Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Динамика механического движения. Учебное пособие для СПО
.pdf
man = mg + N.
cos
α
cosg2
g
х
0
n
N
ℓ
0 R
у
a
Шарик вращается в горизонталь-
ной плоскости по окружности радиуса
R = ℓsin. С позиции (точка 0), где
шарик находится, направим оси коор-
динат 0х – в радиальном (горизонталь-
m
ном) направлении, 0у – вертикально
вверх. Запишем векторное уравнение движения в проекциях на оси координат 0х и
0у:
0х: ma
= Nsin
n
0y: 0 = Ncos mg
Получили систему из двух скалярных уравнений, в которых центростреми-
тельное ускорение равно:
a
= 2R = (2)2R = 422ℓsin.
n
Подставляя выражение для an в систему уравнений движения, получаем:
m422ℓsin = Nsin
mg = Ncos
Решая эту систему из двух уравнений, находим:
mg
N =
; =
Подставив численные данные, получаем:
41
1
.
N =
cos
α
cos60
cosg2
R
R
mg
=
1010,
= 2 Н. =
0
1
1
=
2
10
= 1 об/с.
0
06cos,50
5(1). Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое мень-
ше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных
спутников Марса и Земли ТМ/ТЗ, движущихся по круговым орбитам на небольшой
высоте?
Дано: МЗ = М
10; d
М
М
= d
0,5;
З
ТМ/ТЗ - ?
Решение. Так как высота полета спутника мала, то радиус орбиты совпадает с
радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона сила тяготения рав-
на произведению массы спутника на центростремительное ускорение:
2
G
mM
2
v
m
,
R
где G – гравитационная постоянная;
m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v =
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота во-
круг планеты со скоростью v:
Т =
42
M
G .
R2
v
R
R2
=
2
GM
3
R
GM
.
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой планеты,
найдем искомое отношение периодов обращения спутников Марса и Земли:
ТМ/ТЗ =
3
R
GM
М
М
2 :
3
R
GM
З
З
2 =
3
R
R
М
М
З
М
З
М
=
3
d
М
d
М
З
З
М
= 105,0
М
3
= 1,1.
6(2). На экваторе некоторой сферической планеты тела весят вдвое меньше,
чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3 000 кг/м3. Найдите период обраще-
ния планеты вокруг своей оси. Гравитационная постоянная G = 6,6710
-11
(Нм
2
)/кг2.
Дано: РЭ = Р
/2; = 3 000 кг/м3; G = 6,6710
П
-11
(Нм
2
)/кг2.
Т - ?
Решение. К телу, находящемуся на поверхности планеты на широте , прило-
жены сила тяготения FT и сила нормальной реакции N. Реакция опоры (сила упру-
гости) N направлена не в радиальном направлении, нормально к поверхности Зем-
ли (вдоль направления действия силы FT), а в таком направлении, чтобы равнодей-
ствующая Fn = N + FT была направлена перпендикулярно к оси вращения и обеспе-
чивала вращение тела по окружности радиуса r. Соответственно, вес тела Р
= N
действует на поверхность Земли. Равнодействующая Fn направлена к центру парал-
лели на этой широте и сообщает телу центростремительное ускорение an при вра-
щении планеты вокруг своей оси. Согласно второму закону динамики
Fn = ma
= m2r = m2Rcos,
n
где m – масса тела;
угловая скорость вращения планеты;
r – радиус параллели на широте ;
R – радиус планеты.
43
Так как величина FT во всех точках поверхности планеты одинакова, направление и
2
2
2
r
R
T
FT
T
N
Э
П
n
N
F
F
F
P
N
модуль силы N
зависит от . На
полюсе и на экваторе FT и N
направлены вдоль одной прямой
(на рисунке NП и FT, NЭ и FT, со-
ответственно).
Вес тела Р
это упругая
сила, с которой тело давит на
опору или растягивает подвес.
По третьему закону Ньютона вес
тела равен силе нормальной ре-
акции: Р = N. Вес и реакция
опоры (сила упругости) на по-
люсе равны силе тяготения
= РП = FT,
0
90N
так как при = 900, r = 0. На экваторе = 0 и r = Rcos = R, и по второму закону
Ньютона
F
N
T
= ma
Э
= m
n
2
R.
По условию задачи на экваторе вес тела, равный РЭ = NЭ, вдвое меньше чем на по-
люсе, т.е.
РЭ =
P
F
П
=
T
.
Из F
NЭ = m
T
2
R выражаем NЭ = F
Итак,
РЭ = NЭ =
44
F
T
m
T
= F
2
R.
m
T
2
R,
откуда следует, что
2
Т
R
3
2
2
R
2
R
3
h
2
0
а
R =
F
T
.
m
2
Так как
=
2
, FT = G
mM
, M = V =
2
4
3
R
,
то подстановка этих выражений в уравнение m
2
R =
F
T
позволит нам вычислить
период вращения Т планеты:
2
2
m
Т
R =
1
mM
G
1
m
4
=
2
G
2
R
3
,
откуда находим период Т вращения планеты вокруг своей оси и, подставляя число-
вые данные, произведём вычисления:
Т =
6
G
=
6
11-
3000106,67
= 9 706 с 2 ч 42 мин.
7(1). Тело массой m = 300 г, упав с высоты h = 25 м, приобрело скорость v =
20 м/с. Какова средняя сила сопротивления воздуха? Ускорение силы тяжести равно
g = 10 мс/2.
