Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономико-математическое моделирование в Excel. Учебно-методическое пособие
.pdf
Найдѐм оптимальный маршрут из 0-го пункта в 11-ый.
Для решения задачи надо построить таблицы: Стоимость проезда (расстояния)
Rik ; План поездки X
, который в данном случае представляет из себя матрицу из
ik
единиц и нулей, соответствующих перемещению или не перемещению из одного
пункта в другой; таблицу произведений R
, то есть расходов на поездки
ikXik
(Затраты). Таблицы симметричны относительно диагонали, то есть возможны
поездки в любом направлении; это даѐт возможность произвольной нумерации
пунктов, кроме первого и последнего. Решение задачи сводится к поиску комбинации
X
, обеспечивающей проезд из пункта 0 в пункт 11 при минимальных затратах.
ik
Целевая функция в данной задаче – сумма по таблице Затраты XikRik. Еѐ надо
минимизировать, изменяя ячейки таблицы План поездки Xik, при ограничениях: все Xik
двоичные (0 или 1); если есть приезд в город, должен быть выезд; выезд из пункта 0 и
прибытие в последний обязательны. Для программирования этих условий надо
суммировать строки и столбцы таблицы План поездки Xik; ненулевое значение суммы
по строке означает выезд из соответствующего пункта (из п.0 обязательно); ненулевое
значение в сумме по столбцу означает приезд в соответствующий пункт (в п.11
обязательно). Приезд в какой-либо пункт, кроме п.11, требует обязательного выезда из
него, т.е. соответствия сумм по столбцам суммам по строкам.
Количество ячеек в таблице Xik достаточно велико, и компьютер может не
справиться с решением задачи. Поэтому предлагается принципиально новый подход:
создание дополнительной таблицы План поездки в компактном виде, из которой
копируются значения в зависимые от нее ячейки таблицы План поездки X
. В ячейки
ik
таблицы План поездки Xik вносятся формулы, связывающие ее с таблицей План
поездки в компактном виде, в которую вносится единицы, нули или опорный план на
основе мнений экспертов.
Найдѐм оптимальный маршрут из п.0 в п.11 без дополнительных ограничений. В
таблицах 2, 3, 4 представлены результаты работы «Поиска решения».
31
Таблица 1. Стоимость проезда (расстояния) Rik
куда
откуда
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 0
12
19
31 28 1 12 9 12 2
19 9 11 3
31 26
32 4
12 11 5 11 9
16 6 11 9 9
18 7 28 9 8 8 26
33 9 32 8
20
25
10
33
20 22
11 16
18
25
22
куда
B C D E F G H I J K L M N откуда
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
выезд
29 0 0 1 0 0 1
30 1 0 0 0 0
31 2 0 0 1 1
32 3 0 0 0 0
33 4 0 0 0
34 5 0 0 0 0
35 6 0 0 0 1 1
36 7 0 0 0 0
37 8 0 0 0
38 9 0 0 0 0 0
39
10 0 0 0 0 40
11 41
приезд
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
C D E F G H I J K L M N
24 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0
Таблица 2. План поездки Xik.
Таблица 3. План поездки в компактном виде.
32
Таблица 4. Затраты R
куда
откуда
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
0
19
2
11
6 18
Целевая
48
ik Xik
. Нули и пустые строки удалены.
В окне «Поиска решения» следует задать: Целевую ячейку XikR
, Изменяя
ik
ячейки: План поездки в компактном виде, Ограничения: План поездки в компактном
виде двоичные; суммы по строкам таблицы План поездки Xik (приезд), начиная со
второй (с п.1) должны равняться суммам по столбцам (приезд), исключая последнее
значение, п.11 (N31:N40= C42:L42). Суммы по первой строке (выезд из п.0, N30) и
последнему столбцу (приезд в п.11, M42) не должны равняться 0. Запустите
Выполнить.
технологию можно использовать для нахождения критического пути в сетевом
графике комплекса работ, только целевую функцию надо максимизировать.
