Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в анализ функции, пределы, непрерывность. Учебное пособие
.pdf
41
Переходя к пределу:
n n n
x y z+=
;
lim lim lim
lim lim lim( )
lim( ) lim
n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n
nn
x y z
x y x y
x y z
→ → →
→ → →
→ →
+=
+ = +
+=
.
Теорема 3: Предел произведения двух переменных величин, имеющих
предел, равен произведению их пределов:
lim( ) lim lim
n n n n
n n n
x y x y
→ → →
=
.
Доказательство: (самостоятельно).
Теорема 4:
Предел частного двух переменных величин, имеющих предел, равен
частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю:
lim
lim , lim 0
lim
n
n
n
n
nn
nn
n
x
x
y
yy
→
→ →
→
=
.
Доказательство: (самостоятельно).
3.7. Предельный переход в равенствах и неравенствах
Теорема 1: Если переменные
,
nn
xy
, имеющие предел, изменяются так,
что
nn
x y n N=
,то их пределы тоже равны
lim lim
nn
nn
xy
→ →
=
:
lim lim
n n n n
nn
x y x y
→ →
= =
.
Теорема 2: Если переменные
,
nn
xy
, имеющие предел, изменяются так,
что
nn
x y n N
, то их пределы сохраняют такое же неравенство:
lim lim
nn
nn
xy
→ →
:
42
lim lim
n n n n
nn
x y x y
→ →
.
Теорема 3: (о двух милиционерах) Если переменные
,,
n n n
x y z
, имею-
щие предел, изменяются так, что
n n n
x y z n N
и
lim lim
nn
nn
x A, z A
→ →
==
то и
lim
n
n
yA
→
=
:
, lim , lim lim
n n n n n n
n n n
x y z x A z A y A
→ → →
= = =
.
Доказательство:
lim | | , ;
lim | | , ;
n n n i
n
n n n j
n
x A x A A x A n n N
z A z A A z A n n N
→
→
= − − +
= − − +
0
max{ , };
;
;
| | lim .
n n n i j
n n n
n
nn
n
x y z n n n n
A x y z A
A y A
y A y A
→
=
− +
− +
− =
3.8. Особые случаи и неопределенности
В теоремах об арифметических операциях над пределами предполагалось,
что предел имеет каждая переменная, входящая в выражение, что обеспечивало
существование предела всего выражения.
Однако бывают случаи, когда не все переменные, входящие в данное вы-
ражение, имеют предел, такие ситуации называют особыми случаями.
Рассмотрим случай произведения двух переменных величин
nn
xy
:
1.
, 0,
nn
n x a a y→ → →
.
43
Так как величина
n
x
имеет предел, то она ограничена, и начиная с неко-
торого номера
0
n
x
, тогда обратная ей величина
1
n
x
— конечная, ограничен-
ная, не равна нулю.
n
ny→ →
,
то
n
y
— ББВ, обратная ей величина
1
n
y
— БМВ, тогда:
nn
xy
— ББВ;
1
nn
xy
— БМВ.
2.
0
n
n
x
y
→
→
при
n →
:
а)
1
,3
nn
x y n
n
==
;
1
33
nn
x y n
n
= =
;
б)
2
1
,2
nn
x y n
n
==
;
2
12
2 0,
nn
x y n n
nn
= = → →
;
в)
3
1
,
nn
x y n
n
==
;
32
1
,
nn
x y n n n
n
= = → →
.
44
Произведение переменных величин
nn
xy
при
0,
nn
n x y→ → →
может быть величиной конечной, БМВ, ББВ.
Такую ситуацию называют неопределенностью и обозначают:
[0 ]
.
Неопределенностью также являются:
0 0 0
0
, , , 1 , 1 , 0 , ,
0
−
.
Неопределенностью не является:
• любая «определенность»;
• бесконечно малое число, деленное на ненулевую константу:
0
0
11
=
;
• бесконечно малое число, деленное на бесконечно большое число:
0
0
=
;
• ненулевая константа, деленная на бесконечно малое число:
3
0
=
;
• бесконечно большое число, деленное на бесконечно малое число:
1
00
= = =
.
