Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Учебное пособие
.pdf
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕВОГО ТРАФИКА
ФРАКТАЛЬНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
В приведенных ниже материалах рассматриваются статистики сетевых процессов, базирующиеся на свойствах непрерывного с вероятностью 1 фрактального броуновского движения. К числу исследуемых
процессов отнесены модели ON/OFF режима сетевого трафика и
RTT-задержки. Прежде чем перейти к фрактальному броуновскому
движению, обсудим свойства классического броуновского движения.
4.1. КЛАССИЧЕСКОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
К модели классического броуновского движения – винеровскому
процессу (процессу Винера или Винера – Леви) приходят на основании
следующих соображений. Частицы жидкости или газа в отсутствие
внешних воздействий из-за столкновений с молекулами находятся в
постоянном хаотическом движении (броуновском движении), интенсивность которого зависит от температуры и плотности среды. При этих
столкновениях частицы изменяют
ния. Если масса частицы равна m, то, пренебрегая силами трения, скорость движения частицы B(t) по какой-либо координате на основании
закона Ньютона определяется из соотношения
где функция n(t) является составляющей по этой координате случайной
последовательности силовых толчков. Из условия симметрии направления этих толчков равновероятны и поэтому математическое ожидание
этой функции равно нулю:
При определении статистик броуновского движения необходимо
исходить из того, что в реальном физическом эксперименте время корреляции процесса
n(t) конечно и, грубо говоря, не превосходит среднего
времени между столкновениями
реальные физические приборы, осуществляющие наблюдения и измерения, имеют конечное время разрешения
большой концентрации молекул частица испытывает большое число
столкновений, вследствие чего интервал измерения оказывается много
больше интервала корреляции:
вании центральной предельной теоремы процесс
можно представить гауссовским процессом с математическим ожиданием равным нулю и дельтаобразной корреляционной функцией (гауссов-
M{n(t)} = 0.
свою скорость и направление движе-
tdB
m
dt
0
t >>
tn
,
. Далее необходимо иметь ввиду, что
t. В течение этого времени при
. В связи с изложенным на осно-
0
n(t) приближенно
71
ским белым шумом). Винеровский процесс B(t) по определению нахо-
дится через белый шум
tdB
nt
уравнения
dt
n(t) из стохастического дифференциального
B(t
) = B0 = 0 или
,
0
t
t
t
dndBtB
t
00
. (4.1)
Математическое ожидание и корреляционная функция стационарного гауссовского белого шума соответственно равны:
K
, t2) = M{n(t1) n(t2)} = N0(t2 – t1), (4.3)
2n(t1
M{n(t)} = 0; (4.2)
где N0 – спектральная плотность белого шума; () – дельта-функция.
Винеровский процесс после линейного преобразования (4.1) остается гауссовским процессом и с учетом (4.2) и (4.3) имеет при
B
0
= 0
соответственно математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию:
B
ttt
2
,
00
ttt
201
t
t
0
t
00
dnMtBM
t
ddnnMttk
; (4.4)
ttNddnnMtBM
02121
,
2121212
ttttN
,
.0,0,,min
21210
0,
; (4.5)
tttN
2110
tttN
(4.6)
1220
Очевидно, корреляционную функцию винеровского процесса можно также представить для положительных
N
, tttt
ttk
B
0
212
2
Плотность распределения винеровского процесса имеет вид
tBp
1
t
exp
2
tN
0
t
и t2 в виде
1
. (4.7)
1221
2
tB
0,
2
D
. (4.8)
72
Рассмотрим некоторые свойства приращений винеровского про-
цесса: их некоррелированность на неперекрывающихся интервалах времени и самоподобие.
