Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в анализ данных с интервальной неопределенностью. Учебное пособие
.pdf
Интервальный вектор
— это упорядоченный набор интервалов. Множе-
ство интервальных𝑛-векторов, компоненты которых принадлежатIR, обо-
значаются как
IR𝑛. Интервальные векторы называются также
брусами
, по-
скольку геометрическим образом векторов являются прямоугольные парал-
лелепипеды с гранями, параллельными координатным осям в
Интервальная матрица
— это матрица с интервальными элементами,
R𝑛.
т. е. прямоугольная таблица, заполненная интервалами.
Интервальные векторы и матрицы являются специальным классом мно-
жеств в многомерных пространствах. С ними удобно работать, с их помощью
оценивают другие множества, возникающие при решении математических
задач. В этой связи чрезвычайно важно следующее понятие.
Определение.
𝑚×𝑛
R
, то его
интервальной оболочкой□𝑆
Если𝑆— непустое ограниченное множество в
называется наименьший по вклю-
R𝑛или
чению интервальный вектор (или матрица), содержащий𝑆.
2.3. Примеры интервальных расчетов
Обсуждение зависимости интервальных оценок областей значений выра-
жений от их вида содержится в [4]. Имеет место «основная теорема» интер-
вальной арифметики.
Теорема.
аргументов
становки вместо аргументов интервалов их изменения
выполнения всех действий над ними по правилам интервальной арифметики.
Тогда
𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
т. е.
𝑓♮(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
по одному вхождению каждой переменной в первой степени, то в
сто включения выполняется точное равенство.
Приведем пример интервальных расчетов с формулами, которые встре-
чаются в естественнонаучных законах.
Пример 2.3.3. Уравнение катализа.
рости реакции, катализируемой ферментом от концентрации субстрата, ис-
пользуется формула [21]
где𝑣— скорость реакции;
константа Михаэлиса;𝑆— концентрация субстрата.
Для иллюстративного расчета зададимся значением
конкретную реакцию со справочным значением
Пусть
𝑓( 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
𝑥1, . . .,
𝑥𝑛и для нее определен результат
𝑥1∈ 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛∈ 𝑥
содержит множество значений функции𝑓на брусе
. Если выражение для
𝑣 = 𝑉
𝑉
max
— рациональная функция вещественных
𝑓♮( 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
𝑥1,
⊆ 𝑓♮(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛),
𝑛
𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛)
𝑥2, . .. ,
содержит не более чем
𝑥𝑛∈ IR
(2.14)
Для описания зависимости ско-
𝑆
max
𝑆 + 𝐾
,
𝑀
— максимальная скорость реакции;
𝑉
= 1
max
. Возьмем
𝐾𝑀= 1, 44 ·10−4, а интервал
под-
(2.14)
вме-
(2.15)
𝐾𝑀—
и
21
концентрации𝑆равным интервалу с серединой
𝐾𝑀и 10%-ным радиусом,
т. е.
𝑆 = [1,2959, 1,5841]10−4.
Для вычисления𝑣выражение (2.15) представим двумя способами: в ис-
ходном виде и с делением числителя и знаменателя на𝑆. Во втором слу-
чае переменная𝑆входит в выражение (2.17) один раз, и согласно основной
теореме интервальной арифметики результат естественного интервального
оценивания совпадает с точной областью значений выражений:
𝑣1= 𝑉
𝑣2= 𝑉
max
max
𝑆
𝑆 + 𝐾
𝑀
1
1 + 𝐾𝑀/𝑆
= [0, 42857, 0, 57895];
= [0, 47368, 0, 52381].
(2.16)
(2.17)
Средние величины интервалов (2.16) и (2.17) отличаются незначительно:
mid 𝑣1= 0,5038 ≈ mid 𝑣2= 0,4987.
В то же время радиусы результатов вычислений𝑣для выражений (2.16) и
(2.17) существенно различны:
rad 𝑣1= 0,075187; rad 𝑣2= 0,025063.