Вывод: Если предел выражения является неопределенностью, то с помо-
щью тождественных преобразований его необходимо привести к виду, в кото-
ром неопределенность отсутствует.
Пример:
1. Числитель и знаменатель делим на старшую степень:
2
2
2
2
1
3
31
lim lim 3
12
2
1
nn
n
n
nn
nn
→ →
−
−
= = =
− +
−+
.
2. Умножим и разделим на сопряженное выражение:
(
)
22
lim [ ]
n
n an b n cn d
→
+ − − + + = − =
45
(
)
22
22
22
lim
n
n an b n cn d
n an b n cn d
n an b n cn d
→
+ − + + +
= + − − + + =
+ − + + +
22
22
22
()
lim lim
11
nn
bd
ac
n an b n cn d
n
a b c d
n an b n cn d
n n n n
→ →
+
−−
+ − − + +
= = =
+ − + + +
+ − + + +
lim
22
n
a c a c
→
−−
==
.
3.9. Признак сходимости числовой последовательности
Определение: Последовательность называется сходящейся, если она име-
ет предел, в противном случае последовательность будет расходиться.
3.10. Монотонная переменная и ее предел
Определение: Если переменная
n
x
величина изменяется так, что
1 2 3
... ...
n
x x x x
, то переменная
n
x
называется возрастающей в строгом
(узком) смысле. Если неравенство нестрогое
1 2 3
... ...
n
x x x x
, то пере-
менная
n
x
— называется возрастающей в широком смысле этого слова.
Определение: Если переменная
n
x
величина изменяется так, что
1 2 3
... ...
n
x x x x
, то переменная
n
x
называется убывающей в строгом (уз-
ком) смысле. Если неравенство нестрогое
1 2 3
... ...
n
x x x x
, то переменная
n
x
называется убывающей в широком смысле этого слова.
Указанные переменные называются монотонными.
Теорема: (О монотонной переменной). Если переменная величина
n
x
монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.
Если переменная величина
n
x
монотонно убывает и ограничена снизу, то
она имеет предел.
Доказательство:
При доказательстве используем Теорему: Всякое не пустое, ограниченное
сверху множество имеет точную верхнюю границу, всякое не пустое, ограни-
ченное снизу множество имеет точную нижнюю границу. (Доказать самостоятельно).
46
Рассмотрим случай возрастающей переменной.
n
x
— возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет точную
верхнюю границу:
:
n
M x M n N
.
0
n
x M n N
+
.
По основному свойству точной верхней границы, найдется такой элемент
n
x
для выбранного положительного числа
, что будет выполняться неравенство (1):
0:
nn
x x M
−
. (1)
Поскольку последовательность монотонно возрастает, то:
0 n
n n x M
−
. (2)
Из неравенств (1) и (2) следует:
0n
M x M n n
− +
.
Используя свойство модуля числа:
0
||
n
x M n n
−
.
В силу произвола выбора числа
число M является пределом последо-
вательности
{}
n
x
(по определению предела):
lim
n
n
xM
→
=
.
Случай монотонного убывания доказывается аналогично.
3.11. Число е
47
1
lim 1
n
n
е
n
→
+=
.
Рассмотрим последовательность, заданную
1
1
n
n
x
n
=+
— членом.
Для того чтобы убедиться, что последовательность имеет предел, необхо-
димо и достаточно установить два факта:
1) что последовательность возрастает (или убывает);
2) что последовательность ограничена сверху (или снизу).
Докажем следующую лемму.
Лемма Бернулли: Справедливо неравенство:
(1 ) 1 , , 1
n
h nh n N h+ + −
.
Доказательство: методом полной математической индукции:
1. Проверим для
1n =
:
1
(1 ) 1hh+ +
— верно (1).
2. Пусть неравенство выполняется для
nk=
:
(1 ) 1
k
h kh+ +
— верно (2).
