Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы алгебры в курсе математики начальных классов. Учебно-методическое пособие
.pdf
× 2
Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него
конкретное число, дети находят значение выражения.
Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и
отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита
a × 2 b + 5 : c.
Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они
учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127;
a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное:
1) запись;
2) состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических
действий.
По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи
среди других.
Младшие школьники, таким образом, получают представление
о буквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную
карточку:
Буквенное выражение
+ 5 .
Для овладения младшими школьниками представлений о буквен-
ном выражении можно использовать такие типы заданий:
Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b;
7 × x – y.
Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15;
d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяс-
нить, сколько числовых выражений можно получить.
Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2.
Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и
нахождение значения выражения c x m.
Формирование понятия «постоянная»:
15 8 записать сумму 15 + 8
7 8 7 + 8
6 8 6 + 8
3 8 3 + 8
a 8 a + 8.
Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заме-
тили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно).
Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя гра-
фами и наоборот:
b 20 20 20 20 m 5 8 11 15
m 5 8 11 15 20 – m
b – m
Дети должны понять, что буква может принимать не только раз-
ные, но и одинаковые значения.
Формирование понятия «область определения выражения» (в не-
явном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16 : a; c : d. Какие значения может
принимать переменная (буква)?
Использование букв как средства обобщения знаний:
– записывать при помощи букв свойства арифметических дей-
ствий:
a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c;
– записывать связь между компонентами и результатом дей-
ствия:
a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b;
– прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения,
зависимости:
a > b (a + b) – c a × b = b × a;
– выполнить тождественные преобразования на основе знания
свойств арифметических действий (5 + с) × 4;
– доказать справедливость высказываний при помощи числовых
подстановок:
c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d.
32 33
В алгебре символы служат для обозначения предметов.
– Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА).
Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что
они означают:
$ &
– Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедо бен».
– Написать символы для каждой из картинок.
Сложить символы.
Например: a + 2a + 4a = 7a
b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 4s + 3s + 7s =
9p +20p + 8p = 14p +20p + p = t + 2t + t + 5t =
a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = 26a + a + 2a + 3a =
q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m = 15z + 12z + z + z =
12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 20x + 17x + 3x = .
Например: 2a + 3a + 3b + b = 5a + 4b
a + 2a + 3b = 2a + 5a + 4b + 2b = 6p + 2t + 5p + 4t =
4s + s + 3r + s = 5q + p + 2p + 6q = 10p + 4q + q + 2q =
3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = 7t + q + 3q + 3t =
h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 4k + 6y +k + 3y =
5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = e + e + t + 9e + t =
12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 10y + x + 21y + y = .
Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются.
Вывод: использование буквенной символики способствует повы-
шению уровня знаний, приобретаемых младшими школьниками, готовит их к изучению систематического курса алгебры.
34 35
Уравнения в начальном курсе
математики
Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при
каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство.
Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики
является обеспечение преемственности между начальным и средним
звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является
одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа
формирования представлений об уравнении в начальной школе.
1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям:
1) условие связи между компонентами и результатом арифметиче-
ских действий:
7 + 8 = 15 34 – 11 = 23 18 × 2 = 36 45 : 5 = 9
15 – 7 = 8 23 + 11 = 34 36 : 18 = 2 9 × 5 = 45
15 – 8 = 7 34 – 23 = 11 36 : 2 = 18 45 : 9 = 5 .
Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы
вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при
изучении состава числа;
2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в
процессе выполнения которых у младших школьников формируется
представление о переменной, верном и неверном числовом равенстве.
Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует
осознанный и математически верный подход к решению уравнений,
так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число
он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили.
+ 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убежда-
ется, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 ,
а число 9 – верное числовое равенство.
В практике обучения чаще используют только такие задания, в
этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел, и способ подстановки теряет свой алгебраический смысл. Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим,
если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1,
2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить
в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел
ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать.
Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении
значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как
знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не
только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов.
2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами
его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится
к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами латинского алфавита x, y, z …):
+ 5 = 12 x + 5 = 12
- 8 = 20 y - 8 = 20 .
Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов.
Сравнение двух видов записей 6 +
детям самостоят ельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно
показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение:
= 9 и 6 + z = 9 позволяет
36 37
Уравнение
Когда уравнение решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно.
Поставь в уравнение его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значения зовите тотчас.
Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить
уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому
12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200 000. Но 200 000 + 12 507 = 212 507, что больше
206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, получим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим
число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше
числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно
взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким образом, корнем данного уравнения является число 194 227.
Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и
его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует
у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с
помощью «правил», например:
х + 217 = 576
х = 576 – 217
х = 359 ответ: х = 359.
359 + 217 = 576
576 = 576 (u)
При решении уравнений детям полезно использовать памятку
«Как решить уравнение»:
1. Прочитай уравнений по-разному.
2. Назови, что известно, что неизвестно.
3. Вспомни, как найти это неизвестное.
4. Найди это число, используя нужное правило.
5. Сделай проверку.
6. Запиши ответ.
3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении.
Несмотря на то, что умение решать уравнения само по себе важно,
значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как
метод моделирования конкретных фрагментов действительности.
Составить уравнение:
У шофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные.
В одной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить
одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она
осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость
каждой канистры.
х – 8 + х – 4 + 2 = х
х – 4 = 8 – 2
х = 10 л.
Каждая канистра имеет объём 10 литров.
Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно
неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили
180. Какое число задумали?
Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его
решают.
Полезно предлагать детям решать «задачи с весами».
• Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии).
х + х = 10 х + х + х + х =12
2х = 10 х × 4 = 12
х = 5 х = 12 : 4
х = 3.
38 39
• Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше:
х + х + х = х + х = 10 25 + 4х = 5х
3х = 2х + 10
3х – 2х = 2х – 2х + 10
х = 10.
4х = 2х + 20.
Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений.
Задание 1.
1.1. Сравнить выражения:
12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100.
Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые
так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении
12 + х, если получились равенства:
12 + х = 12 + 5 12 + х = 12 + 34 12 + х = 12 + 370.
1.2. Верны ли равенства:
72 : 3 = 6 × 4
72 : 3 + 5 = 6 × 4 + 5 72 : 3 + х = 6 × 4 + х
72 : 3 + 20 = 6 × 4 + 20
72 : 3 + 16 = 6 × 4 + 16
72 : 3 × 2 = 6 × 4 × 2
72 : 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72 : 3 × х = 6 × 4 × х
72 : 3 × 10 = 6 × 4 × 10
72 : 3 – 4 = 6 × 4 – 4
72 : 3 – 20 = 6 × 4 – 20 72 : 3 – х = 6 × 4 – х
72 : 3 – 12 = 6 × 4 – 12
72 : 3 : 3 = 6 × 4 : 3
72 : 3 : 12 = 6 × 4 : 12 72 : 3 : х = 6 × 4 : х
72 : 3 : 6 = 6 × 4 : 6.
Какие числа нельзя поставить вместо х в двух последних равен-
ствах из правого столбика?
1.3. Найти 5 чисел, которые можно поставить вместо х в выражение 8 – х, и найти его соответствующее значение. Найти 5 чисел,
которые нельзя поставить в это выражение вместо х.
Задание 2.
2.1. Найти значение данных выражений при указанных значения
х. Заполнить таблицу:
х 0 2 4 5
12 + х
15 – х
3 × х
120 : х
2.2. Заполнить таблицу. Найти такое число, заменяющее х, при
котором оба выражения равны:
х 5 6 8 10
22 – х
4 + х
2.3. Ничего не вычисляя, найти равные выражения и записать ра-
венства:
54 : 6 + 12 = 3 × 3 + 12 (102 – 90) : 2 = 12 : 2
(12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3.
Найти значения выражения 28 – х при х = 0, х = 15, х = 16, х = 18.
При каком значении х выражение 28 – х = 12? х + 17 = 24? х + 17?
При х = 2, х = 6, х = 3, х = 5, х = 10.
40 41
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]