Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Логические методы. Часть вторая. Учебное пособие
.pdf
0,5
4.3. Логические операции «нечеткой логики»
Рис. 4.1. Аппроксимация функции принадлежности
μ
1
0
20 3025 35 40 45 50
Т
4.3.2. Логические операции над «нечеткими множествами»
Для нечетких множеств, как и для обычных, определены следующие
основные логические операции, обладающие определенными свойствами (табл. 4.13)1:
1. Пересечение двух нечетких множеств A и B (нечеткое «И»):
A B: μA B (x) = min (μA(x), μB(x)),
т. е. A B — наибольшее нечеткое подмножество, которое одновременно находится и в A и в B, с функцией принадлежности μA B (x).
2. Объединение двух нечетких множеств (нечеткое «ИЛИ»):
A B: μA B (x) = max (μA(x), μB(x)),
т. е. A B — наименьшее нечеткое подмножество, которое включает
как A, и B, с функцией принадлежности μA B(x).
3. Разность двух нечетких множеств:
A\B: μA\B(x) = μA B(x) = min(μA(x), 1 – μB(x)).
4. Дополнение двух нечетких множеств:
B = B или A = А: μA(x) = 1 – μB(x).
1
Дьяконов В. П., Круглов В. В. MATLAB. Математические пакеты расширения: Спец.
справочник. СПб.: Питер, 2001 (главы по «нечеткой логике» и нейронным сетям).
151
Глава 4. Основы «символической логики»
5. Равенство двух нечетких множеств:
A = B: μA(x) = μB(x).
6. Доминирование или содержание для двух нечетких множеств:
A B: μA(x) < μB(x),
т. е. B доминирует A или A содержится в B.
Пример 1. Пусть заданы следующие нечеткие множества:
A = 0,4/x
+ 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4;
1
B = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4;
C = 0,1/x1 + 1/x2 + 0,2/x3 + 0,9/x4.
Таблица 4.13
Свойства операций пересечения и объединения «нечетких множеств»
Операции Свойства и отношения
A B = B A
A B= B A
A A = A
A A = A
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
A = A
A =
A U = U
A U = A
A B = А B
A B = А B
A А ≠
A А ≠ U
μ{δA(x)} = δ{μA(x)} δ > 0
Связь с универсальным множеством U
Коммутативность
Идемпотентность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Связь с пустым множеством ,
μ(x) = 0 ∀x U
Теоремы де Моргана
(см. рис. 4.2)
В результате последовательного выполнения логических операций
имеем:
1. A B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
2. A С = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
152
4.3. Логические операции «нечеткой логики»
Рис. 4.2. Иллюстрация операций пересечения
и объединения нечетких множеств
A A
A A A
A
3. А\С = А B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4.
B\A = А C = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
4. А = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4.
B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
5. A ≠ B ≠ C.
6. A B, т. е. B доминирует A или A содержится в B; С несравнимо
ни с A, ни с B, т. е. пары <A, С> и <B, С> — пары недоминируемых нечетких множеств.
Пример 2. Даны функции принадлежности μA(x), где A — нечеткий
интервал между натуральными числами 5 и 8 (рис. 4.3, а), и μB(x), где
B — нечеткое число около 4 (см. рис. 4.3, б).
Рис. 4.3. Графики функций принадлежности нечетких множеств A и B
a) б)
153
Глава 4. Основы «символической логики»
В результате выполнения логических операций пересечения A B
и объединения A B данных нечетких множеств и дополнения (отрицания) множества A получим функции принадлежности μA B(x) пересечения (рис. 4.4, а), μA B(x) объединения (см. рис. 4.4, б) и μА(x) отрицания (рис. 4.5), представленные утолщенной линией на графиках.
