Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Динамика механического движения. Учебное пособие для СПО
.pdf
2
v
g = r
R
=
1011
2
3
9,110
6
108,9
6
= 13,9 м/с2.
11(3). От поезда, идущего по горизонтальному участку пути с постоянной ско-
ростью v0, отделяется 1/3 состава. Сила тяги при этом остаётся неизменной. В неко-
торый момент времени скорость отделившихся вагонов уменьшилась в 2 раза. Оп-
ределите скорость головной части поезда в этот момент. Сила трения пропорцио-
нальна силе тяжести и не зависит от скорости.
Дано: v = v0/2; m =m/3; F = const; = const; g.
v - ?
Решение. Из пропорциональности силы трения силе тяжести и ее независимо-
сти от скорости следует, что коэффициент трения = const (постоянная величина).
Если масса поезда m, то от состава отделяется m/3, а поезд с оставшейся массой
2m/3 продолжает движение под действием силы тяги F.
Если обозначить время, за которое скорость отделившейся части поезда
уменьшается в 2 раза, через t, то ускорение этой части состава равно
а = g или а = v/t = v
/(2t),
0
где g ускорение свободного падения.
Из записанных соотношений выражаем равенство g = v
/(2t), которое используем в
0
дальнейших преобразованиях.
При равномерном движении целого поезда по горизонтальному участку пути
сила тяги F должна равняиться силе трения Fтр:
F = F
= mg.
тр
51
А поезд с отделившимися вагонами массой 2m/3 будет двигаться с ускорением
2
2
t
4
t
4
4
а1, определяемым из уравнения движения (второго закона Ньютона):
(2m/3)а1 = F Fтр = F (2m/3)g.
В последнем выражении силу F заменяем равным ей значением mg и получаем:
(2m/3)а1 = mg (2m/3)g,
откуда выражаем
а1 =
1
g =
1
v0/(2t) =
v
0
.
За время t поезд с отделившимися вагонами, двигаясь с ускорением а1, приоб-
ретёт скорость v, определяемую из кинематического уравнения:
v = v0 + а
t = v
1
0
+
v
0
t =
5
v0.
12(2). Ледяная горка составляет с горизонтом угол = 10
0
. По ней пускают
вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому
же пути вниз. Каков коэффициент трения , если время спуска в n = 2 раза больше
времени подъёма.
Дано: n = 2; = 10
0
.
- ?
Решение. При подъёме камня вверх по горке вектор скорости v камня направ-
лен в сторону отрицательной полуоси 0х, а при спуске – вдоль оси 0х (см. рисунок).
При подъёме и спуске камень проходит одинаковые пути ℓ.
52
1
n
1
2
F
mg
х
F
mg
х
y
v
v
y
N
N
тр
тр
На камень действуют силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз, сила
упругости N, направленная перпендикулярно к поверхности горки, сила трения Fтр,
направленная в сторону, противоположную направлению движения, т.е. Fтр направ-
лена против вектора скорости. Повторяя рассуждения, приведённые в задаче 1, по-
лучаем выражения для ускорений при движении вверх (с индексом ) и вниз по горке (с индексом ):
а
= g(sin + cos);
а
= g(sin cos).
Запишем выражения для времени подъёма t и спуска t и затем найдём их от-
ношение с учётом вышеприведённых выражений для ускорений:
t =
2
; t =
а
2
; n =
а
t
t
a
=
a
μcosαsinα
μcosαsinα
μtgα
Полученное выражение n =
возводим в квадрат и находим искомый коэф-
μtgα
фициент трения :
=
μtgα
.
μtgα
2
1n
=
2
tg =
53
2
12
2
tg10
0
= 0,1.
13(2). Два шарика с массами m1 = 40 г и m2 = 10 г, надетые на горизонтальный
101010
40
ℓ
1
N2
стержень, связаны нитью длиной ℓ = 20 см. Определите силу натяжения нити при
вращении стержня с угловой скоростью = 5 с
-1
, если шарики не смещаются отно-
сительно оси вращения. Трением шариков о стержень пренебрегайте.
Дано: m
= 4010
1
-3
кг; m
= 1010-3 кг; ℓ = 0,20 м; = 5 с
2
-1
.
N - ?
