Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по курсу Компьютерное моделирование обработки сигналов в информационных системах
.pdf
21
величина, закон распределения которой приближается к гауссовскому закону при
увеличении количества членов в сумме» [13, с. 88, 115].
Алгоритм моделирования случайных величин основан на центральной пре-
дельной теореме. Другими словами можно сказать, что чем больше слагаемых в
сумме, тем ближе сумма к гауссовской случайной величине. Центральная пре-
дельная теорема справедлива, если нет доминируемого члена в сумме, а все члены
примерно одинаковы по дисперсии.
. (5.6)
Если запустить программу (5.6), то мы получим значение случайной величины с параметрами m = 0, σ = 1. Если нужно получить
величину Y с заданными m и σ, тогда сначала необходимо сформировать величину X, а потом Y:
, (5.7)
, (5.8)
. (5.9)
Мет од обратных функци й
При моделировании процессов обработки сигналов часто возникает задача
получения случайной величины с негауссовским законом распределения. Одним
из самых эффективных методов генерирования негауссовских случайных величин
является метод обратных функций.
Найдём закон распределения величины y, полученной нелинейным преобразованием y = ψ(X) непрерывной случайной величины X (Рис. 6). Будем считать,
что существует взаимно однозначное преобразование y = ψ(X). Обратное преобразование обозначим как X = ψ-1(y).
22
Рис. 6. Функциональное преобразование случайной величины
Из Рис. 6 видно, что всегда, когда случайная величина X попадает в интервал
[X0, X0+ΔX], случайная величина y попадает в интервал [y0, y0+Δy].
. (5.10)
Из формулы (5.10) можно найти функцию распределения
F(y), тогда случайную величину Y можно найти с помощью преобразования Y =
ψ(X) = F-1(X), где F-1(X) — функция, обратная функции F( ) [1, с. 27-40].
6. Моделирование случайных процессов
Случайные процессы представляют собой функции, которые отличаются тем,
что принимаемые ими значения в любой произвольный момент времени являются
случайными. Говорят, что случайный процесс – однопараметрическое семейство
случайных величин, которое зависит от значений параметра, имеющего смысл
времени.
Совокупность значений реализаций случайного процесса в фиксированный
момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного
процесса.
К основным характеристикам случайных процессов можно отнести:
Среднее значение случайного процесса – математическое ожидание m(t)
сечения случайного процесса x(t) в фиксированный момент времени t:
23
,
где - плотность распределения вероятностей;
Дисперсия случайного процесса – дисперсия D(t) сечения случайного про-
цесса в фиксированный момент времени:
;
Функция корреляции случайного процесса R(t1, t2) – математическое ожи-
дание произведения сечений случайного процесса в некоторые моменты вре-
мени и
.
Случайный процесс является стационарным, если его плотность распределения не зависит от t. Проще говоря, статистические (вероятностные) свой-
ства стационарного случайного процесса не зависят от времени. Одномерное
распределение стационарного случайного процесса не зависит от времени. Так
как одномерное распределение определяет среднее значение и дисперсию случай-
ного процесса, то можно сделать вывод, что для стационарного случайного
процесса среднее значение и дисперсия не зависят от времени.
В различных задачах важную роль играют процессы, распределение которых
является гауссовским. Возникают такие процессы тогда, когда складывается
большое число слабозависимых случайных процессов одинаковой мощности. В
таком случае независимо от того, как распределены отдельные слагаемые, с
увеличением числа слагаемых сумма сходится к гауссовскому случайному про-
цессу.
Случайный процесс называется гауссовским, или нормальным, если его
плотность распределения является гауссовской:
. (6.1)
24
Стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием и корреляционной функцией вида (где – дисперсия) называется белым гауссовским шумом.
При моделировании случайных процессов часто сталкиваются с проблемой:
моделирование случайного вектора большой размерности может быть очень
трудной (трудоемкой) задачей. Иногда подобные задачи непреодолимы даже для
современных ЭВМ. Потому на практике обычно имеют дело с некоторыми
сравнительно узкими классами случайных процессов, для которых либо плот-
ность распадается на произведение плотностей, зависящих от небольшого числа
переменных, либо существуют различные методы моделирования этих процессов.
Как правило, моделирование процесса не является самоцелью. Вычисляется
функционал – число, сопоставляемое с данной траекторией процесса. Задачи
такого рода могут иметь большое прикладное значение.
В системах связи наблюдаются сигналы, которые достаточно хорошо описы-
ваются моделями стационарных случайных процессов с типовыми корреляцион-
ными функциями. Возмущения в системах связи можно описать с помощью
гауссовских стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями.
На практике чаще всего встречаются задачи моделирования, где необходимо
моделировать случайные процессы узкого класса. Например, случайные процес-
сы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных
системах. В основу алгоритмов моделирования нормальных случайных процессов
положено линейное преобразование стационарной последовательности x[n]
независимых нормальных случайных чисел в последовательность y[n], коррели-
рованную во времени по заданному закону. Оператор линейного преобразования
в этом случае записывается либо в виде скользящего суммирования с некоторыми
весами :
, (6.2)
либо как реккурентное уравнение вида:
25
.
