Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрия на финансовом рынке. Практикум
.pdf
21
Интеграл по плотности
имеет особое обозначение
2
,a
x
.
Рис. 2.1. Функция распределения и плотность распределения
2
,a
N
Если случайная величина распределена по закону
0,1
N
, то она
называется стандартизованной нормальной случайной величиной,
а распределение – стандартным нормальным.
Свойства плотности распределения с. в.
1.
2
0,1
,a
xa
x
.
2. Если с. в. имеет стандартное нормальное распределение, а с. в.
получена преобразованием
a
, где
0
, то
2
,€a
N
.
3. Если
2
,€a
N
, то верны следующие соотношения:
22
21
1 2 2 1 0,1 0,1
,,
P.
aa
x a x a
x x x x
4. Симметричность функции плотности
0,1
N
:
0,1 0,1
1.xx
5) Если с. в. имеет стандартное нормальное распределение, то
0,1 0,1 0,1
P =P 2 1x x x x x x
.
Fx
fx
2
1
2
1
x x a
0
x
0
x
0
Fx
22
Пример:
Успеваемость студентов четвертого курса экономического факультета ξ
(сумма оценок/число оценок) имеет распределение, близкое к нормальному
N
4,0,25
. Чему равна вероятность того, что выпускник будет перспективен для
научной работы (т. е. его успеваемость на четвертом курсе выше 4,5)?
Какова вероятность того, что средняя оценка выпускника окажется
в интервале от 3,7 до 4,3?
Решение:
а)
0, 159.
б)
.
Для расчета функции распределения в R можно использовать функцию
pnorm():
#а)
p=1-pnorm(4.5,mean=4,sd=sqrt(0.25))
p
#б)
p=pnorm(4.3,mean=4,sd=sqrt(0.25))pnorm(3.7,mean=4,sd=sqrt(0.25))
p
где sqrt() – это функция квадратного корня.
2.6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Математическое ожидание (средним значение) случайной величины –
число, определяемое формулой:
P
E
i i i i
ii
x x x p
xf x dx xdF x
для дискретных и абсолютно непрерывных с. в. соответственно.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание – число (константа).
2.
E cc
, где с – константа.
3.
E E .cc
4.
E E E .
23
5. Для независимых с.в.:
E E E .
6. Если
, то
E E .
Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание с. в.
2
E
2
2
E
D
E
ii
i
xp
x f x dx
для дискретных и абсолютно непрерывных с. в. соответственно.
Величина, равная корню квадратному из дисперсии,
D
,
называется стандартным отклонением, и дисперсия часто обозначается
2
.
Свойства дисперсии:
1.
D0
.
2.
2
2
D E E
.
3.
D0c
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат
2
DDcc
.
5.
DDc
.
6. Дисперсия суммы или разности случайных величин равна
.
Квантилью уровня p,
01p
распределения непрерывной
случайной величины называется действительное число
p
,
удовлетворяющее уравнению
P
p
p
.
24
Рис. 2.2. Квантиль уровня р на графиках функции
плотности и распределения
Равносильное определение квантили
p
Fp
.
Для расчета математического ожидания и дисперсии случайно величины
по выборке можно использовать функции mean() и var(), а для поиска
квантиля нормального распределения можно использовать функцию
qnorm():
#Математическое ожидание
mean(mtcars$mpg)
#Дисперсия
var(mtcars$mpg)
#Стандартное отклонение
sd(mtcars$mpg)
#Квантили нормального распределения 5% и 90%
qnorm(0.05)
qnorm(0.9)
Для данного примера мы использовали встроенную базу данных mtcars.
Все строенные базы данных описаны так же как и функции (?mtcars). Так
как формат mtcars является “data.frame”, то мы можем обращаться с
определенным столбцам с помощью символа $. При этом у вас появится
список переменных, которые вы можете получить.
Fx
fx
1
x x
p
p
p p
1 p
25
2.7. Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема в форме Ляпунова. Пусть
i
n
–
последовательность независимых и одинаково распределенных с. в.,
E
i
и
0D
i
, тогда последовательность с.в.
1
0,1
1
€
E
D
n
Sn
N
n
слабо сходится к стандартному нормальному распределению.
Кроме того, эквивалентным утверждением является то, что
стандартизованная с. в.
n
S
n
слабо сходится к нормальному распределению:
0,1
€
E
D
nn
n
SS
nn
N
S
n
.
Эквивалентным утверждением является то, что
2
1
2
0,1 0, 1
1
E1
P
D2
b
x
n
n
a
Sn
a b b a e dx
n
.