При этом имеет место соотношение
rad 𝑣1> rad 𝑣
2
в силу неоднократного вхождения𝑆в выражение (2.16).
2.4. Полная интервальная
арифметика Каухера
Помимо классической интервальной арифметики часто возникает необ-
ходимость работать с полной интервальной арифметикой КаухераKR. Она
является алгебраическим и порядковым пополнением арифметикиIR, подоб-
но тому, как множество целых чисел пополняет натуральный ряд.
Элементами арифметикиKRявляются пары чисел, взятые в квадратные
скобки, вида
ны ситуации, когда
интервал вещественной оси, его называют
—
неправильный интервал
Таким образом,
[α, β]
, которые будем называть
α ≤ β
или
α > β
.
. Если
IR ⊂ KR.
интервалами
α ≤ β
, то
[α, β]
правильным
. При этом возмож-
обозначает обычный
. Если
α > β
, то
[α, β]
22
Неправильные интервалы можно рассматривать как математические аб-
стракции (аналогичные отрицательным или мнимым числам), которым мо-
гут быть даны осмысленные физические интерпретации. В данном учебном
пособии полная интервальная арифметика КаухераKRи неправильные ин-
тервалы, по существу, возникают при математической обработке интерваль-
ных результатов наблюдений и измерений.
Правильные и неправильные интервалы переходят друг в друга в резуль-
тате отображения
интервала, т. е. такого, что
Правильной проекцией
мый
pro 𝑎
, и такой, что
С помощью правильной проекции из произвольного интервала получаем его
правильный образ, с которым можно обращаться как с обычным числовым
интервалом вR.
Арифметические операции между интервалами в
рации вIR. В частности, формулы (2.10), (2.11) для сложения и вычитания
также определяют сложение и вычитание вKR. Умножение и деление между
интервалами изKRопределяются более сложно, и их описание можно найти
в работе [4].
Наиболее важной в интервальной арифметике Каухера является обрати-
мость арифметических операций. В частности, для любого интервала имеет-
ся противоположный ему интервал, т. е. обратный по сложению. Для интер-
валов, не содержащих нуль, имеются обратные к ним по умножению. Для
сложения (2.10) обратной операцией является не операция интервального
вычитания (2.11), а операция «алгебраическое вычитание», которую обозна-
чают знаком «⊖»:
Иногда в математических текстах этим же символом обозначается так на-
зываемая «разность Хукухары» двух множеств (Hukuhara dierence), но она
имеет другие смысл и назначение. Нетрудно проверить, что для любых ин-
тервалов𝑎,𝑏изKRимеют место равенства
Пример 2.4.4. Противоположный интервал.
противоположным по сложению является интервал
ный интервал
дуализации
интервала𝑎из
pro 𝑎 =
𝑎 ⊖ 𝑎 = 0; (𝑎 + 𝑏) ⊖ 𝑏 = 𝑎; (𝑎 ⊖ 𝑏) + 𝑏 = 𝑎.
[1, 2] + [−1,−2] = [1 − 1, 2 − 2] = [0, 0] = 0,
dual : KR → KR
dual 𝑎 := [ 𝑎, 𝑎 ].
KR
называется интервал, обозначае-
𝑎,
если𝑎— правильный,
dual 𝑎,
если𝑎— неправильный.
𝑎 ⊖ 𝑏 = [𝑎 − 𝑏, 𝑎 − 𝑏].
, меняющего местами концы
KR
продолжают опе-
Для интервала
[−1, −2]
(2.18)
[1, 2]
. Это неправиль-
23
т. е. в сумме с исходным интервалом он дает нейтральный элемент0. Отме-
тим, что для обычного интервального вычитания
[1, 2] − [1,2] = [1 − 2, 2 − 1] = [−1, 1].
Это иллюстрирует отмеченный ранее факт, что обычное интервальное вы-
читание не является операцией, обратной интервальному сложению.
Абсолютное значение
значение их правильных проекций, т. е.