(6.3)
Вид корреляционной функции случайного процесса определяется набором
значений a
, bk, ck и их количеством, которое обычно невелико. Уравнения
k
(6.2) и (6.3) позволяют формировать дискретные реализации случайных процессов
разной длины. Начальные условия уравнения (6.3) можно выбирать нулевыми,
при этом имеет место некоторый переходный процесс, в результате которого
начальный участок моделируемого процесса будет искажен. Однако после окон-
чания переходного процесса последовательность ξ[n] станет стационарной. С
помощью уравнений (6.2) и (6.3) описывается поведение
некоторого фильтра, преобразующего дискретный белый шум в дискретный
случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристика-
ми. Моделирование с использованием скользящего суммирования и рекуррент-
ных разностных уравнений можно считать задачей формирования дискретного
фильтра. Передаточные функции фильтров имеют вид:
, (6.4)
, (6.5)
где z – переменная z-преобразования.
Функция k(z) определяется как отношение Z – преобразований выходного сиг-
нала и входного сигнала [1, с. 42-77; 8, с. 14-34].
7. Модели каналов в системах связи
Главной задачей систем связи является передача информации. Для передачи
информации от источника к получателю используются сигналы – физические
процессы, параметры которых зависят от передаваемых сообщений. Сообщение, в
свою очередь, является совокупностью символов, несущих некоторую информацию.
26
Устройство передачи предназначено для преобразования сообщения x(t) в
сигнал s(t). Такие устройства могут выполнять операции кодирования и модуля-
ции. Также при передаче сообщений цифровыми методами выполняются опера-
ции дискретизации по времени и квантования по уровню.
С точки зрения передачи информации наиболее значимыми характеристика-
ми для систем связи являются:
1. Достоверность передачи информации (степень соответствия принятых
сообщений переданным);
2. Помехоустойчивость (способность системы противостоять вредному воздействию помех на достоверность приема);
3. Задержка (промежуток времени между подачей сообщения от источника на
вход передающего устройства и выдачей восстановленного сообщения получате-
лю приёмным устройством).
На Рис. 7 представлена обобщённая схема системы передачи информации.
Рис. 7. Обобщённая схема системы передачи информации
Источники сообщения – устройства, осуществляющие выбор сообщений из
всей совокупности сообщений, по типу генерируемых сообщений разделяются на
дискретные и непрерывные.
27
Для дискретных источников характерно конечное число внутренних состоя-
ний, которым соответствует конечное число символов. Совокупность символов –
алфавит источника (сообщения).
При этом каждый символ Xi характеризуется вероятностью появления p(Xi).
Совокупность символов и вероятностей их появления представляет собой ансамбль источника.
Для непрерывных источников характерно бесконечное число внутренних со-
стояний. В качестве примера непрерывных источников можно привести речь,
музыку и т.д. Любое непрерывное сообщение с заранее заданной точностью
можно заменить дискретным сообщением, применив к нему дискретизацию по
времени и квантование по уровню. Дискретизация по времени основана на теоре-
ме Котельникова. Данная теорема гласит о том, что сообщение, описываемое
функцией времени со спектром, который ограничен верхней частотой F
, полно-
B
стью определятся значениями своих отсчётов, взятых через интервал времени
Δt = 2/FB. Диапазон изменения непрерывных сообщений (X
min
, X
) можно раз-
max
бить на дискретные уровни с интервалом ΔX, при этом непрерывные отсчеты
необходимо заменить ближайшими дискретными значениями. Такая замена и есть
квантование непрерывных отсчетов, величина ΔX – шаг квантования.
Для преобразования исходного сообщения X(t) в поступающий на модулятор
электрический сигнал S(t) используется кодер (кодирующее устройство). Кодиро-
вание представляет собой преобразование дискретного сообщения в последова-
тельность кодовых символов по заданному правилу. Код образуется множеством
всех кодовых последовательностей, которые возможны при использовании
данного правила кодирования. В зависимости от используемого правила (способа)
кодирования полученная последовательность кодовых символов может иметь
различную длину. Результатом процесса кодирования является получение кодо-
вых комбинаций на выходе кодера, использование которых позволяет повысить
помехоустойчивость при передаче в различных системах связи.
Модулятор обеспечивает преобразование первичного электрического сигнала
S(t) в радиосигнал Sp(t, λ0). Модулятор изменяет параметры несущего сигнала λ
в
0
28
соответствии с изменением модулирующего исходного сигнала S(t). Способ
передачи информации состоит из совокупности операций превращения сообще-
ний X(t) в радиосигнал Sp(t, λ0). Выбранный метод модуляции при передаче
дискретных сигналов, способ кодирования, а также описание аналого-цифрового
преобразования при передаче непрерывных сообщений дискретными сигналами
являются основными факторами при описании способа передачи.
