Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы распространения света по пленочным и цилиндрическим волноводам. Учебно-методическое пособие
.pdf
пленочного волновода различаются числом т и поляризацией и
обозначаются соответствующими индексами и
.
Для упрощения анализа рассмотрим два вида пленочных волноводов:
слабонаправленный пленочный волновод;
симметричный пленочный волновод.
Слабонаправленный пленочный волновод. Рассмотрим решение
указанной системы уравнений для имеющего практическое значение случая,
когда показатели преломления ,
время они значительно больше, чем показатель преломления
, различаются незначительно, в то же
верхней
среды (например, когда , воздух). Такие соотношения выполняются,
например, в случае, когда на стеклянную подложку осаждают стеклянную
пленку, оптически лишь чуть более плотную, а пространство снаружи
оставляют свободным. При этих условиях граничный угол , при котором
происходит полное внутреннее отражение между пленкой и подложкой
очень мал. Следовательно, параметр также становится меньше по
величине, так как . При этих условиях постоянная
распространения будет незначительно отличаться от
и , так как величина незначительно больше величины
.
Следовательно, и параметр также мал. При этом существенно
превышает волновое число , т.к. , поэтому параметр
будет велик по сравнению с параметрами и . Неравенство
отражает большой скачок в профиле показателя преломления между пленкой
и верхней средой.
Характеристические уравнения (1.1) и (1.2) можно
аппроксимировать одним уравнением, как для - волны, так и для
-
волны, если отказаться от учета числа целых периодов в разности фаз и
при [1-3]:
(1.7)
Как видим, полученное уравнение не содержит ни параметра , ни
показателей преломления. Следовательно, его решение дает универсальное
представление характеристик мод для любых типов слабонаправленных
пленок. Чтобы получить графическое решение, вычертим зависимость
параметра от параметра , как показано на рис.1.2. Представляет интерес
только первый квадрант плоскости ,, так как все моды пленки имеют
только положительные вещественные значения ,. Чтобы найти решения
системы уравнений, состоящего из (1.7) и (1.3)-(1.4), рассчитаем сумму
квадратов первых двух выражений (1.3) и (1.4):
(1.8)
Уравнение (1.8) на плоскости , соответствует окружности с
радиусом:
11
. (1.9)
Точки пересечения ветвей кривой с этой окружностью являются
решениями системы уравнений и соответствуют модам пленки. Каждая такая
точка соответствует двум модам пленки ( и
- моды становятся
вырожденными относительно постоянной распространения ). Так как
параметр объединяет направляющие характеристики пленки и частоту
волны, его называют обобщенным частотным параметром или параметром
пленки. С увеличением параметра всякий раз, когда он проходит через
одно из значений (2m+1)π/2, возникает новая пара мод.
Рис. 1.2 – Взаимозависимости параметров v, u и V для
слабонаправленного пленочного волновода
На рис. 1.3 показано поперечное распределение электрического поля
для -моды при . Поперечное распределение поля внутри
пленки соответствует стоячей волне, а вне пленки экспоненциально затухает.
12
Поскольку параметр поперечного затухания w для среды над пленкой имеет
большие значения по отношению к параметру u для подложки, то поля в
пространстве над пленкой спадают быстрее, чем поля в подложке. Также на
рис. 1.3 показано поперечное распределение мод высшего порядка (m>0), при
увеличении , где (m+1) – число синусоидальных полуволн поперек пленки.
Таким образом, порядок m показывает число нулей распределения
поперечного поля моды внутри пленки.
Рис. 1.3 – Типичное поперечное распределение электрического поля мод
пленочного оптического волновода
Для графического отображения распределения электрического поля
в поперечном сечении пленочного волновода можно воспользоваться
нормированными формулами [4]:
, (1.10)
Распределения электрического поля вне пленки определяются:
, (1.11)
13
где индекс 1i (i=2,3) соответствует границе пленка-подложка (i=2) и
пленка - верхний слой (i=3 ).
Как видно из рис. 1.3, для четных мод максимальное значение поля
сконцентрировано в центре пленки, а для нечетных мод в этой области
сконцентрирован минимум. На рис. 1.4 показано распределение
нормированной интенсивности первых 3-х мод пленочного волновода в
поперечном сечении, которое можно рассчитать с помощью соотношения
.
Рис. 1.4 – Типичное поперечное распределение интенсивностей первых
трех мод в пленочном оптическом волноводе
Симметричный пленочный волновод. Если пленка окружена с обеих
сторон средой с показателем преломления
преломления пленки
, то такой волновод называется симметричным
пленочным волноводом. Характеристические уравнения для и
получаются из (1.1) и (1.2) при подстановке
, меньшим показателя
- волн
, при этом w=v [1-
3]:
TE волна TM волна
(1.12)
(1.13)
Рассмотрим случай, когда m принимает четные и нечетные
значения (), тогда для каждого типа волн получим
систему уравнений:
TE волна TM волна
14
Для упрощения анализа можно предположить, что для симметричного
волновода показатели преломления пленки и окружающей среды не будут
сильно отличаться друг от друга
, следовательно, можно
предположить, что решения для TM волн не будут сильно отличаться от
решений для TE волн. То есть в этом случае H-моды становятся
вырожденными с E-модами.
Характеристические уравнения (1.14) и (1.15) для симметричного
пленочного волновода могут быть решены графически точно так же, как это
было сделано для слабонаправленного пленочного волновода. Изобразим
графически функцию
, соответствующую четным модам и
окружность радиуса , как это показано на рис. 1.5. Заметим, что на рис. 1.5
отображены также ветви функции
, соответствующие
нечетным модам. В противоположность случаю несимметричного
пленочного волновода теперь имеется решение, при котором - это
мода низшего порядка. Волновод направляет такую моду при любой длине
волны. Однако необходимо учесть, что при малых значениях , малыми
будут величины , то есть коэффициент затухания световой волны вокруг
пленки тоже уменьшится, и поле расширится во внешней области по обе
стороны пленки. Только когда
пленка начинает направлять и
моды.
