Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ. Логические методы. Часть вторая. Учебное пособие
.pdf
4.1. Высказывания и логические операции над ними
x1 → x0= x1 x0.
В верности этого равенства можно убедиться, построив таблицу
истинности (табл. 4.6) для правой его части и сравнив ее выход с выходом (см. табл. 4.5). При построении табл. 4.6 следует использовать
табл. 4.1 и табл. 4.3.
Таблица 4.6
x
1
x
0
x
x1 x
1
0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
Равнозначность — многоместная операция. Для двух переменных
она задается табл. 4.4.
Как видно, равнозначность истинна, когда все ее аргументы принимают одинаковые значения — или все одновременно ложны, или все
одновременно истинны; равнозначность ложна, когда значение хотя бы
одного из аргументов отлично от значений других.
Обозначают равнозначность символом «=»:
= x0).
y = (x
1
Правая часть этой записи читается так: x1 тогда и только тогда, когда x0.
Любое равенство, если его рассматривать как одно высказывание, является равнозначностью. Например, «Все едино, что в лоб, что по лбу».
Равнозначность n переменных записывается следующим образом:
= x
y = (x
n-1
= … = x0).
n-2
Синонимы для равнозначности: «x1 в том, и только в том случае,
когда x0; x1 есть необходимое и достаточное условие для x0; x0 есть необходимое и достаточное условие для x1; если x1, то x0, И если x0, то x1».
Последний из синонимов равнозначности позволяет составить для
нее ещё и такое выражение:
= x0) = (x1 → x0) (x0 → x1).
(x
1
Читателю предлагается проверить верность этой формулы самостоятельно.
141
Глава 4. Основы «символической логики»
В терминах функционально полной системы операций равнознач-
ность двух переменных записывается так:
= x0) = x1 x0 x1 x0.
(x
1
Составив таблицу истинности для правой части этой формулы
(табл. 4.8) и сравнив ее выход с выходом табл. 4.7, убедимся в верности приведенной формулы.
Таблица 4.7 Таблица 4.8
x
x
0
y x
1
x0 x1 x0x1 x0 x1 x0 x1 x
1
0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 1 1
Полезно бывает произвести анализ правовых норм средствами «алгебры логики» для обнаружения и устранения в них неясностей, неоднозначностей. Возьмем, к примеру, такое высказывание: «Уголовной
ответственности подлежит лицо, достигшее ко времени совершения
преступления шестнадцатилетнего возраста» (ч. 1 ст. 20 УК РФ). Буквальное прочтение этого высказывания позволяет привлечь к уголовной ответственности любого из очевидцев и даже жертву преступления.
По смыслу данное высказывание суть импликация, у которой заключение (лицо подлежит уголовной ответственности) предшествует посылке
(лицо достигло ко времени совершения преступления 16-летнего возраста). А в посылке нет основополагающего утверждения: лицо совершило
преступление. Нужно было бы сначала сформулировать данную норму
в соответствии с требованиями синтаксиса импликации в «символической логике»: если лицо совершило преступление и ко времени его совершения оно достигло 16-летнего возраста, то это лицо подлежит уголовной ответственности. И только после этого можно было бы изложить
его так: уголовной ответственности подлежит лицо, совершившее преступление и достигшее ко времени его совершения 16-летнего возраста.
До сих пор мы имели дело со сложными высказываниями, в которых можно было выделить два-три простых утверждения. На практике
142
4.1. Высказывания и логические операции над ними
приходится оперировать с более сложными высказываниями. Например, приведем такое «сложное высказывание» (y): «Преступление
признается совершенным с прямым умыслом, если лицо осознавало
общественную опасность своих действий (бездействия), предвидело
возможность или неизбежность наступления общественно опасных последствий и желало их наступления» (ч. 2 ст. 25 УК РФ).