Критический путь 0=>3=>8=>10=>11, длина 112).
Рис.2. Окно «Поиска решения»
Оптимальный план поездки: пункты 0 => 2 => 6 => 11, стоимость 48 у.е. (Эту
33
Приезд в город становится обязательным, если введено дополнительное
B C D E F G H I J K L M N откуда
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
выезд
29 0 1 0 0 0 1
30 1 0 1 0 1
31 2 0
-0 1
1
32 3 0 1 0 1
33 4 0 1 1
34 5 1 0 0 1
35 6 0 0
1 0 1 36 7 0 0 1 1
37 8 1 0 1
38 9 0 0 1 0 1
39
10 0 0 1 1 40
11 41
приезд
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ограничение: неравенство нулю суммы по соответствующему столбцу таблицы План
поездки. Возможны несколько заездов, то есть сумма может быть больше 1. Если
необходимо сделать обязательным приезд в один из группы городов — вычислите
сумму по ячейкам приезда в эти города и введите ограничение: эта сумма больше или
равна единице.
Наиболее интересная задача — спланировать маршрут, проходящий через все
узлы сети. В общем виде эта «Задача коммивояжѐра» до сих пор не решена.
Попробуем решить еѐ с помощью компьютера. Для этого надо ввести дополнительное
ограничение: все суммы по столбцам таблицы План поездки должны быть больше или
равны 1. Полученный результат:
0=>1=>2=>6=>7=>9=>10=>11 и отдельно 3=>8=>3 и 4=>5=>4, стоимость 165
у.е. Компьютер выполнил все условия, но два «острова» 4-5 и 3-8 оказались не
связанными с основным маршрутом. Решить задачу в общем виде не удаѐтся, но для
практических целей эту технологию можно использовать. Для этого надо ввести
дополнительные ограничения, вынуждающие компьютер войти на «острова» с
основного маршрута.
Таблица 5. План поездки Xik.
остров 4-5 по маршрутам 1-4, 6-5 и 11-5. Исходя из конкретной ситуации, поставив
В данном примере на остров 3-8 можно попасть по маршрутам 0-3, 9-3 и 10-8, на
34
ограничения: больше или равно единице в ячейках 9-3 (Е381) и 1-4 (F301) получим
маршрут 0=>1=>2=>1=>4=>5=>6=>7=> 9=>3=>8=>10=>11, стоимость 192 у.е. При
этом пункт 1 посещается дважды. Этот маршрут не вполне оптимален. Если указать на
маршрут 0=>2 (D29=1), то получится маршрут 0=>2=>1=>4=>5=>6=>7=>9=>
3=>8=>10=>11, стоимость которого 190 у.е.
Можно предоставить компьютеру большую свободу выбора маршрута на
острова. Для этого надо суммировать содержимое ячеек таблицы План поездки Xik ,
соответствующим входам на острова, и в «Поиске решения» потребовать для этих
сумм ограничения 1. Но, как показали эксперименты, при этом могут появиться
новые острова.
При решении данной задачи проявилось свойство задач нелинейного
программирования: компьютер может найти различные маршруты, соответствующие
локальным минимумам целевой функции в зависимости от опорного плана.
Наиболее сложный вариант данной задачи — объехать все пункты сети с
возвращением в исходный пункт. Маршрут приходится разбивать на две части:
«вперѐд» и обратно, иначе компьютер разбивает сеть на множество «островов». В
данном случае, исходя из топологии сети, еѐ можно разбить следующим образом:
пункты 0, 1, 4, 5, 6, 7, 11, причѐм п.7 — конечный, так как он ближе к другому
кластеру 3, 8, 9, 10, 0, и в нѐм п.7 является начальным. При дополнительных
ограничениях на ячейки План поездки: запрет маршрута 0=>7 (иначе образуется
остров) и Сумма ячеек 1-4 и 6-5 больше или равна 1, получается маршрут
0=>2=>1=>4=>5=>6=>11=>6=>7, стоимость 105 у.е. Обратный путь проще, компьютер
решает задачу без дополнительных ограничений и выдаѐт маршрут
7=>9=>10=>8=>3=>0, стоимость 118 у.е. Таким образом, общая стоимость поездки 223
у.е.
