Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы алгебры в курсе математики начальных классов. Учебно-методическое пособие
.pdf
Порядок выполнения действий
в числовых выражениях
+, – Действия 2 ступени
, : Действия 1 ступени важные
*
сильные
+, – Сначала действия 1 ступени
, : потом действия 2 ступени
*
( ), + , – ,
, : Сначала действия в ( )
*
затем действия 1 ступени
потом действия 2 ступени
Числовые равенства и неравенства
В практике обучения в начальных классах числовые выражения
с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми
равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и
неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные».
Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так.
Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о
порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать
разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками
отношений < ; > ; =:
18 – 6 = 34 + 2 9 – 5 > 3 + 7 13 – 7 + 2 < 14 + 8.
Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети
убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть
верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины
«истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей.
Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства.
– Наличие 2-х числовых выражений.
– Наличие в записи знака равенства или неравенства.
Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда
между двумя выражениями можно установить отношение равенства
или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение
ряда числовых выражений: 7 – 35; 48 : 9; 64 – 118; 21 : 5.
Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа,
являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных
чисел выражения не имеют смысла.
4:(8 – 8) 9 : 0 44 : 0.
Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя.
22 23
После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения
равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают.
Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать
результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют
сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без
наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения.
Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для
использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению
числовых выражений с последующим обобщением знаний можно
осуществить поэтапно.
Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение.
I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его
цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения.
* Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число?
Последующее число?
Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом
пишите результат сравнения с помощью знаков:
2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2.
* Дана последовательность «сказочных» чисел:
, последующим числом. Сформулируйте правило. За-
.
Сравните и , и , и
* Даны два соседних числа:
A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А ? Число
А для числа В? (Аналогично для других пар).
* Может ли быть одновременно
1 < 2 и 1 > 2
> и < .
* Сравните числа в каждой тройке:
1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10.
Запишите результат сравнения по образцу
2, 3, 4
2 < 3
2 < 3 < 4
2 < 4
3 < 4.
* Дана тройка последовательных чисел:
, , , А, B, C α, β, γ.
Как называется число
Число
для числа ?
для числа ?
Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения
с помощью знаков.
24 25
II этап. Сравните числа и выражения:
* Закончите предложения так, чтобы они выражали верную
мысль:
«Если к числу прибавить 1, то оно станет . . .»
«Если из числа вычесть 1, то оно станет . . . »
а) больше;
б) меньше;
в) последующим;
г) предыдущим;
д) следующим.
• Восстановите предложение:
« . . ., то оно станет больше»;
« . . . , то оно станет меньше»;
« . . . , то оно не изменится».
• Не находя значения суммы, сравните:
3 + 0 * 3 2 * 2 = 0 4 + 4 * 1 3 * 3 + 2.
5 + 1 * 5 6 * 6 + 2 6 + 3 * 6
Сравните:
3 + 5 * 5 4 + 1 * 1 2 + 7 * 7.
Сравните, где возможно:
+ 1 * ε + 0 * ε.
– 1 * α + 2 * + 2
– 2 * .
III этап. Сравнение числовых выражений (сложных).
• Сравните, не вычисляя:
3824 : 4 * 4268 : 4 3624 : 2 * 3624 : 3
85 – 18 * 85 – 15 24 + 36 * 24 + 6
25 × 147 * 31 × 154.
• Сравните:
(321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204.
• Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну
из них:
Проверьте правильность решения с помощью вычислений.
Таким образом, у младших школьников формируется осознанное
представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления.
26 27
Далее рекомендуется провести математические исследования по
«открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств:
a = b(u) a > b(u)
a + c = b + c(u) a + c > b + c (u)
a × c = b × c (u) a × c > b × c(u)
a : c = b : c (u) c ≠ 0 a : c > b : c(u) c ≠ 0.
Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется
произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод.
Тождественные преобразования
числовых выражений
Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным
преобразованием.
Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать
числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих:
Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным.
Выражение, получающееся из данного применения к нему свойств
арифметических действий, является тождественно равным данному.
Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1.
Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований
так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием
прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем
применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8
+ 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразования числовых выражений требуют определенной изобретательности,
основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим
преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные
преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле
свойства арифметических действий, а следовательно, способствует
их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои
28 29
действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников
к изучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем).
В методической литературе предлагаются задания для младших
школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями.
* Из данных записей выберите те, которые являются числовыми
выражениями: 2 , + , 28 : 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5.
* Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить:
2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28 : 1) – (28 × 1);
(135 × 29) : (234 – 234).
* Сравните выражения и найдите их значения:
(8 + 6) : 2 + 22 : 1 * (8 + 6 : 2 + 22) : 11;
(((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3).
* С помощью тождественных преобразований найдите значения
выражений:
168 : 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000 : 6 × 7 – 24 : 8;
60 × 3 : 2 × 6 – 81 : 9; 630 : 70 + (20 – 5) – (13 + 2).
* Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение
было равно 0; 40; 100:.
18 + 21 : 3 – 5 × 5.
* Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество
действий увеличилось на одно, на два, на три:
63 : 7 21 × 2 24 – 4.
Буквенные выражения
В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с
изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням.
1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита.
Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут использованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать
буквы, использовать для записи алгебраических выражений.
2 уровень – решение задач с недостающими данными.
Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал . . . книг
и . . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа
вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну
задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети
работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения.
3 уровень – запись выражений, отражающих определенную ситуацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют,
что в кафе можно купить и по какой цене.
Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте –
17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д.
Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай,
к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д.
Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость.
Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера);
2 ч + 3 к + 5 с + 2 в.
4 уровень – определение значений выражений:
3 a + 8 – b при a = 5, b = 1;
7 y – 3 x : c при y = 2, x = 8, c = 6.
На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»:
30 31
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]