«Простые высказывания» в нем:
• преступление признается совершенным с прямым умыслом (x0),
• лицо осознавало общественную опасность своих действий (бездействия) (x1),
•
лицо предвидело возможность наступления общественно опасных
последствий своих действий (x2),
• лицо предвидело неизбежность наступления общественно опасных последствий своих действий (x3),
• лицо желало их наступления (x4).
Эти простые высказывания (булевы переменные) связаны таким на-
бором логических операций:
(x2 x3) x4) → x0.
y = (x
1
Как видно, в этой формуле пять логических переменных, и построить для нее «таблицу истинности» непросто. Дело в том, что «таблица
истинности» для n переменных будет иметь 2n строк для всех комбинаций (наборов), составляющих значения этих переменных (от набора «все — нули» до набора «все — единицы»). При n = 5 в таблице
будет 32 строки. При ее заполнении нужно не пропустить ни одного из наборов, а какие-то наборы не повторить. Правда, существует
простое правило заполнения таблицы наборами значений переменных. Оно основано на том факте, что любая из логических переменных на половине из 2n наборов имеет значение 0, а на другой половине — значение 1.
Распределим логические переменные по колонкам слева направо
в порядке убывания их индексов: x4 x3 x2 x1 x0. Правую колонку для x0
заполняем сверху вниз последовательностью: нуль, один, нуль, один
и др. до единицы в последней строке таблицы. Колонку для x1 заполняем последовательностью два нуля две единицы, колонку для x2 —
последовательностью четыре нуля, четыре единицы. Продолжаем эту
процедуру: частота смены нулей и единиц в каждой следующей колонке
вдвое меньше, чем в предыдущей. В самой левой колонке для x4 первые
16 строк будут заполнены нулями, а остальные 16 строк — единицами.
Именно по этому правилу заполняются таблицы истинности.
143
Глава 4. Основы «символической логики»
4.2. Аксиомы и теоремы «символической логики»
В «символической логике» («булевой алгебре») для любых высказываний A, B и C справедливы следующие аксиомы «алгебр логики»
(табл. 4.9): 1…5 и 1ʹ…5ʹ, а также и теоремы 6…12 и 6ʹ…11ʹ. Для дизъюнкции и конъюнкции в «булевой алгебре» действуют законы коммутативные 1, 1ʹ, ассоциативные 2, 2ʹ и дистрибутивные 3, 3ʹ. Коммутативность
операции позволяет располагать операнды в ней в произвольном порядке. Ассоциативность позволяет свести многоместную операцию к последовательности двуместных операций. Дистрибутивность позволяет
выносить за скобки однородные члены или задает правило раскрытия
скобок1.
Таблица 4.9
1 A B = B A 2 A B C = (A B) C
1
ʹ A B = B A 2ʹ A B C = (A B) C
3 A (B C) = (A B) (A C) 4 A 0 = A
3
ʹ A (B C) = (A B) (A C) 4ʹ A 1 = A
5 A A = 1 6 A 1 = 1
5
ʹ A A = 0 6ʹ A 0 = 0
7 A A = A 8 A (A B) = A
7
ʹ A A = A 8ʹ A (A B) = A
9 (A B) (A B) = A 10 (A B) = A B
9
ʹ (A B) (A B) = A 10ʹ (A B) = A B
0 = 1
11
11
ʹ
1 = 0
12 A = A
Как видно, приведенная «система аксиом» и «теорем алгебры логики» отвечает принципу двойственности.
1
Королев В. Т., Ловцов Д. А., Радионов В. В., Квачко В. Ю. Информатика и математика
для юристов: Учебник / Под ред. Д. А. Ловцова. М.: Высшая школа, 2008.
144
4.2. Аксиомы и теоремы «символической логики»
Таблицы, которые задают операции «алгебры логики», тоже по сути
своей аксиомы. Заменив в этих таблицах логические переменные произвольными высказываниями A и B, их можно свести в одну общую таблицу (табл. 4.10). Приоритеты этих операций убывают в таком порядке:
отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, равнозначность.