Решение. Из условий, что в процессе вращения шарики не смещаются и дейст-
вием на них силы трения можно пренебречь, заключаем о равенстве сил натяжения
нити, действующих на шарики, и неизменности расстояния между шариками, т.е.:
N1 = N2; и
r1 + r2 = ℓ,
где N1 и N
силы натяжения нити, действующие на первый и второй шарики,
2
соответственно;
r1 и r
расстояния от шариков до оси вращения (см. рисунок).
2
Запишем уравнения движения обоих шариков:
m1a1 = m
m2a2 = m
2
r1 = N1;
1
2
r2 = N2,
2
где a1 и a
центростремительные ускорения, с которыми движутся первый и
1
второй шарики, соответственно.
Решая систему из четырёх записанных уравнений, получаем:
N = N1 = N2 =
mm
2
21
ℓ =
mm
21
N
m
m
1
r
1
33
10101040
520,2 = 4010
33
-3
Н = 40 мН.
r
2
2
54
14(2). Самолёт делает «мёртвую петлю». В нижней точке траектории сила,
верх
аниж
верх
Nниж
0
прижимающая лётчика к сиденью в 5 раз больше силы тяжести. В верхней точке
траектории лётчик испытывает состояние невесомости. Во сколько раз скорость са-
молёта в нижней точке больше, чем в верхней точке?
Дано: N
v
/mg = 5; N
ниж
ниж/vверх
- ?
= 0.
верх
Решение. По третьему закону Ньютона
сила, прижимающая лётчика к сиденью, рав-
на по модулю и противоположна по направ-
лению силе упругости (реакции опоры) N. В
верхней точке траектории на лётчика дейст-
вуют сила тяжести mg и сила упругости N
верх
а в нижней точке траектории сила тяжести
mg и сила упругости N
(см. рисунок).
ниж
Предположим, что самолёт движется по ок-
ружности радиуса R. При круговой траекто-
а
mg
N
R
,
mg
рии движения силы, действующие на лётчика в верхней и нижней точках траекто-
рии, направлены по вертикали, и ускорения в этих точках называются центростре-
мительными и равны:
а
верх
= v
2
верх
/R; а
ниж
= v
ниж
2
/R,
где v
ниж
и v
скорость самолёта в верхней и нижней точках траектории.
верх
Уравнение движения лётчика в верхней точке траектории имеет вид:
ma
= mg + N
верх
верх
,
где из того, что в верхней точке траектории лётчик находится в состоянии не-
весомости, следует N
верх
= 0.
55
Тогда написанное векторное уравнение в проекции на вертикальную ось принимает
2
верх
R
2
ниж
R
2
ниж
R
2
ниж
R
ниж
F
mg
ниж
mg
2
ниж
gR
2
ниж2верх
2
ниж2верх
вид:
v
ma
верх
= m
= mg,
откуда выражаем
Уравнение движения лётчика в нижней точке траектории в скалярной форме
имеет вид:
откуда выражаем
По третьему закону Ньютона сила F
равна силе упругости N
, т.е. F
ниж
ma
N
ниж
ниж
= m
= m
ниж
gR = v
v
v
= N
2
. (*)
верх
= N
ниж
mg,
v
+ g = m(g +
, прижимающая лётчика к сиденью,
ниж
. Согласно условию задачи F
ниж
).
/mg = 5.
ниж
Таким образом, с учётом уравнения (*) имеем:
2
v
mg
ниж
R
=
1
=
v
v
1
= 5.
v
=
m g +
N
=
Из последнего соотношения выражаем
v
= 4,
v
и затем, извлекая квадратный корень, находим искомое отношение
56
ниж
верх
v
v
= 2.
t
t
x
ℓ - x
15(3). Канат массой m висит вертикально, касаясь нижним концом поверхно-
сти пола. Какова будет максимальная сила действия каната на пол, если верхний ко-
нец каната отпустить? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: v0 = 0; m; g.
F
max
- ?
Решение. Изобразим положение каната в момент, когда канат про-
ходит вертикально вниз расстояние х. Тогда, если длину каната обозна-
чить через ℓ, часть каната длиной х находится на полу, а часть каната
длиной ℓ - х ещё движется в направлении к полу (см. рисунок). Сила
давления F0 каната на пол определяется силой тяжести части каната
длиной х, находящейся на полу:
х
mg
,
p
и силой динамического давления F =
, связанной с изменением импульса р части
g
каната, оказавшейся на полу. Итак,
F0 = mg
+ F = mg
х
х
+
p
.