Рис. 4.4. Графики функций принадлежности множеств A B и A B
a) б)
Рис. 4.5. График функции принадлежности множества
А
4.3.3. Нечеткий логический вывод
Для проведения операции «нечеткого логического вывода» создается
соответствующая полная база «нечетких правил» (БНП), содержащая
нечеткие высказывания в форме «если, то» и функции принадлежности
для соответствующих лингвистических термов. Для обеспечения полноты базы должны соблюдаться следующие условия:
•
имеется хотя бы одно правило для любого лингвистического терма входной переменной, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила);
•
имеется хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
Пример 1. Пусть в БНП имеется m нечетких правил вида:
: ЕСЛИ x1 это A
R
1
… И … xn это A1n, ТО y это B
11
1
154
4.3. Логические операции «нечеткой логики»
…
Ri: ЕСЛИ x1 это A
… И … xn это Ain, ТО y это B
1i
i
…
Rm: ЕСЛИ x1 это A
, k = 1, …, n — входные переменные; y — выходная перемен-
где x
ная; A
k
— заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.
ik
… И … xn это Amn, ТО y это Bm,
1m
Результатом «нечеткого логического вывода» является четкое значе-
ние переменной y* на основе заданных четких значений xk, k = 1,…,n.
В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости, нечеткий вывод, композиция и приведение
к четкости. Основу нечеткого логического вывода составляет компози-
ционное правило Заде: «если известно нечеткое отношение R между вход-
ной x и выходной y переменными, то при нечетком значении входной
переменной x=A нечеткое значение выходной переменной определяется так: y= AR, где — максиминная композиция».
Пример 2. Дано нечеткое правило R: ЕСЛИ x = A, ТО y = B с нечеткими множествами:
A = 0/1 + 0,1/2 + 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5;
В = 1/5 + 0,8/10 + 0,4/15 + 0,2/20.
Определить значение выходной переменной y, если:
x = C = 0,3/1 + 0,5/2 + 1/3 + 0,7/4 + 0,4/5.
Вначале рассчитаем нечеткое отношение, соответствующее правилу R, применяя операцию нахождения минимума:
0 0 0 0
0,1 0,1 0,1 0,1
R =
0,5 0,5 0,4 0,2
.
0,8 0,8 0,4 0,2
1 0,8 0,4 0,2
Теперь, по формуле y = СR рассчитаем нечеткое значение выходной переменной:
y = 0,7/5 + 0,7/10
+ 0,4/15 + 0,2/20.
Вопросы и задачи для самоконтроля
1. Используя тождества «математической логики», доказать истинность вы-
сказывания S с использованием «таблиц истинности» и аналитически:
S = ((A B) → B) → (A → B).
155
Глава 4. Основы «символической логики»
2. Приоритетность операций «математической логики». Правила их применения при исследовании высказываний.
3. Перевести на язык «алгебры логики» следующее предложение: «Уголовной
ответственности подлежит лицо, достигшее ко времени совершения преступления 16-летнего возраста».
4. Перевести на язык «алгебры логики» следующее предложение: «Лицо не подлежит уголовной ответственности за преступление, если оно добровольно
и окончательно отказалось от доведения этого преступления до конца».
5. Доказать истинность следующего утверждения: S = ( (A A) = 1) («закон
противоречия»).
6. Доказать истинность следующего утверждения: S = (A (A → B) → B) («пра-
вило извлечения следствия»).
7. Доказать истинность следующего утверждения: S = ((A → A) → A) («прин-
цип приведения к абсурду»).
8. Доказать истинность следующего утверждения: S = ((A → B) = ( B → A))
(«закон контрапозиции»).
9. Доказать истинность следующего утверждения: S = ((A → B) (B → C)) →
(A → C) (закон силлогизма).
10. Перечислить логические операции над «нечеткими множествами».
11. Объяснить «теоремы де Моргана» для «нечетких множеств».
12. Задать функцию принадлежности и построить «нечеткое множество» «Горячая вода».
13. Объяснить свойства операций пересечения и объединения «нечетких множеств».
14. Обосновать «композиционное правило Заде».
Приложение 1
Задачи на логическое доказательство
истинности высказываний
Используя тождества «символической логики», доказать истинность
высказывания S (номер варианта W).
