Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математическое моделирование в Excel. Учебно-методическое пособие
.pdf
Таблица 3.
Со
бы
ти
я
Опорные
события
Работа
t работ
Х
t нов.
работ
Макс
t новые
событий
t новые
событий
1 1-2
10
-20,85
12,08
1-3 8 -6,048
8,60
1-4 6 26,575
3,34
2 1 2-5 5 8,7497
4,12
12,08
3 1 3-5 7 -6,048
7,60
8,60
4 1 4-6 9 13,448
7,65
3,34
5
2, 3
5-7 6 13,036
4,69
16,21
16,21
16,20
5-8 6 -9,425
6,94
6 4 6-7 8 -19,08
9,90
10,99
6-8 4 -15,89
5,58
6-9 5 -0,619
5,06
7
5, 6
7-10
9
27,385
6,26
20,90
20,90
20,90
8 5, 6
8-10
3
-10,15
4,01
23,15
23,15
16,58
9 6
9-10
11
-1,079
11,10
16,06
10
7, 8 , 9
27,168
27,168
27,16
8
27,1
68
Х
0
t крит
27,168
Данная задача и технология еѐ решения являются нелинейными. Это может
привести к появлению различных планов Х, в том числе неоптимальных, и
зависимости результатов от начальных значений Х.
Возможна другая постановка задачи: вычислить и минимизировать количество
дополнительных ресурсов
Х для достижения заданной величины t
. В этом случае
крит
целевой ячейкой ―Поиска решения‖ становится Х, и устанавливается ограничение t
.
крит
Оценка времени выполнения оптимизированного проекта методом Монте-
Карло.
Время выполнения каждой работы и всего проекта – случайные величины.
Поэтому обычно для каждой работы задаются три оценки: оптимистическая (а),
наиболее вероятная (m), пессимистическая (b) [1].
Среднюю продолжительность работы te вычисляют по формулам
41
te = (a+4m+b)/6 или te = (2a+3b)/5
Стандартное отклонение продолжительности операции вычисляют по формуле
Дисперсию времени выполнения проекта можно оценить по формуле
2
где
Предполагается, что длительности работ не зависят друг от друга и подчиняются
нормальному закону распределения. На этой основе можно вычислить вероятности
различных сроков завершения проекта и вероятность превышения срока по сравнению
с заданным (квантиль). Если сетевой график оптимизирован и длительности
различных путей совпадают, то любой путь может оказаться критическим, и
сложность расчѐтов резко возрастает. Кроме того, в экономике часто работает не закон
нормального распределения (Гаусса), а распределения с ―толстыми хвостами‖,
t sum
=
2
- дисперсии продолжительностей критических работ.
t i
2
t i
= (b-a)/6
t
например, логнормальный. ―Толстый хвост‖ означает, что вероятности аномальных
длительностей работ (>3 ) достаточно велики.
Современные информационные технологии позволяют построить распределение
вероятностей длительности проекта для любого распределения вероятных
длительностей работ, полученного на основании экспертных оценок. Предположим,
что на основе экспертных оценок построено распределение возможных длительностей
работ, представленное на Рисунке 5, и для каждой работы оценены масштабные
коэффициенты ―ширины‖ распределения К
представленные в Таблице 4. Для проведения расчѐтов удобен метод Монте-Карло:
имитированные длительности всех работ t
образом в соответствии с законом распределения и К
t
имит i
= ti + S* Кi
, аналоги стандартного отклонения,
i
имит
многократно варьируются случайным
:
i
где ti - детерминированная длительность работы,
S - случайная величина, распределѐнная по закону, представленному на Рис.5.
42
Рис.5. Эмпирический закон распределения длительности работы.
Затем вычисляются времена наступления событий, в том числе конечного(Т
проекта), которое может отличаться от длительности старого критического пути
t
. Процедура повторяется многократно (1000 и более раз), получаемые значения Т
крит
проекта сохраняются и по ним строится гистограмма частотных распределений
(используя в Excel сервис Анализ данных – Гистограмма), а также вычисляются
среднее значение и стандартное отклонение (используя функции СРЗНАЧ и
СТАНДОТКЛОН). Для генерации случайной величины S и t/ а также сохранения
вычисленных значений
Т проекта нами использован программный модуль на языке Visual Basic.