Для моментов времени
t
> t1 > t0 > 0 имеем
2
t
1
01
dntBtB
t
0
. (4.9)
Отсюда на основании (4.4) и (4.5) математическое ожидание и
версия приращения винеровского процесса соответственно равны:
M{B(t
M{(B(t
) – B(t0))2} = N0 (t1 – t0) t1 – t0. (4.10)
1
) – B(t0)} = 0;
1
Взаимная корреляционная функция приращений при выполнении
условия (4.9) на основании (4.6) равна
M{[B(t
) – B(t1)][B(t1) – B(t0)]} = k(t1, t2) – k2(t1, t1) – k2(t2, t0) + k2(t1, t0) =
2
= N
– N
0t1
0t1
– N
+ N
0t0
= 0.
0t0
Таким образом, приращения процесса B(t) некоррелированы и, поскольку имеют гауссовское распределение, независимы.
Перейдем к рассмотрению свойств самоподобия. Плотность рас-
B(t
пределения приращений винеровского процесса при
2/1
exp2
ttNtBtBp
000
) 0 имеет вид
0
tBtB
0
2
ttN
00
2
. (4.11)
Изменим масштаб времени в b раз. Ввиду того, что дисперсия процесса также увеличивается в
ровки плотности распределения на единицу необходимо увеличить приращение винеровского процесса в
динаты в такое же число раз b
Очевидно, что плотности (4.11) и (4.12) связаны соотношением
1/2
1/2
b
p[b
{B(bt) – B(bt0)}] = p[B(t) – B(t0)], выражающим условие самопо-
добия: плотность вероятности отмасштабированного винеровского
процесса, умноженная на коэффициент
b раз – N0b(t – t
1/2
.
2/1
2/1
ttbN
exp2
00
), для обеспечения норми-
0
1/2
b
раз, т.е. изменить масштаб коор-
btBbtBbp
)}]()({[
0
2/1
b
2
1/2
, не зависит от выбранного
2
btBbtBb
0
ttbN
00
(4.12)
.
73
масштаба времени. Как следует из полученного результата, изменение
масштаба времени в
ращения координаты винеровского процесса в
подобия можно записать также в форме:
b раз сопровождается изменением масштаба при-
–1/2
b
[B(bt) – B(bt0)] = B(t) – B(t0).
1/2
b
раз и свойство само-
4.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕТЕВЫХ ПРОЦЕССОВ
ФРАКТАЛЬНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
Приведенные выше модели процессов описывали классическое
броуновское движение. Как уже отмечалось ранее, многие природные
явления не укладываются в рамки традиционных моделей, в том числе в
модели винеровского процесса. Для описания этих явлений, обладающих фрактальными свойствами, в работе [23] было введено обобщенное
броуновское движение, которое по определению записывается в форме
дробного интеграла
tB
H
где dB() – приращение винеровского процесса; Г() – гамма-функция;
Н – введенный в разд. 2 параметр Херста.
Импульсная переходная функция равна
th
t
Использование в формуле (4.13) импульсной переходной функции
степенного вида (4.14) приводит к сильной коррелированной зависимости процесса
В
(t) от предшествующих его значений, а также указывает
Н
на самоподобный характер фрактального броуновского движения. На
основании соотношения
для винеровского процесса
ем
B
H
(bt) = b
H
B
(t) или
H
h(bt – b) = b
dB(b) = b
что подтверждает самоподобный характер фрактального броуновского
движения. Для приращений этого процесса математическое ожидание и
дисперсия на основании (4.13) с учетом свойств винеровского процесса
M{dB(T)} = 0, M{dB(
)dB(2)} = M{n(1)n(2)}d
1
соответственно равны
е
1
1
b–HB
Н
2
H
2/1HHH
H – 1/2
h(t – ), а также зависимости
1/2
dB() из формулы (4.13) получа-
(bt) = BH(t), (4.15)
dBth
, (4.13)
;0,
tt
2/12/1
= N0(2 – 1)d
1d2
(4.14)
.0,
1d2
74
M{B
(t) – BH(t0)} = 0; (4.16)
H
M{[B
(t) – BH(t0)]2} (t – t0)2H. (4.17)
H
Отметим также, что как для классического, так и для фрактального
броуновского движения дисперсии приращений растут с увеличением
t – t
разности
.
