Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны в сплошных средах. Сборник тестовых заданий. Учебное пособие
.pdf
Взаимосвязь амплитуд тока и напряжения
s
q
0
IqU
max 0 0 max
T
C
. (20)
L
0
q
0
q
0
0
q
0
Рис. 8. Свободные колебания в идеальном электри-
ческом колебательном контуре. Графики приведены
для случая
Дифференциальное уравнение свободных
затухающих колебаний
2
ds ds
20
2
dt
dt
2
s
0
Здесь – коэффициент затухания;
ds
ных колебаний (при 0
);
– скорость изменения
dt
рение.
t
t
0
2
, или
0
20sss
– циклическая частота свобод-
2
. (21)
0
;
2
ds
2
dt
– уско-
11
Затухающие колебания (рис. 9)
A
t
A
A
A
Здесь
Ae
0
sAe t
t
– амплитуда колебаний;
00
частота затухающих колебаний;
t
cos ( )
1
– время релаксации, время, за
. (22)
22
0
– циклическая
которое амплитуда колебаний уменьшится в
e
раз;
период затухающих колебаний.
t
sAe t
A
0
0
A
0
Рис. 9. Затухающие колебания
Логарифмический декремент
cos( )
00
AAe
0
T
затухающих колебаний
t
Декремент затухающих колебаний:
A
AAtT
At
1
2
()
()
T
e
. (23)
Логарифмический декремент и используемые для него формулы:
A
1
ln ln .
2
At T
() 1
()
At T N
T
(24)
2T
22
0
(рис. 10)
–
Здесь
1
колебаний;
e
в
раз.
и
()
At
– число колебаний, за которые амплитуда уменьшилась
N
2
()
At T
– амплитуды двух последовательных
12
t
A
F
Frx
t
sAe t
0
cos( )
00
AAe
0
t
0
A
0
A
A
1
2
T
Рис. 10. Затухающие колебания
Добротность Q колебательной системы
2()
Wt
Q
Добротность при слабом затухании 1:T
QN
() ( )
Wt Wt T
. (25)
T
0
. (26)
2
Добротность колебательной системы Q – это безразмерная величина,
равная произведению
на отношение энергии ()Wt колебаний си-
2
стемы в произвольный момент времени t к убыли энергии
() ( )Wt Wt T за один период колебаний.
Затухающие колебания пружинного маятника
Возвращающая сила: сила упругости
упр
циональная скорости:
kx . Сила трения, пропор-
. Диф-
тр
ференциальное уравнение колебаний
(уравнение движения)
(рис. 11)
F
F
упр
Рис. 11. Пружинный маятник
в среде с трением
тр
mx kx rx
, или
rk
xxx
0
. (27)
mm
13
Закон колебаний, ( )xt – смещение относительно положения равно-
R
весия:
t
xAe t
cos( )
00
. (28)
Частота колебаний в отсутствие трения
k
0
. (29)
m
Коэффициент затухания
. (30)
2rm
Частота затухающих колебаний
2
kr
m
. (31)
2
4
m
Добротность
Qr
km
. (32)
Затухающие колебания в колебательном контуре (рис. 12)
L
По второму закону Кирхгофа для
электрических цепей (или по обобщенному закону Ома для полной цепи):
q
RI L
C
C
Дифференциальное уравнение колебаний для заряда на обкладках конденса-
Рис. 12. Колебательный
контур
тора:
R
qq q
1
LLC
dI
. (33)
dt
. (34)
0
14
Закон колебаний, q – заряд:
R
R
s
s
F
qAe t
t
cos ( )
00
. (35)
Частота при отсутствии омического сопротивления (0)R
1
0
. (36)
LC
Коэффициент затухания
. (37)
2RL
Частота затухающих колебаний
1
LC
2
. (38)
2
4
L
Добротность
1 L
Q
. (39)
C
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
2
ds ds
2cos
2
dt
dt
2
ft
00
, или
2cos
2
ssf t
00
. (40)
Здесь – коэффициент затухания;
ных колебаний (при 0
дающая сила
внеш 0
);
/cos
mf t
cosft
0
частота внешней вынуждающей силы.