ВЫВОД: Итерационные градиентные методы, встроенные в сервис «Поиск
решения» Excel, можно использовать для выбора кратчайшего маршрута через сеть, в
том числе с заездом в заданные пункты или во все. В общем виде задача с заездом во
все пункты не решается, но решается путѐм взаимодействия человека и компьютера:
человек задаѐт разумный опорный план и ограничения, помогающие компьютеру
решить задачу.
35
Лабораторная работа № 15. Оптимизация сетевого графика
комплекса работ
Сетевое планирование рассмотрено в [1], стр. 246-257 и в [3], стр. 286 – 317.
Задача сетевого планирования – построение рационального плана проведения
сложного комплекса работ (операций), состоящего из отдельных элементарных
взаимно обусловленных работ, т.е. выполнение некоторых работ нельзя начать
раньше, чем будут завершены другие, опорные работы. При составлении сетевого
графика используется структурная таблица комплекса работ, содержащая перечень
элементарных работ комплекса, перечень работ, на которые опираются элементарные
работы и время выполнения каждой работы [1]. Метод сетевого планирования
позволяет на основе этой информации указать время выполнения всего комплекса
работ, выявить работы, его определяющие – критические, то есть лежащие на
критическом пути – самой длинной последовательности работ, вычислить время,
необходимое для выполнения всего комплекса работ, а также провести оптимизацию
плана путем перераспределения ресурсов и, соответственно, сроков выполнения работ
с целью сокращения времени выполнения проекта в целом.
Далее приведѐн пример сетевого графика, соответствующего выполнению
некоего проекта. Кругами обозначены события, стрелками – работы. Расположение
кружков соответствует времени наступления событий, проекции стрелок на
временную ось пропорциональны временам работ, резервы времени обозначены
пунктиром.
Рис.1. Сетевой график до (А) и
после оптимизации (Б).
36
Обычно оптимизацию плана комплекса работ проводят после нахождения
критических работ, напряжѐнностей работ и ресурсов, которые можно перебросить с
некритических работ на критические. В данном случае критический путь
1=>4=>6=>7=>10, соответственно новое время выполнения комплекса работ
t
крит.нов.
= t
1нов+t4нов+t6нов
+t
7нов
+t
. (1)
10нов
Предполагается, что время выполнения работ можно сократить, вкладывая
дополнительные ресурсы, причѐм сокращение времени пропорционально
дополнительным ресурсам Х:
t
= t-bX (2)
нов
Рис.2. Зависимость времени работы от
дополнительных затрат.
Под ресурсами можно понимать деньги, людей, технику. На рисунке 2 видно,
что используемая линейная зависимость время/затраты справедлива в некотором
диапазоне; существует асимптота слева (затраты, при которых работа никогда не
будет сделана) и справа: минимальное время выполнения работы при любых затратах.
Ограничения дополнительных затрат обозначены Х– (сколько можно вычесть) и Х+
(сколько можно добавить). Эти величины могут отличаться по модулю. Величины
Cmin и Cmax – полные стоимости работ для обеспечения их выполнения за
максимальное и минимальное время соответственно.
Дополнительные ресурсы можно привлечь извне, а можно перераспределить
внутри проекта, перебросив с малонапряжѐнных работ на критические.