Теорема Муавра – Лапласа. Пусть
i
n
– последовательность
независимых с.в.,
€
ip
B
. Тогда
0,1
€
1
n
S np
N
np p
,
0,1 0, 1
P
n
n
S np
a b b a
npq
.
Точность оценки математического ожидания. Как сильно
выборочное среднее
n
S
n
отличается от математического ожидания
1
E
при количестве наблюдений n? Из ЗБЧ известно, что
1
E
p
n
n
S
n
.
26
Точность оценки математического ожидания для конечного n может дать
использование ЦПТ. Вероятность искомого события представима в виде
11
1
1
1 1 1
E
P E P
D D D
nn
nn
S S n
n
n
и по ЦПТ:
11
0,1 0, 1
11
DD
n
nn
.
Полученное соотношение позволяет оценить репрезентативность
(надежность) выборки.
Мы можем проверить в R, действительно ли ЦПТ работает. Для этого
сгенерируем (через функцию rbinim()) 5000 раз по 1000 биномиальных
распределений с использованием циклов, рассчитаем
и проверим,
сходится ли
x=NULL
for(i in 1:5000){
x=c(x,(sum(rbinom(1000,1,0.5))1000*0.5)/sqrt(1000*0.5*0.5))}
hist(x,freq=F)
lines(seq(-4,4,by=0.01), dnorm(seq(-4,4,by=0.01)),
col='red')
Задачи
1. «Задача о встрече». Респондент должен заглянуть домой
в случайное время с 9:00 до 10:00, интервьюер приходит к нему также
в случайное время с 9:00 до 10:00. Оба ждут друг друга 15 мин. Построить
подмножество, удовлетворяющее событию A = {респондент и интервьюер
встретились}. Найти вероятность этого события.
2. Два друга независимо друг от друга имеют случайный приработок
от 0 до 1 тыс. руб. Какова вероятность того, что максимальный заработок
будет меньше x? Решить аналогичную задачу для троих, четверых друзей.
3. 10 процентов студентов сдают экзамен по теории вероятностей на
«отлично». Какова вероятность того, что:
а) из 12 студентов все получат «отлично»,
б) из 10 студентов ни один не получит «отлично»,
в) из 10 студентов хотя бы один получит пятерку?
4. В зачетной книжке пятикурсника в графе «высшая математика»
стоит «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично» с вероятностями,
27
соответственно, 0,2, 0,5 и 0,3. Какова вероятность того, что в выборке из 8
студентов будет хотя бы один отличник и хотя бы один троечник?
5. По данным государственной статистики, студенты одного из
городов составляют 5 % трудоспособного населения. Сколько человек
нужно опросить при формировании случайной выборки, чтобы в выборку с
вероятностью не менее 0,99 попал хотя бы один студент?
6. Десять раз подбрасывается пара игральных костей. Какова
вероятность того, что сумма очков, равная 10, выпадет не менее двух, но не
более шести раз?
7. Саженец груши стоит 20 руб., саженец яблони – 15. Груша
приживается с вероятностью 0,8, яблоня – с вероятностью 0,9. Найти
функцию распределения возможных потерь при посадке яблони и груши.
8. Три стрелка делают по одному выстрелу. Результаты выстрелов
независимы. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,5, для
второго – 0,1, для третьего – 0,3. Записать аналитически и нарисовать
функцию распределения числа попаданий в мишень.
9. Записать аналитически и построить график для с.в. φ
с распределением:
K
–2 0 1
5
P(φ = k)
0,1
0,3
0,2
0,4
Найдите вероятность события {0 < φ ≤ 5}.
10. Стоимость мяса на рынках города колеблется около среднего
уровня 20 руб. со среднеквадратическим отклонением σ. Каково значение σ,
если вероятность встретить продавца, продающего мясо менее, чем за
15 руб., равна 0,05? Предполагается нормальное распределение цен.
11. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя
масса равна 1,06. Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 1 кг.
В предположении нормальности определить, каков процент коробок, масса
которых превышает 970 г.
12. В магазине продаются лампы дневного света по цене 20 руб. за шт.
Вероятность продажи бракованной лампы 0,05. Найти математическое
ожидание и дисперсию ущерба, которые может понести покупатель одной
лампы, если у него нет возможности вернуть товар в магазин.
13. Премия 0,5 тыс. руб. бывает с вероятностью 0,3, нелегальный
заработок 1 тыс. с вероятностью 0,5, бабушкино наследство 200 тыс.
с вероятностью 0,001. Найти математическое ожидание, дисперсию и
стандартное отклонение этих доходов.
