Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электричество и магнетизм. Учебное пособие для практических занятий по физике
.pdf
Решение
0
q
,
II. ,
III. .
rR
rR
,d 0
R
E
R
Для определения напряженности электростатического поля вос-
пользуемся теоремой Гаусса:
,
EdS =
()
∫∫
S
. (1)
εε
Разобьем исследуемое пространство на три области:
I.
<
⎫
1
⎪
RrR
≤≤
12
(2)
⎬
⎪
>
2
⎭
В качестве гауссовых поверхностей выберем сферические поверхно-
сти (рис. 3.3), радиусы
r которых удовлетворяют неравенствам (2).
Тогда для каждой из этих областей запишем теорему Гаусса:
I.
так как внутри сферы радиуса
E
= 0.
что
I
Гауссовы
поверхности
ES=
()
I
∫∫
S
r < R
0
, (3)
зарядов нет. Отсюда следует,
1
1
2
r
Рис. 3.3
11
II.
33 33
II 1 1
ES V r R r R
0
q
33
21
RR
E
,d d
ES ES
ES ES
233
II 1
Er rR
ρ
0
q
3
R
r
2
kqEr
() ()
∫∫ ∫
SR
dd
r
1444
=ρ= π−π= −
εε εε εε
00 0
1
ρρπ
⎛⎞
⎜⎟
33 3
⎝⎠
, (4)
III.
d
ES=
()
III
∫∫
S
. (5)
ε
Объемную плотность заряда рассчитаем по формуле
qq
ρ= =
V
Из условия симметрии следует, что вектор
3
π−
4
()
. (6)
направлен радиаль-
но и зависит только от расстояния от центра шара, следовательно,
()
=
. (7)
И тогда
S – площадь гауссовой поверхности:
где
,d
()
∫∫
S
S = 4πr
=⋅
, (8)
2
Тогда (4) и (5) перепишутся так:
4
4
⋅π = −
π
()
3
εε
0
, (10)
(9)
Er⋅π =
III
2
4
Отсюда
⎛⎞
Er
12
ρ
=−
II
⎜⎟
3
εε
0
⎝⎠
= . (13)
III
. (11)
ε
1
, (12)
2
Тогда
,
0,06 37,1
625
,
r
,
В
5
10
6
12
37
0
129
625
900
=
() 0,
Er
1
()
22 2
() .
Er
=
3
⎜⎟ ⎜⎟
3
εε
0
⎝⎠ ⎝⎠
kq
2
r
3
⎛⎞ ⎛⎞
ρ
=−= −
Er r r
33
RR
11
22
rr
22
kq
33
RR
ε−
()
21
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
(14)
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
Подставим числовые значения и выполним вычисления (результа-
ты расчетов представлены на рис.3.4).
99 3
−
910 10 0,05
Er
()
2
Е
⋅⋅
=⋅−=
33
70,1 0,05
⋅−
()
==
Er
()
3
м
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
99
0,12
−
2
910 10
⋅⋅
0,06
2
В/м.
В/м.
R =
1
R =
2
Рис. 3.4.
см
13
Домашние задания
Задача 3-01
Два точечных заряда находятся на расстоянии
В точке, отстоящей от заряда q
напряженность электрического поля равна
лите неизвестную величину.
на расстоянии r1, а от заряда q2 на r2,
1
E, а потенциал ϕ. Опреде-
a друг от друга.
Шифр q1,.нКл q2,.нКл a, см r1, см r2, см E,.В/см
1 +306,7 - 7 25 20 ? -2,7
2 -66,7 +106,7 3,1 ? 2,2 - -106
3 ? -30 13 5 12 6000 4 -8,33 -1,67 12 15 20 ? 5 -25 ? 5,9 3 4 - +30
ϕ, кВ
Задача 3-02
Точечные заряды
шинах квадрата со стороной
электрического поля равна
q1, q2, q3, q
E, а потенциал ϕ. Определите неизвест-
находятся в последовательных вер-
4
a. В центре квадрата напряженность
ную величину.
Шифр q1,.мкКл q2,.мкКл q3,.мкКл q4,.мкКл a, м E, кВ/м
1 +0,15 +0,27 +0,32 -0,14 - ? +9
2 -9,0 ? +3,1 -5,2 0,9 - -75
3 +2,0 -3,2 +1,1 +3,9 - 100 ?
4 +2,0 +5,0 -3 +7,0 ? 4 5 -0,4 -0,5 +0,2 +0,9 0,5 ? -
ϕ, кВ
Задача 3-03
В вершинах равностороннего треугольника со стороной
дятся точечные заряды
q1, q2, q
ность электрического поля равна Е, а потенциал
. В центре треугольника напряжен-
3
ϕ. Определите неиз-
a нахо-
вестную величину.