Полная интервальная арифметика КаухераKRпополняет классическую ин-
тервальную арифметикуIRне только в алгебраическом смысле, но также и
относительно естественного порядка по включению «⊆».
Определение.
ется включение
𝑎 ⊆ 𝑏
интервалов из
|𝑎| = max {|𝑎|, |𝑎|}.
Будем считать, что для интервалов𝑎,
, если
KR
определяется как абсолютное
𝑏 ∈ KR
выполня-
𝑎 ≥ 𝑏
т. е. справедливы те же соотношения (2.6) между концами интервалов, что и
в случае классической интервальной арифметики.
Относительно введенного таким образом отношения включения вKRдля
любых двух интервалов существует минимальный и максимальный по вклю-
чению, т. е. результаты операций
Пример 2.4.5. Минимум и максимум по включению в полной
интервальной арифметике:
[1, 2] ∧ [3,4] = [3, 2]; [1, 2] ∨ [3, 4] = [1, 4].
Расстояние на множестве интервалов.
лами𝑎и𝑏изIRилиKRопределяется как
dist (𝑎, 𝑏) = max|𝑎 − 𝑏|, |𝑎 − 𝑏|.
Расстояние (2.19) обладает всеми свойствами абстрактного расстояния (мет-
рики). В частности,
dist (𝑎, 𝑏) = |𝑎 ⊖ 𝑏|.
Данная формула является полным аналогом расстояния между точками ве-
щественной оси, как модуля их разности, т.е.
Справедливо также следующее равносильное представление расстояния
(2.19) между интервалами:
dist (𝑎, 𝑏) = |mid 𝑎 − mid 𝑏| + |rad 𝑎 − rad 𝑏|.
и
𝑎 ≤ 𝑏,
𝑎 ∧ 𝑏и𝑎 ∨ 𝑏
всегда определены.
Расстояние между интерва-
|𝑎 − 𝑏|
.
(2.19)
24
Пример 2.4.6. Расстояния между интервалами.
тервал
емой с вырожденным интервалом
[3, 7]
и точку4внутри него. Расстояние от этой точки, отождествля-
[4, 4]
, до данного интервала равно
dist (4, [3,7]) = max|4 − 3|, |4 − 7|= 3.
Рассмотрим ин-
Рассмотрим дуальный интервал к интервалу
[7, 3]
. Расстояние его до исходного интервала равно
Расстояние важно для определения отклонения интервалов друг от друга
и, как следствие, для определения погрешности интервальных измерений.
Полная интервальная арифметика представлена С. И.Жилиным на языке
Octave
[19].
[3, 7]
. Это интервал
dist ([3, 7],[7, 3]) = 4
dual [3, 7] =
.
2.5. Оценки и погрешности измерений
2.5.1. Оценки точечные и интервальные
Следуя работе [1], опишем два вида оценок в традиционной и интерваль-
ной статистиках. Оценки величин могут быть
ными
.
Точечные оценки
соответствуют, как правило, тому типу данных, который используется в мо-
дели рассматриваемого объекта или явления, и могут использоваться при
его дальнейшем исследовании, прогнозировании его поведения и т.п.
Интервальные оценки
нок и нужны для характеризации их возможного разброса и изменчивости
(
вариабельность
стике оценки параметров являются случайными величинами, а носители их
вероятностных распределений могут быть неограниченными, поэтому при
определении интервальных оценок обычно задают некоторый
чимости
усечение вероятностного распределения. Тем самым всегда обеспечиваются
ограниченность интервальных оценок и их практичность.
чечными
Точечная оценка несет тот же смысл, что и в традиционной статистике, а
интервальная оценка тоже дает область возможных значений точечных оце-
нок, характеризуя их возможный разброс и вариабельность. Многомерные
интервальные оценки удобнее всего использовать в форме брусов.
