Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрия на финансовом рынке. Практикум
.pdf
31
Найти a,b,
проверить гипотезу построить
интервальный прогноз, если
Решение:
2
-1 1 -2
1
-2 2 -1
3 0 3
0
4 1 4
1
5 2 5
2
Найдем коэффициенты:
Найдем объясненную, остаточную дисперсию и коэффициент
детерминации:
Используя коэффициент детерминации, найдем статистику Фишера и
проверим на значимость регрессии в целом:
Нулевая гипотеза о равенстве коэффициентов нулю отвергается.
Регрессия значима.
Найдем несмещенную остаточную дисперсию, потом дисперсию
коэффициента:
Используя дисперсию коэффициента, найдем статистику Стьюдента и
проверим на значимость фактор Z:
32
Нулевая гипотеза о равенстве i-го коэффициента нулю отвергается.
Влияние фактора значимо.
Построим точечный и интервальный прогноз, предварительно рассчитав
дисперсию прогноза:
Для построения регрессии в R необходимо использовать функцию lm.
Она принимает функцию регрессии как переменную, построенную
следующим образом: “
”. Для просмотра итоговой
таблицы нужно использовать функцию summary(). С помощью функции
predict() мы можем делать как точечные, так и интервальные прогнозы
(?predict.lm):
x=c(2,1,3,4,5)
z=1:5
fit=lm(x~z)
summary(fit)
predict(fit,data.frame(z=6),interval = "prediction")
Отличием в интервальном прогнозе можно считать погрешность
округления.
Ключевым вопросом работы с итоговой таблицей является переменная
p-value и Pr(>|t|). Если эта величина больше 0,1, то можно принять нулевую
гипотезу о незначимости коэффициента или регрессии в целом. В R есть
подсказки по уровню значимости с помощью звездочек. Чем больше
напротив переменной звездочек, тем большую значимость она имеет.
Итоговая переменная после функции lm() содержит в себе много
информации. К этой информации можно обращаться с использованием
символа $. При этом у вас появится список переменных, которые вы можете
получить (?lm). Например:
fit=lm(mtcars$mpg~mtcars$cyl+mtcars$disp)
summary(fit)
plot(fit$residuals)
plot(fit$fitted.values)
lines(mtcars$mpg,col='red')
33
Для проверки начальных гипотез можно использовать разные функции.
Для проверки 2-й гипотезы об отсутствии линейной зависимости можно
рассмотреть корреляционную таблицу факторов на наличие больших
корреляций (по модулю близких к 1). При их наличии лучше исключить
один из взаимозависимых факторов.
cor(mtcars[,c('mpg','cyl','disp','hp','drat','wt')])
Для проверки 4-й гипотезы о гомоскедастичности можно использовать
функции bptest() в пакете lmtest():
install.packages("lmtest")
library(lmtest)
fit=lm(mtcars$mpg~mtcars$cyl+mtcars$disp)
bptest(fit)
Если p-value больше 0,05, мы принимаем нулевую гипотезу
о гомоскедастичности (все хорошо), если p-value меньше 0,05, то
присутствует гетероскедастичность и нарушается четвертая гипотеза.
В случае использования временных рядов возникает проблема
возможной ложной регрессии, когда результаты регрессии показывает
значимую зависимость в том случае, когда ее нет. Во избежание этого
нужно, чтобы и объясняемая переменная, и факторы были стационарными
(их математическое ожидание, дисперсия и автоковариации должны быть
постоянными во времени). Для проверки рядов на стационарность можно
использовать функцию ndiffs() из пакета forecast.
install.packages("forecast")
library(forecast)
?WWWusage
ndiffs(WWWusage)
Ряд будет стационарным, если ndiffs будет равным 0. Если ndiffs будет
больше нуля, следовательно, можно говорить о нестационарности. Чтобы ее
избежать, нужно взять первую разность от ряда с пользованием функции
diff(). Количество первых разностей, которые нужно взять, указывается в
функции ndiffs().
dWWWusage= diff(WWWusage)
ndiffs(dWWWusage)
34
Задача
2 1
1 2
5 3
3 4
4 5
Найти a,b,
проверит гипотизу построить
интервальный прогноз если .