Шифр q1, мкКл q2, мкКл q3, мкКл а, м Е, кВ/м
1 +0,47 -0,12 -0,31 - ? +1,5
2 -2,9 +1,8 +3,4 1,5 ? 3 +4,2 -1,7 +2,5 ? 15 4 ? -2,8 -2,5 0,75 - -24,0
5 +0,28 -1,25 0,87 - 11 ?
14
ϕ, кВ
Задача 3-04
По тонкому кольцу радиуса
q
Точечный заряд
стоянии
h
от плоскости кольца в точку на расстоянии h2 от нее. При
1
перемещается вдоль оси кольца из точки на рас-
2
R равномерно распределен заряд q
этом совершается работа А против сил поля. Определите неизвестную величину.
Шифр R, см q1, нКл q2, нКл h1, см h2, см А, мкДж
1 4,2 +46,7 -28,3 6,3 ? +50
2 9,5 -40 +1,2 ? 32 +0,4
3 3,1 ? -9 17 24 -0,87
4 4,8 -30,7 ? 42 12 -9,2
5 5,7 +26 +3,7 15 27 ?
Задача 3-05
Вдоль отрезка длины
стоянии
ный заряд
r от середины отрезка на его продолжении находится точеч-
q
. Сила взаимодействия между зарядами F, потенциаль-
2
ная энергия взаимодействия зарядов
равномерно распределен заряд q1. На рас-
W. Определите неизвестную ве-
личину.
.
1
Шифр q1,нКл q2, нКл
1 80 2,0 3,5 8,1 - ?
2 50 1,43 ? 5,2 250 3 ? 1,07 7,3 9,5 110 4 86,7 ? 9,1 7,8 - 9
5 36,7 0,47 6,2 5,4 ? -
, см
r, см F, мкН W, мкДж
Задача 3-06
Тонкий отрезок нити длиной
распределенный по длине отрезка. На расстоянии
резка на перпендикуляре к нему находится точечный заряд
взаимодействия между зарядами равна
несет на себе заряд q1, равномерно
r от середины от-
q
. Сила
2
F, энергия их взаимодействия
W. Определите неизвестную величину.
Шифр
1 45 243,3 15,0 - ? 10
2 17 ? 25,0 14 0,3 3 4 50 3,2 5,3 - ?
4 23 60 7,2 ? - 10,5
5 12 150 3,5 5,67 ? -
, см
q
, нКл r, см q2, нКл F, мН W, мкДж
1
15
Задача 3-07
Металлический шар радиусом
стной плотностью
a от поверхности шара, действует сила F (F>0, если она направ-
нии
σ. На точечный заряд q, находящийся на расстоя-
R заряжен равномерно с поверхно-
лена от центра шара). Работа сил поля по перемещению заряда
его первоначального положения на поверхность шара равна
A. Опре-
делите неизвестную величину.
q из
Шифр R, см
1 45 -170 +0,5 190 - ?
2 16 ? -0,12 92 0,3 3 - +1200 -0,017 ? -0,009 +0,12
4 48 -270 ? 75 - -1,7
5 13 +750 -0,45 120 ? -
σ,.мкКл/м
2
q, мкКл a, см F, Н A, Дж
Задача 3-08
R
По поверхности двух концентрических сфер радиусами
q
равномерно распределены заряды
и q2. На расстоянии r от цен-
1
и R2
1
тра сфер напряженность электрического поля равна Е, а потенциал
ϕ. Е>0, если поле направлено от центра. Определите неизвестную
величину.
Шифр R1, см R2, см q1,нКл q2,нКл r, см Е, кВ/м
1 2,1 6,3 -5,0 +10,7 - -35,0 ?
2 1,2 3,8 +4,33 -9,0 - ? +0,78
3 1,7 2,3 -106,7 +36,7 ? - -5,1
4 3,4 ? -0,9 +1,63 2,5 - -0,16
5 2,8 5,9 ? +50,0 5,2 7,2 -
ϕ, кВ
Задача 3-09
Заряд равномерно распределен с объемной плотностью
R
вом слое с внутренним радиусом
стоянии
а потенциал
r от центра напряженность электрического поля равна Е,
ϕ. Определите неизвестную величину.
и внешним R2. В точках на рас-
1
ρ в шаро-
3
Шифр
1 12 24,0 ? 370,0 - 1,35
2 200 0,8 4,9 ? 0,15 3 17 2,8 9,4 7,3 ? 4 50 1,7 2,4 1,4 - ?
5 - 2,5 3,2 2,8 ? 13,0
16
ρ,мкКл/
R
,см R2,см r,см Е,кВ/cм
1
м
ϕ,кВ
Задача 3-10
r
13cos ,
,.
MpE
⎡
⎣
Шарик массой
m с зарядом q подвешен на тонкой изолирующей
нити к вертикальной плоскости, по которой равномерно распределен
заряд с поверхностной плотностью
угол
α, сила натяжения нити равна F
σ. Нить образуют с вертикалью
. Определите неизвестную ве-
н
личину.
Шифр m, г q, нКл
1 - 50 3,1 12 ?
