Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электроснабжение. Часть I. Методические указания
.pdf
Z
Z
U
U
m
m
Если
Z
, Z2 – модули чисел
где
1
=
/
Z
Z
1
e jφ, то Z = Z1 / Z2, φ = φ1 – φ2,
=
2
,
Z
, а φ1 и φ2 – аргументы этих чисел.
Z
1
2
Таким образом, если мгновенное напряжение определяется
выражением
u = U
можно изобразить комплексным числом
тельной форме и соответствующим вектором с модулем U
sin (ωt + φ), то это переменное напряжение
m
.
e
Uu в показа-
m
)ω(
tj
m
, аргументом (ωt + φ), вращающимся против часовой стрелки с круговой
частотой ω. Так как для всех токов и напряжений предполагается
одинаковая частота ω, то обычно в символических выражениях переменный аргумент ωt отбрасывается. Это соответствует тому, что
мы рассматриваем неподвижные векторы комплексных токов
и напряжений.
Символические выражения амплитуды и действующего зна-
чения напряжения имеют вид
.
jUU
m
;e
m
j
e., где
U
U
m
.
2
Обратим внимание, что реально существующие напряжения
и токи выражаются вещественными числами. Мгновенные напряжения и токи u = U
стью комплексов напряжений и токов, т. е.
sin ωt или i = Im sin ωt совпадают с мнимой ча-
m
.
UJu
.
,
IJi .
Задания для самостоятельной работы
1. Круглая рамка, состоящая из 80 витков провода, вращается
в однородном магнитном поле, имеющем магнитную индукцию
В = 0,5 Тл. Диаметр рамки α = 0,5 м, скорость вращения n = 100 об/мин.
Определить показание идеального вольтметра, подключенного
к концам провода рамки.
2. Магнитный поток Ф, пересекающий одновитковый контур,
изменяется в соответствии с графиком (см. рис. 1.2). Написать выражение для Ф и ЭДС, построить векторную диаграмму.
3. Два генератора синусоидального переменного тока с частотой 50 Гц и действующими значениями ЭДС 127 В соединены по-
11
следовательно. С помощью векторной диаграммы определить дей-
r
L
r
L
ствующее значение суммарной ЭДС, если угол сдвига между ЭДС
генераторов 60°.
4. В сеть переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц
включены осветительные лампы с общим сопротивлением 22 Ом. Записать уравнения для мгновенных значений напряжений и тока,
построить векторную диаграмму и определить действующее значение тока, потребляемого лампами.
5. Определить максимальное значение напряжения U
tUu и в момент t = 0 u = 155 В.
известно, что
(sin
m
)
6
, если
m
6. Даны три синусоидальных ЭДС: e
= 10 sin ωt, e2 = 10 sin
1
(ωt – 120°), e3 = 10 sin (ωt – 240°). Построить векторную диаграмму
и определить максимальное значение результирующей ЭДС.
7. По проводнику течет постоянный ток I = 50 A. Написать
выражение для мгновенного значения переменного тока, который
выделит на этом проводнике такое же количества тепла.
8. Напряжение и ток пассивного двухполюсника соответственно
.
jU В, )3+5(=
)40+20(=
.
jI А.
Построить векторную диаграмму на комплексной плоскости.
Найти мгновенные напряжения и ток, а также угол сдвига фаз между векторами напряжения и тока.
12
r
L
r
L
Практическое занятие № 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Цель занятия – ознакомление с методикой расчета электрических цепей однофазного тока при последовательном и параллельном соединении приемников электроэнергии.
При изучении этого раздела курса следует обратить внимание
на различие мгновенных значений тока в цепи при подключении
к источнику ЭДС активного сопротивления, катушки индуктивности или емкости.
Известно, что в цепи активного сопротивления r при подключении его к источнику напряжения u = U
U
ток
r
tIi
sinm, где
I
m
. В цепи с активным сопротивлением
r
m
sin ωt устанавливается
m
вектор тока совпадает по фазе с приложенным напряжением.
Если к этому же источнику напряжения подключена катушка
с индуктивностью L, то в цепи установится ток
U
m
I
где
L
m
, т. е. вектор тока в катушке индуктивности отстает от
L
m
tIi
(sin
)
,
2
приложенного напряжения на π/2.
При том же напряжении u = U
ром емкостью С будет
C
m
sin ωt ток в цепи с конденсато-
m
tIi
(sin
)
, где
2
U
I
C
m
m
, т. е. век-
1
C
тор тока в емкости опережает приложенное напряжение на π/2.
Действующее значение токов в цепи с активным сопротивлением либо катушки индуктивности, либо емкости можно найти по
соответствующим формулам
U
I
,=
r
,=
U
I
L
X
U
I (2.1)
C
,=
X
C
13
где XL = ωL – индуктивное сопротивление катушки индуктивности;
r
r
1
– емкостное сопротивление конденсатора.
X
C
C
Соотношение (2.1) есть закон Ома для участка цепи, состоящего либо из активного сопротивления, либо индуктивности, либо
конденсатора.
