Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в анализ функции, пределы, непрерывность. Учебное пособие
.pdf
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
С.Г. Афанасьев
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ:
ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Учебное пособие
2-е издание
Саратов
Вузовское образование
2024
УДК 517
ББК 22.1
А94
Автор:
Афанасьев С.Г. — ст. преподаватель
кафедры прикладной информатики и математики
Северо-Кавказского социального института
Афанасьев, Сергей Георгиевич.
А94 Введение в анализ: функции, пределы, непрерывность : учебное посо-
бие / С.Г. Афанасьев. — 2-е изд. — Саратов : Вузовское образование,
2024. — 85 с. — (Высшее образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4487-1018-6
Учебное пособие написано с учетом современных требований к подго-
товке специалистов высших учебных заведений на базе лекций, прочитанных
автором для студентов Северо-Кавказского социального института. В нем при-
водятся необходимые теоретические сведения и примеры, поясняющие их.
Наряду со словесно-повествовательным характером изложения материала используется условная символика математического языка.
Подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образова-
тельным стандартом высшего образования.
Предназначено для студентов вузов, образовательная программа которых
содержит дисциплины, включающие в себя основы математического анализа,
элементы высшей математики. Издание может быть использовано как в аудиторной учебной работе, так и для самостоятельной подготовки студентов.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4487-1018-6 © Афанасьев С.Г., 2020
© Оригинал-макет, оформление.
ООО «Вузовское образование», 2024
Учебное издание
Афанасьев Сергей Георгиевич
Редактор М.В. Половникова
Технический редактор, компьютерная верстка Е.В. Якубович
Корректор А.В. Мисенжников
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова
Подписано к использованию 21.08.2024. Объем данных 6,5 Мб.
ООО «Вузовское образование»
8 (8452) 24-77-97
E-mail: sale@iprbookshop.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................................... 6
1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ .................................................................. 7
1.1. Понятие множества, действия над множествами ................................................... 7
1.2. Операции над множествами ......................................................................................... 7
1.3. Числовые множества ..................................................................................................... 8
1.4. Некоторые свойства вещественных чисел ............................................................... 9
1.5. Границы числовых множеств .................................................................................... 11
1.6. Некоторые подмножества множества действительных чисел ........................... 12
1.7. Модуль вещественного числа и его свойства ........................................................ 13
2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ........................................................................................................ 16
2.1. Способы задания функции ......................................................................................... 16
2.2. Тождественное равенство функций ......................................................................... 18
2.3. Арифметические операции над функциями ........................................................... 19
2.4. Обратимая функция ..................................................................................................... 19
2.5. Сложная функция ......................................................................................................... 19
2.6. Обратная функция ........................................................................................................ 20
2.7. Многозначные функции .............................................................................................. 21
2.8. Простейшие и элементарные функции.................................................................... 22
2.9. Неэлементарные функции .......................................................................................... 27
2.10. Четные и нечетные функции ................................................................................... 28
2.11. Периодические функции .......................................................................................... 29
2.12. Монотонные функции ............................................................................................... 31
2.13. Теорема (об обратной функции) ............................................................................. 31
3. ПРЕДЕЛЫ ................................................................................................................................. 33
3.1. Предел последовательности ....................................................................................... 33
3.2. Геометрический смысл предела последовательности ......................................... 34
3.3. Понятие ограниченной переменной ......................................................................... 36
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины .......................................... 36
3.5. Свойства бесконечно малой величины (БМВ) ...................................................... 37
3.6. Арифметические операции над пределами ............................................................ 39
3.7. Предельный переход в равенствах и неравенствах .............................................. 41
3.8. Особые случаи и неопределенности ........................................................................ 42
3.9. Признак сходимости числовой последовательности ........................................... 45
3.10. Монотонная переменная и ее предел ..................................................................... 45
3.11. Число е .......................................................................................................................... 46
3.12. Связь натуральных логарифмов с десятичными логарифмами ...................... 49
3.13. Теорема о стягивающихся отрезках ....................................................................... 50
3.14. Теорема Больцано — Вейерштрасса...................................................................... 53
3.15. Критерий Больцано — Коши ................................................................................... 54
3.16. Предел функции в точке ........................................................................................... 56
3.17. Геометрический смысл предела функции в точке .............................................. 57
3.18. Распространение теорем о пределе последовательности
на общий случай ................................................................................................................... 57
5
3.19. Предел сложной функции ........................................................................................ 59
3.20. Односторонние пределы ........................................................................................... 59
3.21. Предел на бесконечности ......................................................................................... 60
3.22. Бесконечные пределы ................................................................................................ 60
3.23. Замечательные пределы ............................................................................................ 61
3.24. Сравнение бесконечно малых функций ................................................................ 62
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ............................................................................................................... 65
4.1. Непрерывность функции в точке .............................................................................. 65
4.2. Арифметические операции над непрерывными функциями.............................. 66
4.3. Непрерывность сложной функции ........................................................................... 67
4.4. Односторонняя непрерывность ................................................................................. 67
4.5. Точки разрыва функции .............................................................................................. 68
4.6. Свойства непрерывных функций .............................................................................. 69
4.7. Равномерная сходимость ............................................................................................ 74
4.8. Непрерывность элементарных функций ................................................................. 78
4.9. Степенная функция ...................................................................................................... 78
4.10. Показательная функция ............................................................................................ 79
4.11. Тригонометрическая функция ................................................................................. 80
4.12. Гиперболические функции ....................................................................................... 80
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ...................................................................................................... 83
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................... 85
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие написано с учетом современных требований к подготовке специалистов высших учебных заведений на базе лекций, прочитанных
автором для студентов Северо-Кавказского социального института. В нем при-
водятся необходимые теоретические сведения и примеры, поясняющие их.