2 - ? 12,0 65 0,23
3 14,0 2700 ? - 0,85
4 ? 550 0,82 35 5 1,2 71,6 1,9 ? -
σ,мкКл/м
2
α,градус
F
, Н
н
3.2. Поле электрического диполя. Электрический
диполь в электростатическом поле
Основные законы, уравнения и формулы
Электрический диполь – система двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов ⎜
зарядами
называется плечом диполя.
Электрический дипольный момент
pq=⋅
Напряженность и потенциал поля электрического диполя в произвольной точке, лежащей на радиусе
p
Ek
ϕ= α
e
=+α
3
r
p
e
k
cos .
2
r
q
⎜ = ⎜q2⎜ = q. Расстояние между
1
e
(3.2.1)
:
⎫
()
2
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
где угол
Момент пары сил, действующих на диполь в однородном поле
α – угол между вектором электрического дипольного мо-
мента и радиус-вектором точки в поле.
=
e
⎤
(3.2.2)
⎦
17
Изменение потенциальной энергии при повороте диполя в одно-
sin d
ϕϕ
e
p
β
e
p
e
p
e
p
родном поле
π
UU U pE
Δ= − =
21
∫
0
e
(3.2.3)
Примеры решения задач
Пример 3.2.1. Диполь с электрическим моментом р
= 2 нКл · м
e
находится в однородном электрическом поле напряженностью
= 30 кВ/м. Вектор
Е
составляет угол α =60° с направлением сило-
вых линий поля. Определите произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол
Решение
β
=30°.
Из исходного положения (рис. 3.5, а) диполь можно повернуть
на угол
ла
α
α
2=α0
=30°= π /6 двумя способами; или по часовой стрелке до уг-
=
–β= π /6 (рис. 3.5, 6), или против часовой стрелки до угла
α
1
0
+β=π /26 (рис. 3.5, в).
В первом случае диполь будет повертываться под действием сил поля.
Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во втором
случае поворот может быть произведен только под действием внешних
сил, и, следовательно, работа внешних сил при этом положительна.
Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить
двумя способами; 1) непосредственно интегрированием
выражения
элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой
и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.
Рис. 3.5
18
1-й способ
sin ,
dA M d p E d
0
sin sin .
ApE dpE d
cos cos cos cos .
,
.
U
12
AUUU
cos ,
cos cos ,
Элементарная работа при повороте диполя на угол α
=⋅α= ⋅α⋅α
е
а полная работа при повороте на угол от
αα
=⋅α⋅α= α⋅α
ее
∫∫
αα
00
(1)
α до α
(2)
Произведя интегрирование формулы (2), получим
ApE pE=− α− α = α − α (3)
()()
ее
00
Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке
ApE=α−α=−
101
cos cos 21,9мкДж
()
е
против часовой стрелки
ApE=α−α=
202
cos cos 30мкДж
()
е
2-й способ
Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энер-
Δ cоотношением
гии
=−Δ = −
(3)
U
и U2 — потенциальные энергии системы, соответственно, в
где
1
начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой
UpE=− ⋅ α (4)
то
ApE=α−α (5)
20
е
что совпадает с формулой (3), полученной первым способом.
е
()
19
Домашние задания
e
p
q
E
e
p
q
r
E
ϕ
e
p
q
E
e
p
q
E
ϕ
r
e
p
Задача 3-11
Диполь с электрическим моментом
образован двумя точечными зарядами, модуль которых равен
электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии
тра диполя и лежащей на оси диполя, равны
. Напряженность и потенциал
r от цен-
и ϕ, соответственно.
Определите неизвестную величину.
Примечание: при решении необходимо учесть, что расстояние
следуемой точки в поле диполя сравнимо с величиной плеча диполя
Шифр
1 0,12 1 12 8 ? 2 0,12 1 12 8 - ?
3 ? 1,2 10 10 3,845 4 - ? 12 7 - 386
5 - 1 ? 10 - 360
,нКл·м
,нКл
,см
,см
,кВ/м
r до ис-
.
,В
Задача 3-12
Диполь с электрическим моментом
ми зарядами, модуль которых равен
электрического поля в точке С, находящейся на расстоянии
тра диполя и лежащей на срединном перпендикуляре к оси диполя,
равны
и ϕ, соответственно. Определите неизвестную величину
Примечание: при решении необходимо учесть, что расстояние
следуемой точки в поле диполя сравнимо с величиной плеча диполя
образован двумя точечны-
. Напряженность и потенциал
r от цен-
r до ис-
.
Шифр
1 0,08 1 ? - 8
2 0,140 2 2,62 ? 7
3 0,30 3 1,93 - ?
4 0,15 1,5 0,964 ? 10
5 ? 2 1,28 - 10
, нКл.м
, нКл
,кВ/м
, В
, см
Задача 3-13
Напряженность и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом
20
на расстоянии r от центра диполя, в направлении,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]