По отношению к фазовым соотношениям тока и напряжения
в цепи установилась определенная терминология. Составляющие
вектора тока в цепи (или приложенного в цепи напряжения), совпадающие по фазе с приложенным к цепи напряжением (или протекающим в цепи током), называют активными, а ортогональные составляющие – реактивными. При использовании символического
метода фазовые соотношения между комплексным током и комплексным напряжением на участке цепи будут выполняться автоматически, если сопротивление цепи выражать в виде комплексного сопротивления Ẕ. Активное сопротивление r выражается вещественной
частью комплексного числа, т. е. комплексное сопротивление Ẕ
участка цепи с активным сопротивлением r записывается в виде Ẕ = r.
Индуктивное сопротивление X
и емкостное сопротивление X
L
вы-
C
ражаются мнимой частью комплексного сопротивления Ẕ, т. е.
комплексное сопротивление Ẕ участка цепи с индуктивным сопротивлением X
денсатором – в виде Ẕ = – jX
записывается в виде Ẕ = jXL, а Ẕ участка цепи с кон-
L
. Следует обратить внимание на раз-
C
ные знаки мнимых частей Z для индуктивного и емкостного сопротивлений. Закон Ома для участка цепи с сопротивлением либо r,
либо X
, либо XC в комплексной форме будет иметь вид
L
.
.
U
I
;=
r
U
I
L
jX
U
j
X
...
j
U
X
2
;e
LLL
(2.2)
.
I
C
В формулах (2.2) учтено, что
в выражении (2.2) u = U
U
jX
sin ωt, т. е.
m
..
U
j
X
jj
.
U
X
CCC
2
e
0
j
e
UU
j
2
.e
, а
e
jj
, получим
2
. Положив
14
.
r
I
r
U
0
j
,e
.
U
I
L
X
.
J
2
,e
L
U
I
C
X
j
2
e
C
. (2.3)
Сравнение выражений (2.1) и (2.3) наглядно показывает, что
символический метод расчета цепей базируется на выполнении закона Ома для действующих значений тока и напряжения на участках цепи, но одновременно учитывает и фазовые соотношения
между ними. По принятой терминологии ток I
а токи I
и IC – реактивные токи, так как их фазы ортогональны
L
есть активный ток,
r
приложенному напряжению U.
Напомним, что электрические цепи в общем случае представляют собой комбинацию активных (r) и реактивных (X
и XC) со-
L
противлений, включенных последовательно, параллельно или в виде последовательно-параллельного (смешанного) соединения.
Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных сопротивлений: активного сопротивления r, индуктивного сопротивления X
и емкостного сопротивления XC (рис. 2.1).
L
Рис. 2.1
Полное сопротивление этой цепи обозначают Z, а полное сопротивление этой цепи в комплексной форме обозначают Ẕ.
Для последовательного соединения r, X
и XC сопротивление Ẕ
L
находят простым сложением комплексных сопротивлений участков
цепи, т. е.
,)( jXrXXjrjXjXrZ
(2.4)
CLCL
где X = X
– XC – реактивное сопротивление цепи.
L
Из различных форм представления комплексных чисел следуют соотношения:
Ẕ = r + jX = Ẕ (cos
φ + j·sin φ) = Z e jφ , (2.5)
15
где
XrZ
rXZ
L
rLC
m
Z
IUZ
22
– полное сопротивление цепи (модуль числа Ẕ);
+=
φ – фазовый угол комплексного числа при изображении его в комплексной плоскости (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Из рис. 2.2 следует, что в символической форме сопротивление Z есть вектор с вещественной (активной) составляющей r
и с мнимой (реактивной) составляющей X = X
– XC. Угол φ легко
L
найти по формуле
r
(2.6)
.arctgarccos
Векторную диаграмму цепи (см. рис. 2.1) строим, учитывая
фазовые соотношения между током в цепи U
, UL и UC (рис. 2.3).
R
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Значение величин напряжений U
, UL и UC для построения
R
векторной диаграммы определим из закона Ома участка цепи, т. е.
16
UR = I ∙ r, UL = I ∙ XL, UC = I ∙ XC
L
r
L
C
m
Z
I
U
Z
.
,
(
,.IrU
L
IjXU
.
– в символической форме).
IjXU
C
C
Из второго закона Кирхгофа для всей цепи следует, что
+
U
U =
U
+
U
или в символической форме
....
. (2.7)
UUUU
CLr
Приложенное напряжение
ставляющую
U
и реактивную составляющую Up = U
R
U раскладывается на активную со-
– U
.
L
C
Особое внимание следует обратить на то, что фазовый угол φ
(см. рис. 2.2) комплексного сопротивления Ẕ совпадает с углом φ
между током в цепи и полным приложенным к цепи напряжением
U (см. рис. 2.3). Это совпадение не случайно. Оно следует из закона
Ома в комплексной форме для всей цепи
.
.
U
I
. (2.8)
Z
Действительно, если к цепи приложено напряжение
0
.
tUu sin
UU
0
j
и ,e
)e(
j
ZZ то ,e
откуда следует, что разность фаз между током
.
e
U
I
.
U
e
j
Z
и напряжением
.