Литература
1. Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А.
Эконометрия : учеб. пособие. Новосибирск : Издательство СО РАН, 2005.
744 с.
2. Hanck Ch., Arnold M., Gerber A., Schmelzer M. Introduction to
Econometrics with R. 2019. URL: https://www.econometrics-withr.org/ITER.pdf
35
4. Специфика данных фондового рынка
Временные ряды цен на фондовом рынке обладают рядом уникальных
свойств:
– большой объем данных;
– большое количество инструментов;
– спреды;
– гепы;
– всплески.
4.1. Большой объем данных
Перед исследователем всегда стоит выбор, на сколько большую глубину
данных фондового рынка использовать:
1) цена на конец дня;
2) Open Low High Close Volume;
3) транзакционные данные;
4) данные с Best bid и Best ask;
5) данные со всеми bid- и ask-уровнями;
6) данные по всем лимитным ордерам, выставленным и отмененным.
Чем выше глубина, тем больше информации мы имеем о ходе торгов. Но
с каждым новым уровнем глубины данных их все сложнее найти и тяжелее
обработать. Один год транзакционных данных по ликвидному инструменту
занимает до 10 Гигабайт.
4.2. Большое количество инструментов
На фондовом рынке торгуется большой объем различных инструментов:
акций, облигаций, комодисов, фьючерсов, опционов и деривативов.
Более подробно о них рассказано в курсе «Фондовые рынки».
4.3. Спреды
Во время проведения торгов на рынке одновременно выставляют свои
приказы продавцы (ask) и покупатели активов (bid), формируется
промежуточная цена актива:
Бид – цена, которую готов заплатить покупатель финансового
инструмента.
Аск – цена, по которой продавец готов продать.
Наиболее интересны для участников торгов лучшие предложения аск и
бид, потому что именно они являются ценой покупки для нового покупателя
и ценой продажи для нового продавца. Спред – разница между ценами
лучших бид и аск. В случае большой ликвидности актива спред обычно
очень мал, но для неликвидных активов спред может быть большим и
сводить на ноль любую прибыль от покупки или продажи такого актива.
36
4.4. Геп
Обычно фондовая биржа работает только днем в рабочие дни, но многие
новости приходятся на ее внерабочее время, поэтому нередко инвесторы
вынуждены пересматривать цены на актив на то время, когда биржа не
работала. Так возникают гепы. Геп – это ситуация существенной разницы
между ценой закрытия предыдущего периода времени и ценой открытия
следующего.
Если не исключать гепы из рассмотрения, то возникнет ситуация
гетероскедастичности, потому что одни наблюдения будут формировать
свою волатильность равномерно в течение рабочего дня, а другие –
включать в себя всю волатильность нерабочего времени. Это будет пагубно
влиять на качество анализа.
4.5. Всплески
На фондовой бирже торги производятся людьми и роботами. И те
и другие имеют свойства совершать ошибки, что иногда приводит к
различным случайным всплескам в ценах, искажающим общую картину и
пагубно влияющим на качество анализа таких данных.
37
5. Доходность
Цены акций по своей природе не стационарны, поэтому для
статистического анализа чаще всего используется не цена сама по себе, а
доходность актива.
5.1. Будущие доходы
Допустим, у нас есть V денег, которые мы инвестируем на n лет под
R процентов годовых.
Объем средств, который вы накопите к концу срока, рассчитывается по
формуле:
.
В случае, если проценты начисляются m раз в год:
.
Если процентная ставка начисляется постоянно:
.
Все ставки процента можно привести к годовой ставке процента. Она
обычно используется во всех документах и в процессе принятия решения
инвесторами.
.
При непрерывном начислении
.
Пример:
Рассчитайте эффективную годовую ставку процента, если простая
годовая ставка составляет 20 %, а проценты выплачиваются четыре раза
в год.
Решение:
.
5.2. Простая доходность
Простая доходность на фондовом рынке рассчитывается как темп
прироста цены актива:
.