ной статистики. Во-первых, задание уровня значимости не требуется, так
как множества значений оценки, как правило, являются ограниченными. Во-
вторых, интервальные оценки могут иметь разный смысл — быть внутрен-
ними, внешними или какими-нибудь другими, сообразно чему их смысл раз-
, или
В интервальном анализе данных оценки величин также могут быть
либо
Но есть и существенные отличия интервального анализа от вероятност-
, т.е. оценки в виде точек (чисел, векторов или матриц),
дают области возможных значений точечных оце-
, см. пп. 3.5 и 3.5). В традиционной вероятностной стати-
доверительной вероятности
интервальными
, или даже иметь форму других множеств.
точечными
, с помощью которых выполняют
или
интерваль-
уровень зна-
то-
25
личен. В-третьих, в пределах внутренней интервальной оценки все значения
равноценны и тоже могут являться точечными оценками рассматриваемой
величины. Напротив, в традиционной вероятностной статистике точечные
значения внутри интервальной оценки не вполне равноценны друг другу.
2.5.2. Измерения и их результаты
Основным понятием теории обработки наблюдений является понятие
мерения(наблюдения
жет обозначать как процесс измерения или наблюдения, так и его результат.
Из контекста обычно бывает ясно, какое значение слова имеется в виду [1].
Определение.
меренное значение величины.
По способу получения результата измерения все процессы измерения раз-
деляются в работе [11] на
мерениях объект исследования приводят в непосредственное взаимодействие
со средством измерений, которое выдает результат. При косвенных измере-
ниях значение измеряемой величины находят на основании известной зави-
симости между измеряемой величиной и искомой величинами.
При совокупных измерениях значения искомых величин определяются
из системы (совокупности) уравнений.
Приведенная классификация условна. Следует отметить, что результат
измерения является
ром находятся первичные измерения, и
рого способа математической обработки
На практике измерение (замер, наблюдение) может представлять собой
вещественное число или интервал, или составленные из них многомерные
объекты (вектор, матрицу, интервальный вектор, интервальную матрицу и
т. п.). Вещественный тип данных для измерений является традиционным.
Приведем ряд примеров, чтобы выяснить, каким образом в результате изме-
рений могут быть получены интервалы.
Погрешности квантования.
никающая при преобразовании величины, принимающей непрерывный ряд
значений, в цифровую форму, которая может принимать дискретный на-
бор допустимых уровней. Значение преобразуемого аналогового сигнала за-
меняется ближайшим разрешенным уровнем цифрового сигнала, что дает
погрешность квантования. Ее называют также
Погрешности квантования присущи всем аналого-цифровым преобразо-
вателям. Если используем интервальный тип данных, интервальные резуль-
таты измерений, то результат представления непрерывного сигнала𝑡, не рав-
ный точно какому-либо допустимому уровню
записан как интервал
Неопределенность измерения нуля.
). Слово «измерение» имеет много значений. Оно мо-
Измерением
итогом
[𝑡𝑖, 𝑡
(замером, наблюдением) будем называть из-
прямые,косвенныеисовокупные
какого-либо физического эксперимента, в кото-
последующего применения некото-
первичных измерений.
Это инструментальная погрешность, воз-
погрешностью оцифровки
𝑡0,
𝑡1, . .. ,
] ∋ 𝑡
𝑖 + 1
, и такое представление точное (см. п. 3.4).
Согласно работе [22]
. При прямых из-
𝑡𝑝, может быть
погрешно-
из-
.
26
стью нуля
называется погрешность средств измерений в контрольной точке,
когда заданное значение измеряемой величины равно нулю. Следовательно,
неопределенность измерений нуля — это неопределенность измерений, когда
заданное значение измеряемой величины равно нулю (см. п. 3.4).
Агрегирование результатов многократных наблюдений.
На прак-
тике измерение интересующей величины выполняется для надежности мно-
гократно. Тем не менее повторные измерения одних и тех же явлений не
показывают в пределах точности измерений совпадения результатов. В дан-
ном случае результатом серии повторяющихся измерений можно взять ин-
тервал от минимального до максимального из результатов, т. е. агрегировать
(объединить) результаты отдельных измерений. Если результаты повторных
измерений величины равны
следует взять
𝑥1,
𝑥2, . . .,
𝑥 =min
1≤ 𝑖 ≤𝑛
𝑥𝑛, то интервальным результатом
𝑥𝑖, max
1≤ 𝑖 ≤𝑛
𝑥
.