Процедура повторена 1000 раз. Результаты одного из циклов процедуры представлены
в Таблице 4, гистограмма вероятностей (х1000) длительности проекта представлена на
Рисунке 6. По частотам длительностей можно оценить, например, вероятность
длительности проекта более 34 дней в 3,5%, а более 35 дней – в 1,8%. Гистограмма
показывает, что при стохастическом характере длительностей работ время
выполнения проекта увеличивается, причѐм может увеличиться очень существенно –
на 10 дней.
43
Таблица 4.
События
Работа
t
К
t
имит
t
имит
событий
1
1-2
12,1
2
12,1
1-3
8,6
2
8,8
1-4
3,3
2
3,3
2
2-5
4,1
2
2,9
12,1
3
3-5
7,6
2
6,2
8,8
4
4-6
7,7
3
6,8
3,3
5
5-7
4,7
2
4,7
15,0
15,0
15,0
5-8
6,9
2
7,1
6
6-7
9,9
2
10,1
10,1
6-8
5,6
1
5,3
6-9
5,1
1
5,1
7
7-10
6,3
2
5,3
20,2
19,7
20,2
8 8-10
4,0
1
4,4
22,2
22,2
15,4
9
9-10
11,1
3
11,1
15,2
10 Т проекта
26,6
25,5
26,6
26,3
t крит
25,5
Рис.6. Вероятности (х1000) времени окончания проекта
(Excel) для имитации t/ и сохранения Т проекта и Таблица 4.10, используемая
программой.
Далее представлен программный модуль на языке Visual Basic for Applications
44
Private Sub CommandButton1_Click()
t
P(t)
P(t)
y(t)
-0,9
0,001906
0,001906
1
-0,8
0,005719
0,003812
2
-0,7
0,011437
0,005719
3
-0,6
0,022875
0,011437
6
-0,5
0,043843
0,020968
11
-0,4
0,076249
0,032406
17
-0,3
0,129623
0,053374
28
-0,2
0,213496
0,083873
44
-0,1
0,360274
0,146778
77 0 0,534693
0,174419
91,5
0,1
0,70244
0,167747
88
0,2
0,800991
0,098551
51,7
0,3
0,851125
0,050133
26,3
Dim aa, dd, gg As Range Создание 3х массивов-диапазонов ячеек Excel
Set aa = Range("S30") Массив t работ, K, t/
Set dd = Range("F20") Массив для сохранения tкрит
Set gg = Range("A20") Массив Таблица 4.10
nn = Range("N10") Количество имитаций
For N = 1 To nn
For j = 1 To 14 Цикл по столбцам массива аа
q = Rnd() Случайное число в диапазоне 0…1
For k = 2 To 31 Преобразование q в случайную
If gg(k, 2) >= q Then величину, распределение
s =(gg(k) + gg(k-1))/2 которой табулировано в
Exit For массиве gg
End If
Next k
aa(j, 3) = aa(j) + s * aa(j, 2) Формирование t/
Next j (Расчѐт Т проекта происходит в таблице Excel)
dd(N) = Range("V44") Сохранение T проекта
Next N
End Sub
Таблица 4.10
45
0,4
0,881624
0,030499
16
0,5
0,896874
0,01525
8
0,6
0,908692
0,011819
6,2
0,7
0,919367
0,010675
5,6
0,8
0,929661
0,010294
5,4
0,9
0,938239
0,008578
4,5
1
0,945864
0,007625
4
1,1
0,951773
0,005909
3,1
1,2
0,958826
0,007053
3,7
1,3
0,964163
0,005337
2,8
1,4
0,968929
0,004766
2,5
1,5
0,973313
0,004384
2,3
1,6
0,979032
0,005719
3
1,7
0,98475
0,005719
3
1,8
0,990469
0,005719
3
1,9
0,994281
0,003812
2
2
0,998094
0,003812
2
2,1
1
0,001906
1 524,6
Выводы: Использование сервиса Excel ―Поиск решения‖ (Solver) позволяет
эффективно оптимизировать сетевой график выполнения комплекса работ. Метод
Монте-Карло позволяет оценить вероятности сроков окончания проекта при любом
законе распределения длительностей работ.