В данной работе предлагается принципиально новая методика оптимизации
сетевого графика, основанная на использовании итерационной градиентной
процедуры (метод Ньютона или аналогичный), включѐнной в сервис ―Поиск решения‖
37
(Solver) электронных таблиц Excel. Исходные данные, соответствующие сетевому
События
Опорные события
работа
t работ
Х
t нов. работ
1
1-2
10 0 10
1-3
8 0 8
1-4
6 0 6
2 1 2-5
5 0 5
3 1 3-5
7 0 7
4 1 4-6
9 0 9
5
2, 3
5-7
6 0 6
5-8
6 0 6
6 4 6-7
8 0 8
6-8
4 0 4
6-9
5 0 5
7
5, 6
7-10
9 0 9
8
5, 6
8-10
3 0 3
9 6 9-10
11 0 11
10
7, 8 , 9
Х
0
t крит
32
графику Рис.1А, и расчѐтные формулы размещаются в Таблице 1. t новое работ
вычисляется по формуле (2), в данном примере b=0,1. Без дополнительных затрат
t
=32. Целевая функция t
крит
, еѐ надо минимизировать, изменяя ячейки вектора Х.
крит
Ограничения:
X Х– , X Х+, Х = 0,
то есть ресурсы перераспределяются внутри проекта, дополнительных затрат
нет. В данном примере ограничения затрат Х– = –50, Х+ = 50. В реальных проектах
ограничения и коэффициенты затрат на ускорение работ bi устанавливаются
экспертами для каждой работы отдельно, в таблице появляются ещѐ три столбика-
вектора: b, Х–, Х+. Окно ―Поиска решения‖ представлено на Рис. 3.
Таблица 1.
38
Рис.3. Окно ―Поиска решения‖
События
Опорные события
работа
t работ
Х
t нов. работ
1 1-2
10
-50
15
1-3
8
-50
13
1-4
6
50 1 2 1 2-5
5
-50
10 3 1
3-5
7
-31,25
10,125
4 1 4-6
9
50 4 5
2, 3
5-7
6
-3,125
6,3125
5-8
6
-3,125
6,3125
6 4 6-7
8
50 3 6-8
4
-3,125
4,3125
6-9
5
-3,125
5,3125
7
5, 6
7-10
9
50 4 8
5, 6
8-10
3
-3,125
3,3125
9 6 9-10
11
-3,125
11,313
10
7, 8 , 9
Х
0
t крит
12
В результате работы ―Поиска решения‖ получим результат:
Таблица 2.
В результате максимальных вложений в критические работы путь
1=>4=>6=>7=>10 сократился до 12, но другие пути удлинились, и время выполнения
проекта удлинилось до 35,31. Очевидно, в ограничения "Поиска решения" надо
вводить недопустимость удлинения других путей по сравнению с критическим. Но
даже в нашей простой задаче это приводит большому количеству ограничений, так как
39
надо предусмотреть все возможные пути. Поэтому мы предлагаем принципиально
новую технологию расчѐта, основанную на понятии опорных событий, а не
опорных работ, как обычно, и вычислении времѐн наступления событий. Опорные
события – это события, непосредственно предшествующие данному событию, и
связанные с ним стрелками-работами. В таблице 3 представлены результаты расчѐтов,
а на Рисунке 1Б соответствующий сетевой график. t новые событий вычисляются в
последних четырех столбцах таблицы. Если имеется только одно опорное событие, то
время наступления события складывается из времени наступления опорного события и
времени соответствующей работы. Если опорных событий несколько, то время
наступления события вычисляется по всем опорным событиям в трѐх последних
столбцах, и максимум по этим ячейкам принимается за t новое события. Если для
каких-либо событий опорных событий больше, то и количество соответствующих
столбцов должно быть больше. Дополнительные ограничения: время критического
пути, вычисленное по формуле (1), должно быть больше или равно времѐн
наступления конечного события 10, вычисленных в последних трѐх ячейках
соответствующей строки. Окно ―Поиска решения‖ представлено на Рисунке 3,
результаты расчѐтов – в Таблице 3. Полученный результат: t
=27,168 , остальные
крит
пути, приводящие к событию 10, то есть к окончанию проекта, имеют ту же длину.
Рис. 4. Окно ―Поиска решения‖
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]