𝑖
Будем называть данный способ получения интервального результата изме-
рения
агрегированием
.
Используя введенные ранее (см. п. 2.2) операции взятия интервальной
оболочки множества и максимума по включению (2.8), этот результат можно
записать следующим равносильным образом:
𝑥 =□{𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛}
или
𝑥 =
𝑥𝑖.
1 ≤ 𝑖≤ 𝑛
Эти представления хороши тем, что могут быть обобщены для более слож-
ных случаев (см. п. 3.4).
Погрешности измерений и наблюдений.
Интервалы в результатах
измерений могут возникать различным способом. Они могут появляться сра-
зу в виде готовых интервалов, но могут возникать в результате коррекции
точечных результатов.
Один из распространенных способов получения интервальных результа-
тов в первичных измерениях — это обынтерваливание точечных значений,
когда к точечному
ям измерительного прибора, прибавляется
базовому значению˚𝑥, которое считывается по показани-
интервал погрешностиε:
𝑥 = ˚𝑥 + ε.
(2.20)
Интервал погрешности может быть произвольным, но если он уравновешен,
т. е.
ε = [−ε, ε]
для некоторого
ε > 0,
то иногда для прямых измерений это можно трактовать как отсутствие си-
стематических погрешностей.
27
Пример 2.5.7. Интервал показаний измерителя силы тока.
положим, что в процессе измерения силы тока мы смотрим на шкалу ампер-
метра и считываем измеренное значение — 5,4 А. Класс точности используе-
мого прибора — 2, и это, по определению, максимально допустимое значение
основной приведенной погрешности, выраженной в процентах. Следователь-
но, истинное значение измеряемого тока должно лежать в интервале
5,4 − 0,02 · 5,4, 5,4 + 0,02 · 5,4А
Интервал измерения строится с целью оценить истинное значение изме-
ряемой величины, и получаемые при этом приближения могут быть каче-
ственно различными. Они могут включать (накрывать) истинное значение,
но они также могут его и не содержать.
Выборка в вероятностной статистике — это часть генеральной совокуп-
ности элементов, которая охватывается экспериментом (наблюдением, опро-
сом). В данном учебном пособии
татов измерений. Абстрактное понятие
представляет собой совокупность всех мыслимых (но реально не существую-
щих) наблюдений интересующей нас величины при заданных условиях экс-
перимента, в анализе интервальных данных не используется.
Каждое измерение из выборки в случае неточности описывается своим
интервалом неопределенности. Погрешности и неопределенности многомер-
ных величин могут описываться интервальными векторами, которые обычно
называют брусами.
Существуют также другие подходы к классификации интервальных дан-
ных, что может использоваться при выборе способа их обработки.
Классификация по ширине интервалов.
личать интервальные данные по ширине интервалов, т. е. по величине име-
ющейся у них неопределенности.
Если интервальные данные являются узкими, почти совпадая с точечны-
ми величинами, то для них интервальная специфика выражена слабо или не
выражена. В некоторых ситуациях для их обработки можно даже применять
те подходы и алгоритмы, которые используются для неинтервальных (то-
чечных) данных. При этом «небольшая интервальность» узких интервалов
позволяет использовать упрощенные, но достаточно точные приемы обработ-
ки, основанные на асимптотических разложениях, пренебрежении членами
высокого порядка и т.п.
При увеличении ширины интервальных данных их уже нельзя рассмат-
ривать как «приближенно точечные», они становятся «существенно интер-
вальными», но несут некоторые черты, присущие точечным данным. Отсут-
ствие пересечений интервальных измерений выборки является признаком то-
го, что интервальные данные все еще «не слишком широки» и не слишком
сильно отличаются от точечных данных.
выборкой
= [5,292, 5,508]А.