Лабораторная работа № 16. Расчет стратегии в игре
Теория игр разобрана в [1] стр.209 – 230, [2] стр. 328 – 338, [3] стр. 173 – 196, [4]
стр.217 - 233. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
взято из [3], стр.188 – 196.
Многие социально-экономические ситуации обладают тем свойством, что в них
сталкиваются не менее двух сторон с различными, часто противоположными
интересами, и они могут действовать различными способами. Такие ситуации
называются конфликтными. Математическая модель конфликтной ситуации
называется игрой. Если играют двое, и проигрыш одного равен выигрышу другого, то
такая игра называется игрой двух сторон с нулевой суммой выигрыша. Любое
возможное в игре действие игрока называется чистой стратегией (например, выпуск
46
одного товара), их комбинация – смешанной стратегией (в данном примере – выпуск
a11p1+a21p2+a31p3
a12p1+a22p2+a32p3
a13p1+a23p2+a33p3
a14p1+a24p2+a34p3
a11x1+a21x2+a31x3 1
a12x1+a22x2+a32x3 1
a13x1+a23x2+a33x3 1
a14x1+a24x2+a34x3 1
Спрос
Продукция
B1
B2
B3
B4
0
A1
3 3 6 8 x1 2 A2
9
10 4 2
x2 2 A3
7 7 5 4 x3 2 Убрать как
–> min
доминируемый
Целевая
6
aik*xi
6 12
16 18 8 4
нескольких видов товаров). Матрица, в которой представлены выигрыши игрока в
зависимости от его стратегий и ответных стратегий противника, называется матрицей
выигрышей, или платежной матрицей. Обычно оптимизация плана игры сводится к
выбору частот (или вероятностей) применения чистых стратегий (например,
соотношения выпускаемых товаров) с целью минимального проигрыша при любых
стратегиях противника (здесь – рынка), и для проведения расчетов можно
использовать Поиск решения.
Задана платежная матрица выигрышей при различных стратегиях выпуска
продукции А1, А2, А3 и возможных состояниях рынка В1, В2, В3, В4. Требуется
определить оптимальные стратегии SA*= (p1*, p2*, p3*) и SВ*= (q1*, q2*, q3* , q4*). SA*
обеспечивает средний выигрыш (стоимости игры) при любой стратегии В (спроса)
и выигрыш = при оптимальной стратегии В:
Здесь xi = p
Вводим произвольные значения x
/ , x
i
= 1 / => min, чтобы выигрыш => max.
i
, x2, x
1
и домножаем на них столбцы
3
платежной матрицы. Столбец В2 игнорируем как доминируемый, т.е заведомо
невыгодный.
47
14 10 8
38 30
28
Ограничения
1 1
1
Спрос
Продукция
B1
B2
B3
B4
Стратегии игрока А
A1
3 3 6 8 x1=
0,074
p1=
0,4
A2
9
10 4 2
x2=
0
p2=
0
A3
7 7 5 4 x3=
0,111
p3=
0,6
Убрать как
доминируемый
1/=
0,185
Выигрыш
5,4
Умножение на платежную матрицу
0,222
0,444
0,592
0 0 0
0,777
0,555556
0,444
1 1 1,037
Стратегии игрока В
q1
q 2
q 3
q 4
0,2
0
0,8
0 х1
х2
х3
х4 0,04
0
0,15
0
=1/=
0,185
Выигрыш
5,4
Умножение на платежную матрицу
bikxk
0,11
0,89
0 1 0,33
0,59
0 1 0,26
0,74
0 1
После выполнения Поиска решения получим результаты для игрока А: выпуск
продукции 1 равен 0,4 , продукции 3 – 0,6. Применив ту же технологию к стратегии
игрока В получим оптимальную стратегию рынка: вероятность 0,2 для состояния 1 и
0,8 для состояния 3.