– циклическая частота свобод-
0
– приведенная внешняя вынуж-
m
, где
– масса,
– циклическая
Вынужденные колебания
()cossA t
15
. (41)
x
AQA
x
R
Здесь
баний;
()
A
arctg
22 22
0
0
2
2
22
0
– сдвиг по фазе относительно фазы вынуж-
– амплитуда установившихся коле-
4
дающей силы.
Резонанс (рис. 13)
Резонанс по амплитуде достигается при частоте
0
22
. (42)
2
:
.
0
В случае малого затухания
рез 0
Здесь A – значение амплитуды
при резонансной частоте; Q –
добротность системы;
статическое отклонение.
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при приближении частоты внешней вынуждающей силы к частоте, равной соб-
Рис. 13. Резонансное увеличение
амплитуды колебаний
ственной частоте системы.
Вынужденные электромагнитные колебания (рис. 14)
Согласно обобщенному закону Ома для полной цепи
q
IL U t
C
dI
dt
cos
0
. (43)
A
0
0
–
2
0
16
Дифференциальное уравнение
R
R
L
вынужденных колебаний
cosUt
0
C
R
qq q t
LLC
U
1
Закон колебаний
Рис. 14. Колебательный контур
с источником переменной ЭДС
()qt – заряд,
qq t
cos ( )
m
Амплитуда колебаний заряда
U
q
m
RL
0
2
2
1
C
. (46)
Сдвиг по фазе относительно фазы вынуждающих колебаний
arctg
Переменный ток. Частный случай: 0, 0RLC
R
L
. (47)
1
C
(рис. 15)
Колебания происходят в одной фазе с напряжением:
0
cos
L
. (44)
. (45)
U
U
It
0
. (48)
cos
R
Переменный ток. Частный случай: 0, 0LRC
(рис. 16)
По обобщенному закону Ома для полной цепи
dI
LU t
dt
0
17
. (49)
cos
RL
RC
R
L
cosUt
0
Рис. 15. Контур с источником переменной
ЭДС и омическим со противлением
Рис. 16. Контур с источником переменной
ЭДС и катушкой ин-
дуктивности
cosUt
0
Сила тока
UU
00
It t
sin cos
LL
. (50)
2
Напряжение опережает по фазе ток, текущий через катушку на
. Величина
/2
L
называется реактивным индуктивным сопро-
тивлением.
Переменный ток. Частный случай: 0, 0CRL
C
По обобщенному закону Ома для полной
цепи
q
Ut
C
(рис. 17)
. (51)
cos
0
Сила тока
cosUt
0
Рис. 17. Контур с ис-
точником переменной
ЭДС и конденсатором
dq
IUCtUCt
dt
sin cos
00
Напряжение по фазе отстает от тока на
Величина
1/
С
называется реактивным
емкостным сопротивлением.
2
. (52)
/2
.
18
Переменный ток. Общий случай: 0, 0, 0С RL (рис. 18)
R
Z
XCR
R
По обобщенному закону Ома для полной цепи
UUUU t
CRL
q
IL U t
C
Уравнение колебаний
Здесь
,
tg
I
m
1
L
2
RL
II t
UU
00
1
C
– сдвиг по фазе относительно фазы вынужда-
R
ющих колебаний напряжения
полное сопротивление цепи;
ние цепи.
C
dI
dt
cos( )
m
cos ,
0
cos .
0
. (54)
– амплитуда силы тока;
2
cos ;Ut
0
XL
ZR L
1
– реактивное сопротивле-
C
L
(53)
2
1
C
2
–
cosUt
0
Рис. 18. Колебательный контур с источником
переменной ЭДС
19
Резонансная частота
Резонанс напряжений
. (55)
рез
1
LC
Действующие значения переменного тока
Здесь
U
эфф
и
U
0
– амплитуды напряжения и тока.
I
0
I
2
U
0
,
I
0
. (56)
эфф
2
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока
2
RU
PRI
эфф
. (57)
2
Z
Гармоническая волна
2
эфф
(рис. 19)
Фазовая скорость волны
V
. (58)
Рис. 19. Гармоническая волна в виде графика зависимости смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в некоторый
(, const)xt
фиксированный момент
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]