0
Определим нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) стационарных приращений фрактального броуновского движения для двух соседних неперекрывающихся знаковой дли-
t
тельности интервалов времени (
tr
H
или при ВH(t0) = 0
)(
tr
H
, t1) и (t1, t2):
0
2
tBM
H
)]}()([)]()({[
tBtBtBtBM
HHHH
1201
2
})]()({[
tBtBM
HH
01
2
HHH
)}({)}2()({
tBMtBtBM
. (4.18)
)}({
Прибавляя и вычитая в каждом из сомножителей первого слагаемого (4.18) соответственно
ния подобных членов получаем
r
H
2
H
H
)}2({
tBM
)}({
tBM
B(2t) и B(t), после перемножения и приведе-
)]}()()2()][2()2()({[
tBtBtBtBtBtBM
2
)}({
tBM
H
)}2()({
tBtBM
HH
22
)}({
tBM
H
.21
HHHHHH
1
(4.19)
Принимая во внимание, что соотношение в квадратных скобках в
выражении (4.19) на основании (4.18) равно
(4.17), имеем окончательно
r
Если (4.20) домножить на M{B
(t) = 2
H
2H–1
– 1. (4.20)
2
(t)} ~ t
H
ционной функции приращений на интервалах (0,
броуновского движения
K
(t) (2
2H
2H – 1
– 1)t
r
(t), а также учитывая
H
2H
, то приходим к корреля-
t) и (t, 2t) фрактального
2H
.
Это выражение указывает на сильную корреляционную зависимость приращений, увеличивающуюся с ростом
Заметим, что при
Н = 1/2 процесс (4.13) становится винеровским
t.
(4.1) с дисперсией и корреляционной функцией приращений, равными
ответственно (4.10) и нулю. Используя аналогичный подход, можно от
75
характеристик винеровского процесса перейти к характеристикам фрак-
тального броуновского движения. Например, знание кореляционной
функции (4.7) позволяет записать корреляционную функцию фрактального броуновского движения в форме
K
, t2) 1/2[t
2H(t1
2H
2H
+ t
1
– |t1 – t2|2H]. (4.21)
2
Коэффициент корреляции для стационарных приращений фрактального броуновского движения на интервалах (
данной длительности
ния, можно представить, как и для счетных характеристик, выражением
Т разнесения на время kT, где k – параметр смеще-
TkrH,
1
2
t
, tn – T) и (t
n
1
1
121
kkk
, t
n + k
– T) за-
n + k
1
.
При k = 1, что соответствует корреляционной зависимости для
приращений процесса на соседних интервалах времени, а также учитывая соотношение = 2
коэффициент корреляции аппроксимируется выражением (3.45)
Н – 1, получаем (4.20). При больших значениях k
TkrH,
1
2
221
H
121
kHHk . (4.22)
Из этого выражения следует, что чем больше параметр Н, тем более протяженной зависимостью обладает
r
H
(k, T).
Как и для счетных статистик, можно показать, что поведение спектральной плотности приращений фрактального броуновского движения
при 0 описывается зависимостью (3.46).
Если обозначить приращения фрактального броуновского движения на интервалах (
t
, tn – T) через Хn, то агрегированный процесс,
n
сформированный как последовательность средневзвешенных величин
из приращений на
тельностью
процесса приращений, как и для счетных характеристик, при
коэффициент корреляции
чески не зависит от параметра
отношению
m одинаковых неперекрывающихся интервалах дли-
Т, описывается соотношением (2.47). У агрегированного
m
r
(k, T) сохраняет свою структуру и практи-
H
m, а дисперсия изменяется согласно со-
(m)
D
(T) m
– 1
. (4.23)
Напомним, что для короткопротяженных зависимостей дисперсия
(m)
D
приращений агрегированного процесса изменяется как
(T) m–1.
Указанная статистика – дисперсия приращений является удобной
для фрактальных свойств характеристикой при обработке экспериментальных данных по дисперсионно-временному графическому методу.