0. S = ((A B) → (B → A)) → ((A B) → (A B)).
1. S = ( ((A → B) → (A B)) = (B → A) → (A B)).
2. S = ( (A B) A) → ( A B).
3. S = ((A B A B) = ( A B) (A B)).
4. S = (( B ( A B)) → A).
5. S = ((B → A) → (A B) = (A → B) (A B)).
6. S = (A → B) → ((A B) → A).
7. S = ((A B) → (A B) = ((A → B) → ( A B))).
8. S = (A → B) ( B → A) ( A B).
9. S = ( ((A B) → (B → A)) = (A → B) → (A B)).
10. S = ( ( A B) (A B)) (B → A).
11. S = ( ((B → A) → (A B)) = (A → B) → (A B)).
12. S = ((A B) → B) → (A → B).
13. S = ( (A B) = (A → B)).
14. S = ( A B) → ((A B) → B).
15. S = ((B → A) = (( A B) → A))).
16. S = (B → A) → (A B) (A → B) → (A B).
17. S = ((A → B) → (A B)) ((B → A) → ( A B)).
18. S = ((A B) → (B → A) = ((A → B) → (A B))).
19. S = ((A → B) (A B)) → ((B → A) (A B)).
Методические указания. Сначала рекомендуем построить «таблицу истинности» для высказывания S (номер W) и убедиться в том, что
157
Системный анализ
Часть 2: Логические методы
при любых значениях высказываний A и B значение исходного утверждения S истинно (равно единице). Тогда истинность высказывания S
можно доказать аналитически.
Аналитическое доказательство истинности высказывания S (номер W) состоит в том, чтобы, используя тождества «математической логики», упростить исходное выражение до единицы. А для этого следует,
прежде всего, выразить его с помощью формул (4.1) и (4.2) в терминах
функционально полной системы операций «алгебры логики».
Пример.
W = (N)mod20, где N — номер студенческого билета): …/N.
N = 38. W = 18.
S = ((A → B) = ( B → A)).
Решение. Составим таблицу истинности для S.
A B D = A → B F = B G = A H = F → G S = (D = H)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1
Как видно, при любых значениях A и B утверждение S истинно
(S = 1).
Докажем истинность высказывания S аналитически.
S = ((A → B) = ( B → A)) = <(4.1)> = (( A B) = ( B A)) = <12, 1> =
= (( A B) = ( A B)) = <( A B) = C> = (C = C) = <(4.2)> =
= ( C C) (C C) = <7> = C C = <5> = 1.
Что и требовалось доказать.
Приложение 2
Задачи на геометрическую
интерпретацию логических
выражений для множеств
Заданы множества А, В, С, U (рис. П. 1).
Заштриховать область Q, которая описывается формулой «алгебры
множеств» номер W.
Рис. П. 1.
A
U
0. Q= (A B C) (A (B C)).
1. Q= (A B C) ( (C B) A).
2. Q= (A C B) ( A B C).
3. Q= (B (A C)) (A B C)).
4. Q= (A C) (B C) (A B C).
5. Q= (B C) (A (B C)).
6. Q= ( (A C) B) ( C B).
7. Q= (A (B C)) ( A (B C)).
BC
159
Системный анализ
Часть 2: Логические методы
8. Q= (A B C) (B (A C)).
9. Q= (A B C) ( (A C) B).
10. Q= (A (B C)) (B (A C)) (C (B A)).
11. Q= (A B C) ( (A B) (A C) (B C)) (A B C).
12. Q= (A B C) ( A B C).
13. Q= (C (A B)) (A B C).
14. Q= ( (B C) A) ( (A C) B) (A B C).
15. Q= (A C) (B (A C)).
16. Q= ( A B) (A B C).
17. Q= (B (A C)) ( B (A C)).
18. Q= (A B C) A B C.
19. Q= (A B C) (A B) (A C) (B C).
Методические указания. Сначала рекомендуем, используя тождества 10 и 10', а также формулу (4.1), в заданном выражении для Q выполнить замены вида
R S= (R S),
R S= (R S),
R S=R\S,
т. е. преобразовать выражение для Q к виду, более удобному для построения искомого результата.
Пример.
W = 20.
Q= (A B C) (B (A C)) (C (A B)).
Решение. Преобразуем выражение для Q:
Q= (A B C) (B (A C)) (C (A B)) =<10, (4.1)>=
= ( (A B C) B\ (A C) C\ (A B)).
Разложим полученное выражение в цепочку простых действий:
D=A B C,
F=B\(A C),
G=C\(A B),
H=D F G,
Q= H.
А теперь, пользуясь заготовками, выполняем эту цепочку простых
действий и получаем результат — множество Q (рис. П. 2).
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]