3. Докажем для
1nk=+
:
1
(1 ) 1 ( 1)
k
h k h
+
+ + +
; (3)
(1 ) (1 ) 1
k
h h kh h+ + + +
.
Подставляя неравенство (2) в (3):
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
k
h h h kh kh h+ + + + + +
;
(1 ) (1 )
k
h kh+ +
неравенство верно для любого
nN
.
Введем вспомогательную переменную:
48
11
1
1 1 1
1 , 1
11
n n n n
nn
nn
yy
n n n n
++
−
+
= + = = + =
−−
.
Найдем отношение предыдущего элемента к последующему:
1
1 2 1
1
1 2 1
1
1
2
22
1 ( ) 1
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1)
1 1 1 1 1
1.
11
nn
n n n
n
n n n
n
n
n
y n n n n n n n n
y n n n n n n n n
n n n
n n n n
+
++
−
++
+
+
−−
= = = =
− + − + − −
− + − −
= = +
−−
Используя неравенство Бернулли:
(1 ) 1 , , 1
k
h k h k N h+ + −
;
2
1
,1
1
h k n
n
= = +
−
;
1
22
11
1 1 ( 1)
11
n
n
nn
+
+ + +
−−
;
1
22
1 1 1
1 1 ( 1) 1
1 1 1
n
n
n n n
+
+ + + = +
− − −
;
1
2
1 1 1
11
11
n
n n n
n n n n
+
−−
+ =
−−
;
1
11
1
2
11
1 1 1
1
n
nn
nn
nn
y n y
yy
y n n y
+
−−
−
−
= +
−
;
}{
n
y
— убывает.
Используя лемму Бернулли:
1
1 1 1 1
1 1 1 1 2 2
n
n
n
y
n n n n
+
+
= + + = + + = +
;
49
42
n
y
,
{}
n
y
— монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, последователь-
ность имеет предел.
1
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n n n
nn
n
xy
n n n
n n n
+
+
= + = + = + =
+ + +
.
Переходя к пределу:
11
lim lim lim lim lim
11
11
n n n n
n n n n n
x y y y
nn
→ → → → →
= = =
++
.
Так как предел
lim
n
n
y
→
существует, то существует и предел
lim
n
n
x
→
, обозна-
чим его через число е — иррациональное число.
1
lim 1
n
n
e
n
→
+=
;
1
1 1 1 1 1
1 ... ... 1 2,73
1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... !
k
nk
e
=
= + + + + + + = +
.
Пример:
lim 1 lim 1
а
nn
а
а
nn
аа
e
nn
→ →
+ = + =
.
3.12. Связь натуральных логарифмов
с десятичными логарифмами
Число е можно принять за основание логарифма.
50
log
е
b
— такие логарифмы принято называть натуральными и обозна-
чать
lnb
.
По основному логарифмическому тождеству:
log
ln
a
b
b
a b e b= =
.
Прологарифмируем обе части равенства по основанию десять:
ln
lg 1
lg lg ln lg lg ln , 2,3026 ln 2,3026 lg
lg lg
b
b
e b b e b b b b
ee
= = = =
.
3.13. Теорема о стягивающихся отрезках
Определение: Система отрезков называется стягивающейся, если:
1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем:
1 1 2 2 3 3
[ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ]
nn
a b a b a b a b
(*);
2) длина n-го отрезка стремится к нулю, при
→n
:
0,
nn
b a n− → →
.
0 ( ) ( )
nn
n N b a
−
.
Теорема: (Кантора) Всякая система стягивающихся отрезков имеет
единственную точку, принадлежащую каждому отрезку системы. Концы системы отрезков стягиваются в эту точку при неограниченном числе отрезков:
( )
1 1 2 2 3 3
[ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ] ... ! [ , ], :
lim lim
n n n n
nn
nn
a b a b a b a b c a b n N
abс
→ →
→
==
Доказательство:
Согласно принципу вложенных промежутков, для системы отрезков (*)
существует, по крайней мере, одна точка, принадлежащая любому отрезку дан-
ной системы:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]