38
Простая двухпериодная доходность на фондовом рынке рассчитывается
как темп прироста цены актива за два периода:
.
Большой проблемой обычной доходности является неаддитивность:
.
Если мы имеем не один актив, а несколько, это называется портфель
активов. Активы в портфеле имею определенные веса, которые в сумме
дают 1. Допустим, у нас два актива – Y и Z.
.
Если в портфеле n активов:
.
Из этого следует, что у простой доходности есть свойство портфельной
аддитивности, т. е. доходность портфеля рассчитывается как
средневзвешенная доходность активов, которые в него входят.
5.3. Логарифмическая доходность
Альтернативным методом расчета доходности является использование
логарифмической доходности:
.
Логарифмическая доходность имеет свойство аддитивности:
.
Однако у логарифмической доходности нет свойства портфельной
аддитивности:
.
Можно сделать вывод, что для расчета портфельной доходности лучше
использовать простую доходность, а если анализировать доходность как
временной ряд, то нужно использовать логарифмическую доходность.
Для получения временных рядов цен и доходностей акций США в R
можно использовать функцию getSymbols() из пакета quantmod. Давайте
сделаем матрицу доходностей акций IBM, Microsoft и фьючерса S&P 500.
Для этого нужно задать их биржевые сокращенные имена "IBM", "MSFT" и
"SPY" соответственно. Дальше мы рассчитываем вектора доходностей и
39
с помощью функции cbind() объединяем вектора в матрицу по столбцам
(?cbind). Потом убираем из матрицы все строки, где есть NA-значения:
install.packages("quantmod")
library(quantmod)
getSymbols(c("IBM","MSFT","SPY"),src="yahoo")
r=cbind(diff(log(IBM$IBM.Close)),
diff(log(MSFT$MSFT.Close)),diff(log(SPY$SPY.Close)))
names(r)=c("IBM","MSFT","SPY")
r=r[!is.na(rowSums(r)),]
Задачи
1. Портфель состоит из трех активов и описывается следующей
таблицей:
Актив
X Z Y
10
50
20
12
55
25
13
45
40
Вес актива в портфеле
0,2
0,3
0,5
Найдите простые и логарифмические доходности активов и портфеля за
каждый период времени. Вычислите простые и логарифмические
доходности активов и портфеля за весь временной период.
2. Скачайте в R цены компании Apple (биржевое имя AAPL),
постройте гистограмму доходностей и наложите сверху плотность
нормального распределения. Имеют ли доходности нормальное
распределение?
40
6. Рыночные метрики
6.1. Value at Risk
В основе портфельной теории лежит понимание того, что инвесторы
всегда являются рискофобами. Среди двух активов, приносящих один
доход, они выберут тот, у которого риск меньше. Поэтому возникает
вопрос, как правильно измерять риск актива.
Самым простым методом является измерение стандартного отклонения
доходностей. Чем больше стандартное отклонение, тем больше может
теоретически потерять инвестор:
sd(r$IBM)
Однако при увеличении стандартного отклонения растет не только
левый хвост распределения доходности, который отвечает за убытки, но и
правый хвост распределения, ответственный за сверхприбыль.
Поэтому в компании «Джей Пи Морган» начал использоваться
показатель Value at Risk (VaR). Он демонстрировал минимальные потери,
которые может понести инвестор с определенной долей вероятности. По
факту это просто квантиль распределения доходности или прибыли,
который описывает только левый хвост (убытки).
Пример:
Вы хотите вложить деньги в фьючерс SPY 1000 юань. Доходность
фьючерса имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
0,05 и стандартным отклонением 0,2.
1. Какое распределение имеют будущие накопления
?
2. Найдите вероятность .
3. При какой доходности ?
4. Найдите минимальные потери с 10%-й вероятностью:
.
Решение:
1. По правилу нормального распределения будет
иметь нормальное распределение с математическим ожиданием 1000 ∙ 1,05
= 1050 и стандартным отклонением 1000 ∙ 0,2 = 200 (константа на
стандартное отклонение не влияет).
2. Для решения задачи сначала стандартизируем распределение
,
где имеет стандартное нормальное распределение.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]