Наряду со словесно-повествовательным характером изложения материала ис-
пользуется условная символика математического языка. Предназначено для
студентов вузов, образовательная программа которых содержит дисциплины,
включающие в себя основы математического анализа, элементы высшей мате-
матики.
Учебное пособие обеспечивает математическую базу, необходимую для
успешного усвоения студентами других разделов математического анализа,
способствует формированию умений и навыков, необходимых для практиче-
ского применения математических идей и методов, для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и
выбора наилучших способов их реализации.
Издание знакомит читателя с основными положениями и канонами мате-
матического мышления, возможностями математических методов исследования, методами математического моделирования, развития общей математиче-
ской грамотности его как будущего специалиста.
Учебное пособие способствует построению системы знаний и умений в
области математического анализа, необходимых для применения в будущей
профессиональной деятельности, при изучении смежных дисциплин, проведе-
нии научных исследований.
7
1. МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
1.1. Понятие множества, действия над множествами
Под множеством будем понимать любую совокупность предметов, объек-
тов различной природы, воспринимаемых как единое целое.
Здесь существенно то, что множество предметов само рассматривается
как один объект.
Этим и объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приме-
нимость в самых различных областях знания — математике, физике, химии,
биологии, лингвистике и т.д.
Если множество содержит конечное число элементов, его называют ко-
нечным, если в нем бесконечно много элементов, то — бесконечным.
Числовые множества представляют частный случай множеств, изучаемых
математикой.
Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, элементы множества принято обозначать прописными буквами латинского
алфавита.
Определение: Если каждый элемент множества А является элементом мно-
жества В, то говорят, что множество А включено (содержится) во множестве В.
0
def
A B A a A a B
.
Определение: Равенство множеств:
def
A B A B B A=
.
Определение: Эквивалентность двух множеств:
AB
, если каждому
элементу множества А соответствует единственный элемент из множества В
и наоборот.
!:A B a A b B a b =
и наоборот.
1.2. Операции над множествами
Определение: Объединение множеств.
:
def
A B C x x A x B=
.
8
Определение: Пересечение множеств.
:
def
A B C x x A x B=
.
Определение: Разность множеств.
\:
def
A B C x x A x B=
.
1.3. Числовые множества
1.
1,2,3,..., ,...Nn=
— множество натуральных чисел.
2.
..., ,..., 2, 1,0,1,2,..., ,...Z m m= − − −
— множество целых чисел.
3.
,,
m
Q m Z n N
n
=
— множество рациональных чисел.
Любой элемент из множества рациональных чисел можно представить
в виде конечной или бесконечной периодической дроби.
4. I — множество иррациональных чисел — множество бесконечных не-
периодических, десятичных дробей.
5.
R Q I=
— множество действительных чисел.
N Z Q R
.
Геометрическая интерпретация (модель) множества действительных
(вещественных) чисел: каждому вещественному числу на прямой линии соответствует и единственным образом точка и наоборот.
6. A— множество алгебраических чисел. Множество алгебраических чи-
сел — это корни алгебраических уравнений.
Уравнением называют верное равенство при некоторых значениях неиз-
вестных переменных величин.
Алгебраическим уравнением называют равенство нулю многочлена n-й
степени от одной или нескольких переменных.
Пример:
Вид алгебраического уравнения с одним неизвестным:
12
0 1 2 1
... 0
n n n
nn
a x a x a x a x a
−−
−
+ + + + + =
,
n — неотрицательное целое число.
9
7. T— множество трансцендентных чисел. Множество трансцендентных
чисел — это корни трансцендентных уравнений. Уравнение, не сводящееся к
алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением. Простейшими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические
уравнения.
Пример:
()
0, ( ) log , sin , cos , ,
fx
a
a f x b x a x a tg x a ctg x a= = = = = =
.
Схематическое разбиение
множества действительных чисел на подмножества
8. С— множество комплексных чисел. Один из способов построения
множества комплексных чисел заключается в том, что множество действительных чисел расширяется путем присоединения к нему нового числового объек-
та — корня уравнения
2
10x +=
.
N Z Q R C
.
1.4. Некоторые свойства вещественных чисел
1. Упорядоченности:
,a b R a b a b a b =
.
10
2. Транзитивности:
если
a b b c a c
.
3. Плотности:
R
— всюду плотно,
,:a b R c R a c b
, следствием этого является
то, что таких чисел бесконечно много.
4. Бесконечности:
Аксиома Архимеда: множество действительных чисел бесконечно.
a R n N a n
.
5. Полноты.
Разобьем множество действительных чисел на два подмножества, кото-
рые удовлетворяют следующим условиям:
:R X Y=
1)
0, 0XY
;
2) каждый элемент множества действительных чисел принадлежит одно-
му и только одному из этих подмножеств.
a R a X a Y a X a Y
;
3) любой элемент множества
X
не превосходит элементов из множества
Y
.
x X y Y x y
.
Произведенное разбиение множества действительных чисел называется
сечением во множестве действительных чисел. Сечение разбивает множество
действительных чисел на два класса: нижнее и верхнее.
Теорема Дедекинда:
Для всякого сечения множества действительных чисел существует число из этого множества, которое производит это сечение, причем оно является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшим в верхнем классе.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]