Кооперативная игра ―Семейный спор‖: Если муж идет на футбол, а жена на
балет, они получают по 2 балла удовольствия, если идут вдвоем на футбол – муж
получает удовольствия на 4 балла, а жена на 1, если идут вдвоем на балет – муж
получает удовольствия на 1 балл, а жена на 4. Если муж идет на балет, а жена на
футбол, то удовольствие нулевое. Матрица выигрышей:
48
Жена
Балет Футбол
Муж Балет 1 4 0 0
Футбол 2 2 4 1
Обозначим вероятности стратегий: р1 оба балет, р2 оба футбол, р3 врозь.
Выигрыши мужа и жены при применении смешанных стратегий:
Муж hм = 1* р1 + 4*р2 + 2*р3
Жена hж = 4*р1 +1*р2 + 2*р3
Точка решения Нэша: U = max П(hi – Ti), где Ti – выигрыш без вступления в
коалицию, здесь Ti = 2.
Целевая U = (hм –2)*(hж –2) => max
Изменяя ячейки р1, р2, р3
Ограничения : р1 +р2 + р3 =1, все ≥ 0 .
Результат р1 = р2 = 0,5 ; р3 = 0, т.е. надо жить дружно и половину вечеров
совместно ходить на балет, а половину – на футбол.
Оптимальное резервирование ресурсов при подготовке ликвидации аварии
Аварии и катастрофы на транспорте, в промышленности, в ЖКХ и в
Вооруженных силах были всегда, а в связи с износом оборудования и ―человеческим
фактором‖ в России их вероятность возрастает. К возможным авариям надо быть
готовым, т.е. резервировать материальные, кадровые и финансовые ресурсы. Но
выделяемые на это средства, как правило, ограничены, и требуется их использовать
рационально, чтобы получить максимальный эффект. Математический аппарат для
проведения сответствующих расчетов – теория игр и математическое
49
программирование, а исходные данные могут быть получены из статистики аварий и
Сценарии аварий
Экономический ущерб, тыс. руб.
Вероятность
П
1
3380,3
1х10
– 7
П
2
812,1
1,6х10
– 5
П
3
737,8
1,6х10
– 5
экспертных оценок вероятностей аварий, возможного ущерба и ресурсов,
необходимих для проведения работ в период и сразу после аварии.
В качестве конкретного примера мы использовали результаты работы
М.И.Рылова и др. [13], в которой проведен анализ сценариев крупных радиационных
аварий при выгрузке отработанного ядерного топлива (ОЯТ) из утилизируемой
атомной подводной лодки (АПЛ), и Л.Г.Лабскера [14], в которой проведена оценка
приоритетов мероприятий (стратегий) по ликвидации последствий этих аварий с
использованием теории игр с природой.
Авторы работы [13] ограничились тремя сценариями развития возможных
аварий, представляющими по результатам исследования наибольшую опасность:
П
-возникновение самоподдерживающейся цепной реакции;
1
П
- падение гражданского самолета на станцию выгрузки ОЯТ;
2
П
- падение гражданского самолета на площадку для хранения контейнеров с
3
ОЯТ.
Сценарии П
и П3 включены в рассмотрение в связи с участившимися в
2
последнее время проявлениями актов терроризма.
Экономический ущерб и вероятности состояний на этапе выгрузки ОЯТ из АПЛ,
определенные в [13], приведены в таблице 1.
В работах [13] и [14] рассмотрены пять мероприятий по снижению риска при
Таблица 1
утилизации АПЛ (чистых стратегий):
А
- оперативное использование передвижных установок экстренного
1
подавления огня, включая постоянное дежурство пожарной службы в течение всего
периода утилизации АПЛ;
А
- организация обучения технического персонала действиям при
2
возникновении пожаров;
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]