называется совокупность резуль-
генеральной совокупности
Прежде всего, следует раз-
Пред-
, которая
28
Наконец, при дальнейшем увеличении ширины интервальных измерений
в выборке они начинают пересекаться друг с другом, и это служит признаком
следующего качественного состояния, когда интервальные данные являют-
ся «широкими интервальными», т. е. интервальная неопределенность велика.
Этот случай является специфически интервальным, к которому точечные
методы обработки данных уже принципиально неприменимы.
Классификация по способу измерения.
сификация интервальных данных по способу их получения — с помощью
одного или нескольких измерительных устройств.
С учетом различных способов измерений и различной точности измери-
тельных инструментов нужно по-разному использовать прием варьирования
неопределенности в выборке (см. п. 3.5).
В работе [39] вводится клас-
2.5.3. Более сложные типы интервалов
Для описания данных разработана теория более сложных типов интерва-
лов. Описание двух таких типов, твинов и мультиинтервалов дано в работе
[3].
Твины — интервалы интервалов.
представляющие результаты измерений, могут быть известны неточно, по-
этому возникает необходимость работы с интервалами, имеющими интер-
вальные концы. В интервальном анализе такие объекты называются
нами
(англ. twin — сокращение фразы twice interval, «двойной интервал»).
Развернутое изложении теории твинов дано в диссертации [23].
Tвин, как «интервал интервалов» или интервал с интервальными конца-
ми, можно представить как
На практике концы интервалов,
тви-
𝑋 = [𝑎, 𝑏] =[𝑎, 𝑎], [𝑏,𝑏].
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
𝑋
Рис. 2.2.
На рис. 2.2 твин𝑋представлен в графической форме. Концы твина, т.е.
интервалы𝑎и𝑏, представлены более темной заливкой, чем остальная часть
твина.
Твин является множеством всех интервалов, больших или равных
и меньших или равных
торый вкладывается в понятия «больше или равно», «меньше или равно».
Поскольку интервалы могут быть упорядочены различными способами, то
существуют различные виды твинов. Двум основным частичным порядкам
Твины на вещественной оси
[𝑏, 𝑏]
, и точное определение зависит от смысла, ко-
R
-
(2.21)
[𝑎, 𝑎]
29
наIRиKR, «⊆» и «≤», соответствуют два основных типа твинов. Разрабо-
таны различные операции с твинами, а также способы оценок значений их
функций.
Пример 2.5.8. Измерение температуры термометром сопротив-
ления в виде твина.
В лабораторной и промышленной практике широ-
ко применяются термометры сопротивления. Один из типов таких датчиков,
платиновый термометр Pt100, имеет номинальное сопротивление 100 Ом при
температуре
0∘C и систематическую погрешность
Δ𝑡 = ±0,35∘C
Пусть измеряемая температура находится в диапазоне
.
[19,5, 20,5]∘C, которую
представим как интервал𝑡:
Представим границы
𝑡 = [19,5, 20,5]∘C
𝑡, 𝑡
интервала𝑡как интервалы. С учетом системати-
.
(2.22)
ческой погрешности твин температуры𝑇, определяемой датчиком, составит
𝑇 =[19,15, 19,85], [20,15, 20,85]
19,15 19,85
20,15 20,85
∘
C
.
R
-
(2.23)
𝑇
Рис. 2.3.
Температура как твин
Графическое представление твина𝑇(2.23) дано на рис. 2.3. Форма записи
температуры в виде твина𝑇(2.23) четко и полно представляет информацию
об измеряемых данных. В случае если концы интервала в выражении (2.22)
могут меняться независимо, возможны различные ситуации. Например, мо-
жет быть, что значения температур для левого конца будут выше, чем для
правого.
Мультиинтервалы.
В ряде разделов науки и техники имеют место си-
туации, когда исследуемая величина содержится в неодносвязной области.
Согласно определению, приведенному в работе [4],
мультиинтервал
это объединение конечного числа несвязных интервалов числовой оси как
показно на рис. 2.4.
R
-
—
30
Рис. 2.4.
Мультиинтервал в
R
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]