76
При исследовании на базе фрактального броуновского движения
свойств сетевого графика обращаются к рассмотренной в разд. 3.4 модели ON/OFF режима. В качестве исходных данных используются следующие статистики интервалов. Для ON интервала
0
распределения временных интервалов; 1 –
вающая «хвостовое» распределение интервалов;
– соответственно плотность распределения и функция
duuF
11
F
() – функция, описы-
1C
0
11
() и
1
duuu – ма-
тематическое ожидание интервала. Соответствующие характеристики
OFF интервала обозначаются следующим образом:
F
1 –
() и 2. Одним из определяющих поведение сетевого трафика
2C
(), F2(),
2
факторов, как уже ранее отмечалось, является «тяжелое» распределение, а именно, существование значительной по величине вероятности
длинных и очень длинных ON/OFF интервалов. Последнее ведет к необходимости аппроксимации хвостовой части функции распределения
степенной зависимостью
F
() L1()
1C
–
1
, F2C() L2()
–
2
,
где L1() > 0 и L2() > 0 – постоянные величины или медленно изменяющиеся во времени ограниченные функции;
и 2 – дробные фрак-
1
тальные параметры.
Будем считать, что источник генерирует бинарную последовательность пакетов:
кетов, a
R(t) = 0 – пакеты отсутствуют. Длины интервалов независимы и
R(t) = 1 означает, что в момент времени t есть серия па-
в общем случае неодинаково распределены. При реализации режима
ON/OFF рассматриваются
рых посылает свою последовательность пакетов
суперпозиции всех источников получаем последовательность
С учетом изменения масштаба времени в
пакетов на интервале (0, bt) равно
m независимых источников, каждый из кото-
(i)
R
(t). В результате
m
1
i
i
tR
b раз агрегированное число
bt
m
1
i
0
im
dRbtW
. (4.24)
В [24] доказывается теорема, что при b и m центрированная составляющая агрегированного случайного процесса ON интервалов
сходится по вероятности к фрактальному броуновскому движению
.
77
lim
m
b
где нормирующий параметр
mH
mLa ,
lim11
1
21
= f (1, 2, 1, 2, L1, L2).
lim
H
1
tBambtbtWb
, (4.25)
Сравнивая (4.25) с выражением для фрактального броуновского
движения (3.15), можно убедиться в общности подходов при анализе
рассматриваемых процессов, что позволяет охарактеризовать поведение
сетевого трафика через обладающие свойствами самоподобия статистики фрактального броуновского движения.
t
Например, можно показать, что процесс
1 bm имеет дисперсию при достаточно больших t.
D
(t) = M{W 2(t) – [M{W(t)}]2} L(t)
W
2
2H
t
.
lim
1
0
dRtW
К числу процессов, аппроксимируемых фрактальным броуновским
движением, следует отнести RTT (round trip time) – задержку [25].
Указанная задержка является важной характеристикой, обеспечивающей нормальное функционирование TCP-соединения в фазе медленного старта и поэтому требующей тщательную настройку и контроль.
RTT-задержка измеряется на стороне источника временным интервалом
между моментами посылки пакета в направлении приемника и получения пакета
подтверждения. Эта задержка складывается из времени
обработки и распространения, а также затрат времени на очереди вдоль
маршрута прохождения пакета. Появление очередей является следствием конечного значения скорости обработки информации в сетевых
устройствах, например, из-за ограниченного объема памяти находящихся в промежуточных узлах сети буферов маршрутизаторов, задержек в
обработке пакетов на
стороне приемника и источника. Ранее это обстоятельство служило основанием для объяснения протяженной зависимости и самоподобия сетевого трафика. Очевидно, одновременное
сосуществование в режиме реального времени этих процессов предполагает взаимосвязь между ними и неизбежно приводит к выводу об
общей природе источника фрактальных свойств сетевого трафика и
RTT-задержки.
