Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая теплотехника. Учебное пособие
.pdf
к
у
к
у
ww
qq
2121ww
, (68)
TT
2.7. Теплопроводность плоской стенки
1. Случай однородной стенки (рис. 24).
Теплопроводность через плос
Рис. 24
ю однородную стен
Рассмотрим однородную стенку толщиной δ, коэффициент теплопроводности
держиваются постоянные температуры
только в направлении оси
но
, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикуляр-
но оси
х.
λ которой постоянен. На наружных поверхностях стенки под-
t1 и t2. Температура изменяется
х. В этом случае температурное поле одномер-
Выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя
изотермическими поверхностями.
На основании закона Фурье для этого случая можно написать
q
Плотность теплового потока
dt
dx
или
dt
q при стационарном тепловом режиме
q
dx
.
постоянна в каждом сечении, поэтому
q
t
Cx
. (69)
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий,
а именно при
х = 0 t = t1 = С, а при х = δ t = t2.
Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, имеем:
q
t
t
12
.
51
Отсюда определяется неизвестное значение плотности теплового
к
у
к
у
потока q,
а именно
ttq
21
. (70)
Следовательно,
количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ. и разности температур наружных поверхностей Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ.
Уравнение (70) является расчетной формулой теплопроводности
плоской стенки
Отношение
ратная величина δ/
.
λ/δ называется тепловой проводимостью стенки, а об-
λ – термическим сопротивлением. Последнее определя-
ет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.
Если в уравнение (69)
теплового потока
q, то получим уравнение температурной кривой:
подставить найденные значения С и плотности
tt
21
tt
x
1
x
.
Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента
теплопроводности температура однородной стенки изменяется по линейному закону.
В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Для
подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида λ =
3.
Случай многослойной стенки (рис. 25).
λ0(1+bt).
Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются
многослойными. В качестве примера можно привести стены жилых домов,
в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка.
Теплопроводность через плос
ю многослойную стен
Рис. 25
52
Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих
друг к другу слоев. Толщина первого слоя
Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев
того, известны температуры наружных поверхностей стенки
δ1,
второго – δ
, и третьего – δ
2
λ1, λ
и λ
2
t1 и t
Кроме
3.
. Тепло-
4
3
вой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через
t2 и t3.
При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна
одинакова и для всех слоев. Поэтому на основании расчетной формулы
теплопроводности плоской стенки можно написать:
.
1
1
2
2
3
3
)(
ttq
21
)(
ttq
32
(71)
)(
ttq
43
Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое:
21
32
1
2
qtt
2
(72)
3
qtt
43
3
1
qtt
Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный
температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (72), получаем:
Из последнего соотношения определяем значение плотности теплового потока:
Каждое слагаемое знаменателя представляет собой термическое сопротивление слоя.
Для n-слойной стенки
примет вид
:
41
1
2
1
ttq
1
1
41
2
2
)(
qtt
3
. (73)
3
3
. (74)
3
2
расчетная формула теплопроводности
tt
11
i
n
n
i
1
i
.
q
53
Если значение плотности теплового потока из уравнения (74) под-
ставить в уравнение (72), получим
t
и t
:
2
3
значения неизвестных температур
1
qtt
12
1
2
23
11
4
2
n
qtt
1
i
3
qtqtt
3
/
iin
Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для
многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию.
2.8. Теплопроводность цилиндрической стенки
1. Случай однородной стенки
(рис. 26).
Рис. 26
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l с
внутренним радиусом
r1 и внешним r2. Коэффициент теплопроводности
материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах
меняется только в радиальном направлении
ное поле здесь будет
дрическими
, имеющими с трубой общую ось.
одномерным, а изотермические поверхности – цилин-
Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом
t1 и t2, причем t1>t
r. Следовательно, температур-
и температура из-
2
r и толщиной dr,
ограниченный изотермическими поверхностями.
Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу
времени через этот слой, равно
dt
r
2
dr
, (75)
54
dt
FQ
dr
Разделив переменные, имеем
dt
2
drQ
r
. (76)
После интегрирования уравнения
Подставляя значения переменных на границах стенки (при
t1 и при r = r
t = t
2,
t ln
) и исключая постоянную С, получаем следующую рас-
2
Q
2
Cr
. (77)
r = r
t =
1,
четную формулу теплопроводности цилиндрической стенки:
22
Q
r
2
n
r
1
tt
21
d
n
d
tt
2
1
21
1
2
tt
21
d
2
n
d
1
. (78)
Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени
через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине
натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы
реннему
d1. Последняя формула справедлива и для случая, когда t1 < t2, т. е.
l и температурному напору Δt,
и обратно пропорционально
.
d2 к внут-
когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.
Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть
отнесено либо к единице длины
внешней
F
поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответ-
2
l, либо к единице внутренней F
или
1
ственно принимают следующий вид:
tQ
q
Q
q
1
F
q
2
F
Q
e
1
2
Q
d
11
Q
d
22
, (79)
d
2
n
d
1
t
, (80)
1
2
2
d
2
nd
1
d
1
t
, (81)
1
d
2
nd
2
d
1
Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки
выводится из уравнения (77). Подставляя сюда значения Q
и С, имеем:
tt ln
1
ln
При выводе данной формулы не учитывается зависимость
пературы, т.е. формула приведена для
tt
21
r
d
2
d
1
. (82)
λ = const.
λ от тем-
55
4. Случай многослойной стенки (рис. 27).
Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев.
Диаметры (на рис. 27 обозначены радиусы
теплопроводности
λ отдельных слоев известны. Кроме того, известны тем-
пературы внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки
r1, r2, r3, r
) и коэффициенты
4
t
и t
1
4
В местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим
их через
t2 и t
.
3
.
Рис. 27
При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно
и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (4) для однородной цилиндрической стенки можно написать
)(2
tt
q
l
1
1
q
l
1
2
q
l
1
3
21
d
2
n
d
1
,
)(2
tt
32
d
3
ln
d
2
, (83)
)(2
tt
43
d
4
ln
d
3
.
Отсюда определяем температурные напоры в каждом слое:
q
l
tt
21
2 d
d
1
2
n
1
1
,
q
l
tt
32
tt
43
2 d
q
l
2 d
d
1
1
3
n
2
2
3
, (84)
d
4
n
3
.
56
Складываем отдельно левые и правые части этой системы уравне-
ний. Сумма температурных напоров отдельных слоев составляет полный
температурный напор:
1
q
l
tt
41
(
2
d
2
n
d
1
d
11
3
n
d
21
d
4
)
n
d
3
32
. (85)
Из этого уравнения определяем значение линейной плотности тепло-
q
вого потока
l
:
)(2
tt
q
l
d
2
n
d
1
41
d
3
n
d
21
d
111
4
n
d
3
32
. (86)
По аналогии с этим сразу можно написать
расчетную формулу для
n-слойной стенки:
)(2
tt
11
q
l
n
1
i
n
d
1
i
n
d
i
n
1
i
1
2
1
i
Значения неизвестных температур t2 и t
)(
tt
11
n
d
1
i
n
d
i
i
. (87)
поверхностей соприкос-
3
новения слоев определяются из системы уравнений температурных напоров отдельных слоев:
1
q
l
tt
12
2 d
q
tt
23
1
2 d
2
d
3
n
t
4
d
2
d
2
n
1
1
, (88)
q
ll
2
d
1
4
n
3
3
. (89)
Cогласно последним уравнениям, внутри каждого слоя температура
изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую.
2.9. Теплопроводность однородной шаровой стенки
Рассмотрим полый шар с внутренним радиусом
(рис. 28)
тепло-проводности
. Стенка шара состоит из однородного материала, коэффициент
λ которого постоянен. Известны температуры
внутренней и внешней поверхностей шара
t1 и t2, причем t1>t
r
и внешним r2
1
2
Изотермические повер-хности представляют собой концентрические
шаровые поверхности. Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом
толщиной
dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно
r и
закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен:
.
dt
FQ
dr
4
dt
2
r
dr
. (90)
57
Рис. 28
Разделив переменные, получим
dt
4 r
drQ
2
. (91)
После интегрирования этого уравнения имеем:
Q
1
t
4
C
r
. (92)
Подставляя в последнее уравнение значения переменных величин на
границах стенки (при
r=r1,t=t1 и при r=r2, t= t2) и исключая постоянную С,
получаем следующую расчетную формулу теплопроводности шаровой
стенки:
4 dd
Q
δ = (d2-d1)/2 – толщина стенки.
