy
большие промежутки времени, увеличивая длину каждого
интервала (количество интервалов уменьшается).
2. Метод скользящей средней. В этом методе исходные
уровни ряда заменяются средними величинами, которые
получают из данного уровня и нескольких симметрично его
окружающих. Целое число уровней, по которым
рассчитывается среднее значение, называют интервалом
(окном) сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7
и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее
арифметическое значение закрепляют за серединой
расчетного интервала.
При четном сглаживании:
- определяют нецентрированные скользящие средние по
четному числу уровней,
- вычисляют центрированные скользящие средние как
смежные парные средние нецентрированных скользящих
средних и относят их к соответствующим уровням.
3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают
построение уравнения регрессии
.
Вид уравнения регрессии выбирают основываясь на
характере изменения цепных темпов роста, чаще всего
выбирают линейную, параболическую, экспоненциальную
зависимость или линеаризуемые функции
(полулогарифмическую, степенную, гиперболы). Следует
помнить, что для достаточной надежности уравнения тренда,
как правило, на каждый параметр должно иметься 6-7
моментов или интервалов. Но анализ длинных рядов
динамики не всегда возможен, поскольку основная
тенденция ряда могла изменяться из-за каких-то внешних
причин. Поэтому предпочтение отдается функциям с малым
числом параметров.
Методы выравнивания можно комбинировать, например,
77
построив уравнение регрессии по уровням, сглаженным
ˆ
i i i
l y y
методом скользящей средней. Обычно это делают для
выявления сезонности, выбирая окно сглаживания равным
периоду предполагаемой сезонности (например, год для
выявления внутригодичной сезонности).
При аналитическом выравнивании обычно данные
временные моменты (например, годы) заменяют на условные
моменты времени (например, 1,2,… или 0,1,2…). Кроме того,
для простоты вычислений часто условные моменты
выбирают так, чтобы их сумма была равна 0 (например, -5,-
4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5)
В Excel аналитическое выделение тренда осуществляется
теми же методами, что и построение уравнения регрессии в
корреляционно-регрессионном анализе.
Выбор наилучшего уравнения тренда осуществляется по
следующим критериям:
• Чем больше значение коэффициента детерминации R2,
тем точнее уравнение тренда описывает вариацию
уровней динамического ряда.
• Чем больше величина F-критерия, тем надежнее данное
уравнение тренда. Если значение F-критерия меньше
критического, то уравнение не пригодно для описания
тренда и прогнозирования
• Анализ остатков
на случайность.
Неслучайность остатков означает либо что выбрано
неподходящее уравнение тренда, либо что ряд имеет
периодичности, которые затем выявляют специальными
методами анализа.
Существует множество способов анализа остатков. Один
из них заключается в визуальном анализе графиков остатков.
Другой способ предоставляет критерий Дарбина-
Уотсона DW, позволяющий оценить автокорреляцию
остатков:
78
1
2
, 1 1;
ii
al al
i
ll
rr
l
2
1
2
()
2(1 )
ii
al
i
ll
DW r
l
.
Число
наблюд
ений n
Число параметров уравнения регрессии m
1 2 3 4 5
D1 D2 D1 D2 D1 D2 D1 D2 D1 D
2
15
1,08
1,36
0,95
1,54
0,82
1,75
0,69
1,97
0,56
2,21
20
1,2
1,41
1,10
1,54
1
1,68
0,9
1,83
0,79
1,99
30
1,35
1,49
1,28
1,57
1,21
1,65
1,14
1,74
1,07
1,83
50
1,5
1,59
1,46
1,63
1,42
1,67
1,38
1,72
1,34
1,47
100
1,65
1,69
1,63
1,72
1,61
1,74
1,59
1,76
1,57
1,78
ˆ
()y y t
1
ˆ
( 1)
n
y y n
1
ˆ
()
ny
y t S Q
При заданном уровне значимости, числе уровней
динамического ряда и числе параметров при t в уравнении
тренда находят табличные критические значения критерия.
Таблица 6.3. Критические значения критерия Дарбина–Уотсона, =0,05.
Если ral>0 , то при DW<DW1 есть автокорреляция остатков,
уравнение не пригодно для описания тренда; при DW>DW2
нет автокорреляции остатков, уравнение можно
использовать.
Если ral<0, то с критическими сравнивают значения 4-DW.
Составление прогноза на основе тренда
Если построено значимое уравнение тренда
, то
точечный прогноз на следующий период вычисляется по
этому уравнению:
.
Доверительный интервал для прогноза имеет вид:
,
где t() – коэффициент доверия, определяемый из таблицы
распределения Стьюдента (в Excel – при помощи функции
СТЬЮДРАСПОБР) для заданного уровня значимости и
числа степеней свободы k2=n-m (n+1 – число уровней ряда, m
79
- число параметров уравнения тренда без свободного члена;
2
yi
S l n m
2
1
2
( 2)
1
1
1
( 2)
n
i
tn
Q
n
tn
2
1
2
( 2)
1
1
( 2)
n
i
tn
Q
n
tn
значение k2 выводится в статистике функции ЛИНЕЙН);
- стандартная ошибка значения y,
характеризующая колеблемость уровней относительно
тренда; это значение выводится в статистике функции
ЛИНЕЙН.
Q – поправочный коэффициент, зависящий от типа
уравнения тренда, периода упреждения и типа прогноза
(индивидуальное значение или среднее).
В частности, при линейном или линеаризуемом тренде
для индивидуального прогноза
для прогнозирования среднего значения
.
Выявление сезонной неравномерности
Сезонные колебания - регулярно повторяющиеся
подъемы и снижения уровней динамического ряда внутри
года в течение ряда периодов. Сезонность может проявляться
как к годовым, квартальным и месячным, так и к недельным
и дневным и даже часовым данным.
Существуют две модели сезонности:
- в аддитивной модели сезонность выражается в виде
абсолютной величины, которая добавляется к среднему
значению ряда для учета сезонности при прогнозировании;
- в мультипликативной модели сезонность
выражается как процент от среднего уровня, на который
умножается среднее значение для учета сезонности.
Для выявления сезонной неравномерности необходимы
данные за несколько (не менее трех) лет (или, в зависимости
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]