Для стационарного
через
T
, можно записать в виде (рис. 4.1)
i
процесса RTT-задержку, которую обозначим
Т
= T1i + T2i + Tпp,
i
где i = 1, 2, ... – номера задержек (циклов); интервалы T1i и Т2i соответствуют временам пересылки пакета от источника к приемнику и обратно;
Т
– время обработки информации в приемнике.
пp
78
t
t
t
T
i + 1
T
1i
i
T
пp
T
2i
Рис. 4.1. Процесс RTT-задержки
Совокупность интервалов
тельность RTT-задержек. Интервалы
Т
образует дискретную последова-
i
Т
и T2i своим существованием обя-
1i
заны задержкам в обработке и передаче информации, а также наличию
очередей в промежуточных узлах сети. Для известного маршрута движения пакета можно выделить постоянную минимальную обусловленную
отсутствием очередей составляющую
T
и случайную составляющую
0
из-за задержек в очередях и связанную со случайным поведением сетевого трафика
M{T
} = T0 + Tср; Tср – среднее значение приращения RTT-задсржки, в
i
T
: Ti = T0 + Ti. Рассматривая выражение Ti – M{Ti}, где
i
качестве случайного приращения броуновского движения, сформируем
для момента времени
Полагаем, что моменты времени ti (i =
t
фрактальный броуновский процесс
n
n
inH
1
i
TTTtB
. (4.26)
ср0
n,1
) образуют регулярную
последовательность дискретных временных отсчетов. Для определенности интервалы между отсчетами принимаем равными средней величине RTT-задсржки =
текущие времена
где
k – параметр смещения. Используя выражение (4.26), запишем соот-
t
ношение для корреляционной функции процесса
=
M{B(t
Т
+ Тср. В соотношении (4.21) отождествим
0
и t1 с моментами времени t
2
, t2) = k
2H (tn
H
2
t
n
, t
+
n + k
t
2
)B(t
n
k
2H (t1
n + k
)} 1/2[
) =
H
kn
и tn (t
n + k
– |t
В
H
n + k
n + k
(t)
– tn|2H]. (4.27)
– tn = k),
Коэффициент корреляции для стационарных приращений процесса
(4.26) на заданном интервале длительностью
значениях
k и Т аппроксимируется известным выражением (4.22).
Т при достаточно больших
79
5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТЬЮ
В КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЯХ
5.1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ
Актуальность постановки задачи прогнозирования и ее решения
заключается в том, что данные прогноза о пропускной способности
позволяют получить дополнительные сведения для решения задачи
управления, а именно формирования алгоритма предотвращения перегрузки. Решение указанной задачи, как правило, сводится к определению алгоритма с адаптивным механизмом перенастройки отдельных
сетевых компонент. В качестве одного
го механизма можно указать на алгоритм изменения текущего окна
TCP-соединения для предотвращения перегрузки и уменьшения тем
самым потерь в пропускной способности сети. Если процесс передачи
информации не столь критичен к потере пакетов, в качестве еще одного
примера применения этого алгоритма можно привести управление потоками данных
протоколом UDP через механизм изменения интенсив-
ности числа посланных пакетов на отдельных участках сети.
При прогнозе оценка процесса формируется не на конечном отрезке наблюдения, а вне его на некотором временном интервале упреждения. Предварительно получим результаты для непрерывного времени, а
затем обобщим их на процессы в дискретном времени. Выразим коэффициент корреляции через корреляционную функцию k2 (t1, t2) и дисперсию D
случайного процесса следующим образом:
t
1
где
и
– соответственно центрированная составляющая и математическое
21
ожидание случайного процесса для t
p(x
, t1) – двумерная и одномерная плотности вероятностей.
1
Используя формулу для условных плотностей вероятности, представим корреляционную функцию в виде
80
0
1
2
В СЕТЯХ
из вариантов использования это-
ttk
,
ttr
,
21
020
1212 t
1(2)
212
, (5.1)
D
t
1
,,;,,
Ddxdxtxtxpxxttk
212211
0
,, xxdxtxpx
2111
моментов времени; p(x1, t1; x2, t2) и
1
2121
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]