Если канат отпустить, он начинает движение с нулевой начальной скоростью,
т.е. v0 = 0. Канат, падая свободно (v0 = 0) с высоты х с ускорением g, приобретает
скорость v, определяемую выражением:
v = gx2 .
57
Элемент каната длины х (массой m =
v
t
t
x
t
m
х), прилегающий к полу во время паде-
ния каната, имеет импульс p = mv =
хv. Этот элемент каната достигает пола
х
m
за время t =
и останавливается, т.е. его скорость v
при этом становится рав-
кон
ной нулю. Изменение импульса р элемента каната при достижении пола равно:
m
р = m(v v
) = m(v 0) = mv =
кон
хv.
Найдём силу динамического давления
F =
p
= р
1
=
m
хv
v
=
m
v
2
=
m
2gx = 2mg
х
.
Полученное выражение для F подставим в выражение для силы давления F0
каната на пол:
F0 = mg
х
+
p
= mg
х
+ 2mg
х
= 3mg
х
.
Сила давления F
каната на пол будет максимальной, если х ℓ:
0
F
х
=
max
F = 3mg
0
х
= 3mg
х
= 3mg.
16(2). Какую силу тяги F должен развивать двигатель на спутнике Земли мас-
сой m для того, чтобы он двигался на орбите радиусом R со скоростью, превышаю-
щей в 2 раза скорость свободного движения по этой орбите? Масса Земли М, грави-
тационная постоянная равна G.
58
Дано: G; M; R; m; v2 = 2v1.
R
R
R
R
R
R
R
F - ?
Решение. Cкорость v1 свободного движения спутника по круговой орбите ра-
диусом R равна первой космической скорости на этой орбите. Центростремительное
ускорение а1 спутника при этом равно:
2
v
а1 =
1
.
При движении со скоростью v2 по этой же круговой орбите центростреми-
тельное ускорение а2 равно:
Теперь запишем уравнения движения спутника для обоих случаев:
Решая систему из приведённых двух уравнений, получаем выражение для си-
лы тяги F:
ma1 = G
а2 =
mM
; ma
2
2
v
2
=
F = 3G
2
v2
1
= 4
= 4ma
2
mM
2
.
v
1 =
2
1
= 4а1.
mM
G
2
+ F.
17(2). Парашютист, летящий до раскрытия парашюта со скоростью 50 м/с, рас-
крывает парашют, и его скорость становится равной 5 м/с. Определите, какой при-
мерно была максимальная сила натяжения строп при раскрытии парашюта. Масса
парашютиста 80 кг, ускорение свободного падения 10 м/с2. Принимайте, что сила
сопротивления пропорциональна скорости.
59
Дано: m = 80 кг; g = 10 м/с2; v1 = 5 м/с; v2 = 50 м/с.
5
N2 - ?
Решение. При равномерном движении парашютиста со скоростью v1 сила тя-
жести mg уравновешивается силой сопротивления F1:
mg = F
где коэффициент сопротивления величина, не зависящая от скорости.
В момент раскрытия парашюта сила натяжения N2 строп парашюта будет мак-
симальной и равна силе сопротивления F2:
N2 = F
Из первого уравнения выражаем и, подставляя во второе уравнение, нахо-
дим:
N
= v
2
2
=
mg
v
1
v2 = mg
v
v
= v
1
= v
2
2
= 8010
1
1
2
,
.
50
= 810
3
Н = 8 кН.
9 Контрольные вопросы
1 Какое движение называют движением по инерции? Какая система отсчёта
называется инерциальной? Почему система отсчёта, связанная с Землёй, строго го-
воря, неинерциальная?
2 Что изучают в разделах классической механики – кинематика и динамика; в
релятивистской механике?
3 Что такое масса (инертная, гравитационная)? Что такое сила? Как их можно
охарактеризовать? Каковы единицы измерения массы, силы?
4 Какая физическая величина называется импульсом (количеством движения)?
5 Приведите две формы записи второго закона Ньютона.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]