Таблица 4.10
A B A A B A B A → B (A = B)
0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
Известны формулы, которые позволяют представить импликацию
и равнозначность для высказываний A и B в терминах функционально
полной системы операций «алгебры логики»:
A → B = A B (4.1)
(A = B) = A B A B (4.2)
Каждая из теорем легко доказывается с помощью табл. 4.9 и табл. 4.10.
Так, утверждение 12, которое называется «законом двойного отрицания», доказывается непосредственной проверкой (табл. 4.11).
Таблица 4.11
A B = A C = B = A
0 1 0
1 0 1
Например, высказывание: «Неправда, что математика юристу
не нужна» не что иное, как двойное отрицание исходного утверждения
«Математика юристу нужна».
Утверждения 9 и 9' называются «законами склеивания». Докажем
второе из этих утверждений:
(A B) (A B) = <3> = A (B B) = <5ʹ> = A 0 = <4> = A.
Читателю предлагается самостоятельно доказать утверждения
10 и 10', которые называются «правилами де Моргана» (по имени
145
Глава 4. Основы «символической логики»
шотландского математика и логика Огастеса де Моргана (1806–1871),
первого президента Лондонского математического общества).
Пример (иллюстрирует одно из этих правил). Про кого-то говорят:
«Ни рыба, ни мясо!». Средствами логики эта фраза строится так: «(он
НЕ рыба) И (он НЕ мясо)». Легко видеть, что это правая часть тождества 10. Ту же мысль можно сформулировать иначе: «НЕПРАВДА, что (он
рыба ИЛИ он мясо)». А эта конструкция — суть левая часть тождества 10.
Приведенные тождества 1…11, 1'…11' и 12 можно использовать для
эквивалентных преобразований аналитических выражений и для доказательства любых других утверждений «алгебры логики». Однако в таблице (см. табл. 4.9) нет операций импликации и равнозначности. Потому
прежде чем воспользоваться этими тождествами, в исходном выражении
необходимо с помощью формул (4.1) и (4.2) выразить импликации и равнозначности в терминах функционально полной системы операций.
Пример. Жюри из трех человек A, B, C принимает решение большин-
ством голосов. При этом каждый член жюри может голосовать либо
«за», либо «против». Опишем средствами «алгебры логики» все возможные результаты голосования. Для этого каждому из членов жюри поставим в соответствие свою логическую переменную D (D = {A, B, C}), ко-
торая принимает значение 0, если он голосует «против», и значение 1,
когда он голосует «за». Логическая переменная R принимает значение
0, если решение не принимается, и значение 1, если оно принимается.
Составим «таблицу истинности» (табл. 4.12). Колонки для C, B и A
заполняем по описанному выше правилу. Как видно, R равно 1 тогда, когда хотя бы два из трех аргументов A, B и C равны 1 (хотя бы два
из трех членов жюри голосуют «за»).
Таблица 4.12
146
A B C R
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
4.2. Аксиомы и теоремы «символической логики»
По данным «таблицы истинности» можно построить аналитическое
выражение для R. Рассмотрим один из возможных способов получить
из «таблицы истинности» аналитическое выражение для R, а именно,
«построение формулы по единицам». Для этого выделим в табл. 4.11 те
строки, в которых R = 1, и составим для каждой из этих строк конъ
юнкцию всех аргументов. При этом переменная D (D = {A, B, C}) входит в такую конъюнкцию прямо, если в данной строке D = 1, если же
здесь D = 0, то она входит в конъюнкцию под знаком инверсии. Полученные конъюнкции объединим операцией дизъюнкции. В результате
получим аналитическое выражение для R:
R = ( A B C) (A B C) (A B C) (A B C).
Пользуясь эквивалентностями алгебры логики, это выражение можно упростить:
R = <7> = ( A B C) (A B C) (A B C) (A B C)
(A B C) (A B C) = <2, 9, 6> = (B C) (A C) (A B).
Приведенные ранее выражения для импликации и равнозначности
в терминах «булевой алгебры» были получены именно таким способом
(построены по единицам).