28
14. Найдите математическое ожидание и дисперсию для с.в. η
с распределением:
k
–2 1 3
P(η = k)
0,5
0,1
0,4
15. По данным государственной статистики средний возраст
трудоспособного населения города N составляет 36 лет, а дисперсия – 225.
а) Какова вероятность при анкетном обследовании получить выборку
из 200 анкет, в которой средний возраст отклоняется от
среднестатистического на 3 года?
б) Сколько нужно собрать анкет, чтобы средний возраст в выборке
отклонился от среднестатистического не более, чем на 3 года с
вероятностью не меньшей, чем 95 %.
в) Не более чем на какую величину с вероятностью 90 % средний
возраст может отклониться от среднестатистического в выборке из 400 чел.?
16. Студент получает на экзамене «5» с вероятностью 0,2, «4» ‒
с вероятностью 0,5, «3» ‒ с вероятностью 0,3. За время обучения он сдает 40
экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 лежит средний
балл студента.
17. Переменная k имеет распределение:
x 0 2 4 6
P(k=x)
0,3
0,3
0,2
0,2
Испытание проводится 100 раз, найдите вероятность среднему значению
находиться в границах от 2,5 до 3.
Литература
1. Ковалева Г. Д., Липин А. С. Теория вероятностей для социологов и
менеджеров : курс лекций. Новосибирск : РИЦ НГУ, 2009. 76 с.
2. Чернова Н. И. Теория вероятностей : учеб. пособие. Новосибирск :
РИЦ НГУ, 2007. 160 с.
3. Hanck Ch., Arnold M., Gerber A., Schmelzer M. Introduction to
Econometrics with R. 2019. URL: https://www.econometrics-withr.org/ITER.pdf
29
3. Эконометрия
Цель эконометрического анализа – анализ переменных и их
взаимосвязей и построение прогнозов. Базовым уравнением регрессионного
анализа является линейная регрессия:
.
Мы не знаем ее параметров, но можем их оценить:
,
где – объясняемая переменная, – объясняющие переменные (факторы),
– константа, – оценки константы , – коэффициент , – оценка
коэффициента , – ошибки регрессии и – остатки регрессии.
Самым распространенным методом оценки такого уравнения является
метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в минимизации
квадратов остатков регрессии:
.
В результате мы можем оценить наши коэффициенты следующим
образом:
,
где и – это центрированные значения и , а и
– это средние
значения и .
Важные формулы:
Основное дисперсионное
тождество
Объясненная дисперсия
Коэффициент детерминации
Статистика Фишера
Несмещенная остаточная
дисперсия
Дисперсия i-го коэффициента
Статистика Стьюдента
Точечный прогноз
Интервальный прогноз
Дисперсия прогноза
30
Коэффициента детерминации показывает, сколько процентов дисперсии
объясняемой переменной описывается регрессией.
Для проверки значимости i-го коэффициента обычно используется
статистика Стьюдента. Нулевая гипотеза при этом проверяется как
. Если статистика Стьюдента меньше квантиля распределения
Стьюдента с N-n-1 степенями свободы, то мы принимаем нулевую гипотезу
(коэффициент не значим). Если статистика Стьюдента больше квантиля
распределения Стьюдента с N-n-1 степенями свободы, то мы отвергаем
нулевую гипотезу (коэффициент значим).
Для проверки значимости регрессии в целом используется статистика
Фишера. Нулевая гипотеза при этом проверяется как
. Если статистика Фишера меньше квантиля распределения
Фишера с n и N-n-1 степенями свободы, то мы принимаем нулевую гипотезу
(регрессия не значима в целом). Если статистика Фишера больше квантиля
распределения Фишера с n и N-n-1 степенями свободы, то мы отвергаем
нулевую гипотезу (регрессия значима в целом).
Одной из целей эконометрии является прогнозирование
с использованием полученных регрессий. Можно построить точечный
прогноз по модели при заданных Z прогнозных (. Также мы можем
изучить качество прогноза и построить интервальный прогноз, посмотреть
в каких границах будет лежать прогнозное значение, например, в 95 %
случаев.
Для того чтобы корректно использовать вышеперечисленные формулы
при построении регрессии, необходимо, чтобы выполнялись следующие
гипотезы:
1. Между переменными X и Z существует линейная зависимость, и
модель верно специфицирована.
2. Переменные Z детерминированы, наблюдаются без ошибок и
линейно независимы.
3. .
4.
.
5. .
Пример:
2
1
1
2
3
3
4
4
5
5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]