где
tt
21
11
rr
2
t
dd
11
2121
21
t
, (93)
Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой
стенки выводится из уравнения (92). Подставляя сюда значение
величины
r = r
и r = rх, получаем
1
Q и
58
tt
21
tt
x
1
11
dd
21
1
11
dd
x
. (94)
Последнее уравнение приведено без учета зависимости коэффициента теплопроводности от температуры.
2.10. Конвективный теплообмен. Общие понятия
Конвективным теплообменом называется одновременный перенос
теплоты конвекцией и теплопроводностью
. В инженерных расчетах часто
определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа
и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена
называют
конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.
Конвекция
– явление, при котором процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. Поэтому конвекция возможна
лишь в жидкостях и газах, частицы которых могут легко перемещаться.
Конвекция может быть подразделена на три группы по природе
ее возникновения
:
1. Свободная (естественная) конвекция – в рассматриваемом объеме
жидкости возникает за счет неоднородности в нем массовых сил (например, образование облаков и другие атмосферные явления).
2. Вынужденная конвекция – при ней перемещение вещества обусловлено действием каких-то внешних сил (насос, лопасти вентилятора
и т.п.). Она применяется, когда естественная конвекция является недостаточно эффективной.
3. Смешанная конвекция – возникает при наличии в объеме жидкости обоих видов сил.
При конвекции наблюдают
два режима движения – ламинарный и
турбулентный.
При
ламинарном режиме движение жидкости или газа спокойное,
ровное, частицы движутся параллельно друг другу и их траектории длительное время совпадают с направлением всего потока.
При
турбулентном режиме движение жидкости или газа беспоря-
дочное, каждая частица потока, перемещаясь вдоль канала с некоторой скоростью, совершает различные движения перпендикулярно стенкам канала, в
процессе движения происходит непрерывное перемешивание всех слоев.
Изменение режима движения происходит при некоторой «крити-
ческой» скорости, которая в каждом конкретном случае различна.
Кроме указанных выше природы возникновения
ее движения на процесс теплоотдачи оказывают влияние
конвекции и режима
физические свойства жидкостей и газов, а также форма (плоская, цилиндрическая), размеры и положение поверхности (горизонтальная, вертикальная).
2.11. Закон Ньютона–Рихмана
Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой описыва-
ется
законом Ньютона–Рихмана, который гласит, что количество тепло-
59
ты, передаваемой конвективным теплообменом, прямо пропорционально
разности температур поверхности тела
t
стенки
и окружающей среды t
жидк
:
Q = α · (t
– tж)·F,
с
или
q = α · (t
– tж).
с
Отсюда
Ftt
Q
α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м
q
)()(
tt
жсжс
. (95)
2
К), характеризует интен-
сивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.
Это количество теплоты, отдаваемого в единицу времени единицей поверхности при разности температур, равной одному градусу, между поверхностью и жидкостью.
2.12. Дифференциальные уравнения процесса теплопередачи
Изучить какое-либо явление – значит установить зависимость между
величинами, характеризующими это явление. Для сложных явлений
обычно ограничиваются установлением связи между переменными (координатами, временем и физическими свойствами), которая охватывает
небольшой промежуток времени и элементарный объем пространства.
Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса.
Процесс теплоотдачи описывается системой дифференциальных
уравнений, в которую входят
уравнения теплопроводности, уравнение
сплошности и уравнение теплопередачи.
Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с гранями
dx, dy и dz, считая физические параметры λ, ср и ρ
постоянными.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье–
Кирхгофа:
2
2
2
dt
Cpd
t
x
t
2
2
y
t
2
z
2
ta
. (96)
Оно устанавливает связь между временными и пространственными
изменениями температуры в любой точке движущейся среды; здесь
коэффициент температуропроворности, Δ
2
– оператор Лапласа.
Дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности
в общем виде:
x
yx
y
z
z
0
. (97)
60
а –
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]