Рис. 1.5 – Взаимозависимости параметров v, u и V для симметричного
пленочного волновода
15
Для графического отображения распределения электрического поля
в поперечном сечении пленочного волновода можно воспользоваться
нормированными формулами (1.10), (1.11). Вид распределения в
поперечном сечении будет симметричным. Для четных мод
максимальное значение в распределении поля точно совпадет с центральной
осью пленки. Для нечетных мод в центре пленки напряженности поля
стремятся к нулю.
Рекомендации к выполнению задания.
Для того чтобы найти параметры u,v,V, необходимо воспользоваться
рис. 1.2 или рис. 1.5 (в зависимости от варианта) и графическим способом
выбрать значения, при которых в пленочном волноводе будут существовать
не более m мод. По выбранной величине нормированной частоты V
необходимо найти толщину пленочного волновода по формуле (1.9).
Значение постоянной распространения в пленке β можно найти из
формулы (1.6). Значение коэффициента затухания в подложке можно найти
из выражения
можно найти из выражения
. Значение коэффициента затухания в верхней среде
. Эти значения необходимо рассчитать
для всех мод m. Углы лучей ψ, соответствующие модам пленки, находятся
по формуле
по формуле
. Коэффициент замедления моды определяется
, а скорость моды
, где
- скорость света в
свободном пространстве.
16
II часть
Техническое задание по расчету
полоскового направленного ответвителя
Изучите конспект лекций, учебную литературу и с помощью
методических указаний II части выполните следующие пункты согласно
вашему варианту задания. Все необходимые числовые значения параметров
для расчета приведены в табл. 2.1 и табл. 2.2.
По предварительным данным параметров сред, используемых для
изготовления направленного ответвителя, согласно вашему варианту из табл.
2.1, а также параметров оптического излучения (табл.2.2.), рассчитать:
1. Поперечные размеры волноводов и
. Заполнить табл. 2.3. При
расчетах воспользоваться результатами, а также дидактическими
материалами из I части данного пособия.
2. Коэффициент связи между волноводами . Заполнить табл. 2.3.
3. Рассчитать нормированные зависимости уровней оптических
мощностей на выходах направленного ответвителя от длины связи
между модами начиная от 0 мкм до мкм с шагом
мкм. Заполнить табл. 2.4 и нарисовать зависимости и от .
4. Длину связи между модами, при которой коэффициент деления по
мощности соответствует заданной в табл. 2.2 величине. Заполнить
табл. 2.3.
5. Длину связи между модами , когда на выходе направленного
ответвителя уровни оптической мощности равны (делитель мощности).
Нарисовать в поперечном сечении область связанных волноводов с
указанием всех конструктивных размеров (см. рис. 2.4).
17
Вариант Х
Параметр
1 2 3 4 5
6
n
1
1,4
1,5
1,6
1,6
1,6
1,47
n2
1,3
1,2
1,3
1,5
1,4
1,45
n0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
2a
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
Вариант Y
Параметр
1 2 3 4 5
6
λ мкм
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
Число мод вдоль оси y
4 3 2 4 3
2
Число мод вдоль оси x
1 1 1 1 1
1
Коэффициент деления по
мощности %
10
20
30
40
60
70
Параметр
Единица измерения
0
Табл. 2.1 – Параметры оптической среды
Табл. 2.2 – Параметры оптического излучения
Табл. 2.3
Табл. 2.4
18
Теоретические материалы для выполнения задания II части
Структура направленного ответвителя на связанных планарных
волноводах показана на рис. 2.1.
Рис. 2.1 – Структура направленного ответвителя а),
область связанных волноводов б)
Два одинаковых волновода имеют область длиной , в которой волны
одного волновода взаимодействуют, или связываются, с волнами другого
волновода. В результате этого некоторая доля мощности
волноводе передается в волновод второй, а часть
остается в первом
в первом
волноводе. Доля мощности, которая переходит из одного волновода в
другой (далее коэффициент деления по мощности), зависит от длины , на
которой волны связаны, и от силы этой связи. Когда две волны (моды)
связаны, они взаимодействуют и изменение напряженности поля одной из
них оказывает влияние на напряженность поля другой. Если – обозначить
коэффициент связи или степень взаимодействия между волнами в
волноводах, то связанные волноводы можно описать системой уравнений [5]:
19
где ,
волн (мод) в отсутствие взаимодействия,
– волновые векторы или постоянные распространения двух
– напряженность оптического
,
поля двух волн (мод) в первом и втором волноводах, которые
взаимодействуют за счет коэффициента связи между ними. В (2.1) и (2.2)
для упрощения предположили симметричное взаимное влияние
(воздействие) волн в двух волноводах
.
Решения уравнений (2.1), (2.2) имеют вид:
где – волновое число, зависящее от и , так и от . и
–
максимальные значения амплитуд оптического поля.
Продифференцируем обе части равенств (2.3) и (2.4), получим:
Так как левые части равенств (2.1), (2.2) и (2.5), (2.6) одинаковые, то
Перемножим левые и правые стороны обоих равенств (2.7) и (2.8):
или
. (2.9)
Решение этого квадратного уравнения таково:
. (2.10)
Если =0, т.е. если нет связи между волнами в волноводах, то формула
(2.10) дает два значения величины :
Если ≠0, то получаем два значения величины .
Посмотрим, каков физический смысл полученного результата. Если
волноводы одинаковые, то постоянные распространения в обоих волноводах
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]