Дано: v0 = 0; m = 0,3 кг; h = 25 м; v = 20 м/с; g = 10 м/с2.
Fc - ?
Решение. Запишем кинематическое соотношение для случая падения тела без
начальной скорости (v0 = 0):
a =
Уравнение движения тела в векторной форме имеет вид:
45
F
2
v
c
.
mg
y
ma = mg + Fc,
где mg – сила тяжести (см. рисунок);
Fc – сила сопротивления воздуха, действующая на тело;
а ускорение, с которым падает тело.
Перейдём к скалярной форме записи уравнения движения, спроектировав все век-
торные величины на вертикальную ось 0у (так как все векторы направлены по вер-
тикали):
ma = mg F
,
c
откуда выразим искомую среднюю силу сопротивления воздуха Fс за время падения
тела
2
v
F
= m(g a) = m
c
g
.
h2
Подстановка численных значений даёт:
Fc = m
2
v
g
h2
= 0,3
10
20
2
252
= 0,6 Н.
8(3). Кольцо массы m и радиуса R вращается в горизонтальной плоскости во-
круг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Кольцо сделано из тонкой
проволоки, выдерживающей натяжение F. С какой максимальной частотой можно
вращать кольцо, чтобы оно имело трёхкратный запас прочности?
Дано: m; R; F; n = 3.
- ?
Решение. Рассмотрим элемент дуги 1А2В3 кольца, который виден из центра 0
кольца радиусом R под малым углом 2 (см. рисунок). Масса m этого элемента
равна
46
m = m
2
2
n
n
n
0
А
В
С
n
F1
F1
2
1 3 RRR
R
2
= m
.
/2
/2
/2
/2
F
При вращении кольца в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр кольца, элемент дуги кольца растягивается парой сил F1,
равнодействующая которых Fn направлена к центру кольца и является центростре-
мительной силой. Точки приложения пары сил F1 точки А и В, соответственно, пе-
ренесены в точку С, в которой пересекаются продолжения пары векторов F1. Из ри-
сунка видно, что при малых углах
Fn = 2F1sin
F1.
1
Согласно условию задачи натяжение F1 кольца должна составлять
часть от
F
предельной силы F, т.е. F1 =
(n = 3-хкратный запас прочности). Итак,
F
Fn = F
=
1
.
47
Приравняем Fn центростремительной силе (так как при вращательном движе-
n
n
mR
nF2
mR
3F2
mR
3F2
mR
3
нии результирующая сила является центростремительной силой), т.е. произведению
массы m на центростремительное ускорение:
где = 2.
Таким образом, имеем:
Из последнего уравнения находим искомую частоту вращения :
В частности циклическая частота равна:
Fn = F
F
= m
1
=
=
1
F
= m
2
R = m
=
1
2
(2)
R,
2
R.
.
= 2 = 2
1
=
F
.
9(2). В известном аттракционе мотоцикл на вертикальной стене мотоцикл
движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по
горизонтальному кругу. Какова при этом должна быть минимальная скорость дви-
жения мотоцикла, если известно, что коэффициент трения скольжения между ши-
нами и поверхностью цилиндра = 0,24? Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с
2
.
Дано: R = 10 м; = 0,24; g = 9,8 м/с
2
.
v - ?
48
Решение. При движении мотоцикла по вертикальной стене (см. рисунок) на
R
R
R
R
тр
N
него действуют следующие силы: mg – сила тяжести, Fтр – сила трения, N – сила
нормального давления (сила упругости). Когда мотоцикл едет с неко-
торой минимальной скоростью v, с которой может ехать по горизон-
F
тальному кругу, равнодействующая всех сил должна равняться цен-
тростремительной силе, т.е.
2
v
mg
m
,
где m – масса мотоцикла.
Так как в направлении центра круга проекции mg и Fтр равны нулю,
то получаем, что сила упругости N равна центростремительной силе, т.е.
2
N = m
v
.
Устойчивое движение по горизонтальному кругу возможно, когда сумма про-
екций всех сил, действующих на мотоцикл, на вертикальную ось, равна нулю, т.е.
F
mg = 0, или F
тр
А по закону Амонтона-Кулона F
Решая систему из трёх написанных уравнений
2
v
N = m
получаем, что
откуда находим
= N.
тр
; Fтр = mg; F
2
mg = m
v
,
= mg.
тр
= N,
тр
49
v =
r
r
R
r
r
r
=
gR
1089 ,
= 20 м/с = 72 км/ч.
0,24
10(2). Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю
горизонтальную скорость v = 11 км/с. Эта скорость обеспечила полёт корабля по
круговой орбите радиусом r = 9 100 км. Каково ускорение свободного падения у по-
верхности планеты, если ее радиус R = 8 900 км?
Дано: v = 11103 м/с; r = 9,1106 м; R = 8,910
6
м.
g - ?
Решение. Так как корабль движется по круговой орбите, то равнодействующая
всех сил, действующих на корабль, должна равняться центростремительной силе,
т.е. гравитационная сила взаимодействия корабля и планеты должна равняться цен-
тростремительной силе:
mM
G
2
= m
2
v
,
где М – масса планеты;
m – масса корабля;
G – гравитационная постоянная.
Известно выражение для ускорения свободного падения g у поверхности пла-
неты радиуса R (см. выражение (5.3)):
M
g = G
,
2
откуда выражаем GM = gR2 и подставляем в уравнение движения корабля
mM
G
2
=
m
gR2 = m
2
2
v
.
Из последнего выражения находим
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]