Каналом передачи информации является совокупность технических средств,
которые обеспечивают передачу электрических сигналов от источника к получа-
телю сообщения. Каналы могут быть непрерывными, дискретными и дискретно-
непрерывными. В непрерывных каналах на входе и выходе сигналы непрерывны
по уровням, в дискретных – они дискретны, а в дискретно-непрерывных – на
входе сигналы дискретны, а на выходе непрерывны, и наоборот.
Средой распространения сигнала называют совокупность технических
средств, заключённых между модулятором и демодулятором (выходные каскады
передатчика, передающая антенна). Непрерывный канал образуется приёмной
антенной и линейной частью приёмника, так как входные и выходные радиосигналы Sp(t, λ0) и Yp(t) непрерывны по своей природе. Дискретный канал находится
между выходом кодера и входом декодера. Дискретно-непрерывный канал образуется частью системы между выходом кодера и входом демодулятора. В итоге
дискретный канал содержит в себе дискретно-непрерывный канал, который в
свою очередь включает в себя непрерывный канал.
При распространении по каналу радиосигнал Sp(t, λ0) претерпевает измене-
ния. Изменения связаны с поглощением и рассеиванием энергии, отражениями от
неоднородностей среды распространения, замираниями сигнала, искажениями за
счёт несовершенства аппаратного обеспечения. Из-за этих изменений принятый
полезный сигнал Sp(t, λ ) отличается от переданного Sp(t, λ0). Такие дополнитель-
ные составляющие, как время запаздывания, сдвиг частоты, изменение амплиту-
ды, получает вектор принятого сигнала λ, кроме присущих ему параметров λ0. При
приёме сигнала можно учесть некоторые из дополнительных параметров, которые
могут считаться известными на приёмной стороне.
29
Также на антенну приёмника поступают сигналы от посторонних источни-
ков, и тем самым создаются помехи при приёме полезного сигнала. К помехам
также можно отнести флуктуационные шумы приёмника, нестабильность питаю-
щих напряжений и параметров элементов приёмника. Наличие помех в канале
обусловлено присутствием источника помех, вырабатывающего случайный
процесс n(t). Чаще всего помехи на входе приёмника суммируются с полезным
сигналом, поэтому такие помехи называются аддитивными. Наиболее распро-
странённым видом помех является нормальный белый шум с нулевым средним
значением и равномерной спектральной плотностью N0.
Выходной сигнал канала часто можно представить в виде аддитивной модели
, (7.1)
где Sp(t, λ) – принятый полезный сигнал с вектором параметров λ.
Операции по превращению принимаемого сигнала Yp(t) в сообщение выпол-
няют демодулятор и декодер. Задачей демодулятора является выделение сигнала
Yp(t), который модулирует несущую принятого колебания. Задача декодера -
выработать по этому сигналу передаваемое сообщение . Превращение сооб-
щения в сигнал на передающей стороне и последующее преобразование сигнала в
сообщение на приёмной стороне – взаимозависимые операции. Следовательно,
кодер, декодер, модулятор, демодулятор объединяют и рассматривают как единые
устройства. При этом модемом называют устройство, выполняющее функции
модулятора и демодулятора, а устройство, выполняющее функции кодирования
сообщений и декодирования сигналов - кодеком.
При приёме непрерывных сообщений основная операция – демодуляция,
представляющая собой выделение сообщения , модулирующего несущую
принятого сигнала Yp(t). Способом приёма называют совокупность операций по
превращению сигнала Yp(t) в сообщение .
30
7.1. Модели непрерывных каналов
Каналы, входные и выходные сигналы которых принимают произвольные
значения из некоторого интервала, называют непрерывными. Данные каналы
классифицируются по виду помех и характеру преобразования входного сигнала в
полезный принятый сигнал. Предположив, что в канале действует аддитивный
нормальный белый шум n(t), можно разделить непрерывные каналы по виду
преобразования входного сигнала в полезный принятый сигнал, то есть по виду
искажений сигнала. В большинстве систем связи излучённые сигналы являются
узкополосными:
, (7.2)
где A(t) и φ(t) – функции, отображающие законы амплитудной и угловой модуля-
ции; ω
– несущая частота сигнала.
0
При наличии прямой видимости между передатчиком и приёмником канал
может являться однолучевым. По отношению к излучённому сигналу принятый
полезный сигнал характеризуется:
случайным ослаблением α(t);
средним временем запаздывания τз;
допплеровским сдвигом частоты Ω;
случайной начальной фазой θ.
С учетом этих характеристик, передаваемый сигнал может быть представ-
лен в виде:
. (7.3)
Можно выделить несколько моделей непрерывных каналов в зависимости от
имеющихся на приёмной стороне знаний значений дополнительных параметров
α(t), τз, Ω, θ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]