равна φ. Из (2.8) закон Ома можно записать, не прибегая к комплексной форме, в виде
U
I = . (2.9)
Энергетические характеристики цепи выражаются тремя понятиями: полной мощностью S, активной мощностью P и реактивной мощностью Q. Нахождение величин S, P и Q фактически сводится к умению находить угол φ между векторами тока в цепи
и приложенного к ней напряжения. Соотношение S, P и Q определяется «треугольником» мощностей (см. рис. 2.4).
17
Величины S, P и Q находятся по формулам
I
I
rXr
Z
rUZ
r
r
r
r
S = UI ; P = UI cos
φ ,
(2.10)
Q = UI sin
Размерности величин: [
φ ;
S] – ВА, [P] – Вт, [Q] – ВАр.
22
.+=
QPS
В случае применения для расчета цепи символического мето-
да мощность
ние между мощностями
где
– сопряженный комплекс тока (если I = I
= I
то
a
S называется комплексной мощностью, а соотноше-
~
S , P и Q определяется выражением
~
.
~
– jIp = Ie
–jφ
); φ – угол сдвига фаз между комплексом напря-
j
SjSjQPIUS (2.11)
+ jIp = Iejφ,
a
,e)sin(cos
жения и тока.
Величина cos
φ показывает, какая часть полной мощности
энергоустановки преобразуется в тепловую или механическую
мощность. По установившейся терминологии cos
φ называют ко-
эффициентом мощности.
Для цепи, имеющей полное сопротивление
Z, часто употреб-
ляют понятие характера этого сопротивления. Если ток этой цепи
отстает от приложенного напряжения на угол φ, лежащий в преде-
лах
то говорят, что Z носит индуктивный характер. Ес-
,0
2
ли ток опережает приложенное напряжение на угол φ и
0
2
то говорят, что
Z носит емкостной характер.
Если последовательная цепь составлена из активного и реак-
тивного элементов и имеет полное сопротивление
(что возможно в случае
X = 0, т. е. XL = X
), то говорят, что эта цепь
C
22
удовлетворяет условию резонанса напряжений. При резонансе токов цепи
U
.
I
;==
U
UU
U
X
X
CLCL
,
18
Напряжения на реактивных элементах (U
rXr
много больше приложенного напряжения
= U
L
U, если
) могут быть
C
X
CL
в связи с чем данный случай и получил название резонанса напряжений.
Рассмотрим более подробно расчет последовательной цепи на
примере выполнения следующего задания. Расчет выполним, не
прибегая к символичному методу.
Задание 1
В цепь синусоидального переменного тока (рис. 2.5) c напряжением 200 В, частотой
f = 50 Гц последовательно включены два
резистора, две катушки индуктивности и два конденсатора. Пара-
r
метры элементов известны:
L
= 0,2 Гн; C1 = 100 мкФ; C2 = 300 мкФ.
2
= 30 Ом; r2 = 20 Ом; L1 = 0,1 Гн;
1
,1
Рис. 2.5
Определить:
сопротивление реактивных элементов цепи;
ток;
активную, реактивную и полную мощности цепи;
напряжение на отдельных элементах;
угол сдвига фаз между напряжением и током цепи.
Построить векторную диаграмму.
Решение
Индуктивное сопротивление:
π2=ω=
fLLX
= 6,28 · 50 · 0,1 = 31,4 Ом;
L
1
L
2
11
= 6,28 · 50 · 0,2 = 62,8 Ом.
2
fLLX
22
19
Емкостное сопротивление:
Z
r
1
2
fC
fC
1
1
2
X
C
1
X
C
2
2
Активное сопротивление цепи
1
1005014,32
1
3005014,32
r = r
+ r2 = 30 + 20 = 50 Ом.
1
8,31
6
6–
Ом;
6,10
Ом.
Реактивное сопротивление цепи находят из соотношения
Х =
31,4 + 62,8 – 31,8 – 10,6 = 51,8 Ом.
XXXX
CCLL
2121
Полное сопротивление цепи:
2222
728,5150
XrZ Ом.
В соответствии с законом Ома величина токов цепи
200
U
I
.77,2
A
72
Угол сдвига фаз между напряжением и током находят из вы-
ражения
X
05,1arctgarctg
46°.
Активная мощность цепи:
P = U ∙ I ∙ cos
φ = 200 · 2,77 · 0,694 = 384,5 Вт.
Реактивная мощность:
Q = U ∙ Y ∙ sin
φ = 200 · 2,77 · 0,719 = 398,3 ВАр.
Полная, активная и реактивная мощности связаны между со-
2
бой соотношением S
откуда
= P2 + Q2 = (UI)2,
222
QPS
ВА.554
Напряжения на отдельных элементах цепи находятся по сле-
дующим формулам:
rIU
2,77·30 = 83,1 В;
r
1
1
2,77·31,41 = 87 В;
XIU
LL
11
2,77·31,8 = 88 В;
XIU
CC
11
r
rIU
2,77·20 = 55,4 В;
2
2
2,77·62,8 = 173 В;
XIU
LL
22
2,77·10,6 = 29,4 В.
XIU
CC
22
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]