Пример. Юридическая интерпретация закона достаточного основания может быть такой: «если составлен перечень улик (A), достаточный
для заключения о виновности (B), и эти улики собраны (А), то обвиняемый виновен (В)». На языке алгебры высказываний этот закон можно
выразить такой равнозначностью:
-
(((A → B) A) → B) = 1.
Покажем, что общая схема рассуждений в формулировке закона верна (аргументация обвинения логически корректна). Сначала упростим
посылку второй импликации:
(A → B) A = <(4.1)> = ( A B) A = <3ʹ> =
= ( A A) (B A) = <5ʹ> = 0 B A = <4, 1> = A B.
Следовательно,
(((A → B) A) → B) = ((A B) → B) = <(4.1)> =
= ( (A B) B) = <10ʹ>= A B B = <5, 6> = 1.
Значит, логически формулировка закона достаточного основания верна.
Итак, символическая логика развивает культуру логичных рассуждений,
необходимую в любой области знаний (а в правоведении — особенно).
147
Глава 4. Основы «символической логики»
Однако нужно заметить, что применимость средств «алгебры логики» ограничена. Так, утверждения A B и B A в «алгебре логики» абсолютно оди-
наковы в силу аксиомы 1'. А вот фразы: «У Маруси родился ребенок (A),
и она вышла замуж (B)» и «Маруся вышла замуж (B), и у нее родился ребенок (A)» понимаются по-разному. Это обусловлено тем, что элементарные
высказывания в приведенных фразах следуют одно за другим во времени.
А в «алгебре высказываний» «время» не является аргументом — элементарные высказывания не распределяются во времени. Значит, стре
миться перевести рассуждения на язык «алгебры логики» и анализировать эти рассуждения ее средствами нужно, однако при этом следует
быть аккуратным. К тому же есть случаи, когда это и вовсе невозможно
сделать. Например, утверждение A A = 0 абсолютно верно. Но неподвластны этому закону строки из стихотворения средневековой французской поэтессы Л. Лабе (1522–1566):
«От счастья я в тоске смертельной плачу,
Легка мне жизнь, легка и тяжела».
Это значит, что отнюдь не всякую гармонию можно проверить алгеброй (пусть это даже и «алгебра логики»).
4.3. Логические операции «нечеткой логики»
-
Логика нечетких множеств (нечеткая логика) — раздел «символической логики», являющийся обобщением классической логики и теории
множеств, базирующийся на понятии «нечеткого множества» как объекта с функцией принадлежности элемента к множеству, принимающей
любые значения в интервале [0, 1], а не только 0 или 1. На основе этого
понятия вводятся различные логические операции над «нечеткими мно-
жествами» и формулируется понятие «лингвистической переменной»1,
в качестве значений которой выступают «нечеткие множества».
Предметом «нечеткой логики» является построение моделей прибли-
женных рассуждений человека, способного принимать практически
правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации,
и их применение в разных сферах науки, техники и производства2.
1
Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений. М.: Мир, 1976.
2
Ващекин А. Н. Применение математических методов теории нечетких множеств
при моделировании принятия решений в экономической и правовой сфере // Экономика. Статистика. Информатика. Вестник УМО МЭСИ. 2013. № 3. С. 18–21;
Круглов В. В., Дли М. И. Интеллектуальные информационные системы: компьютер
ная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002.
148
-
4.3. Логические операции «нечеткой логики»
«Нечеткая логика» — набор нестрогих правил, в которых для достижения поставленной цели могут использоваться радикальные идеи,
интуитивные догадки, а также опыт специалистов, накопленный в соответствующей области. «Нечеткой логике» свойственно отсутствие
строгих стандартов. Чаще всего она применяется в экспертных системах, нейронных сетях и системах искусственного интеллекта. Вместо
традиционных значений «Истина» и «Ложь» в «нечеткой логике» используется более широкий диапазон значений, среди которых «Истина», «Ложь», «Возможно», «Иногда», «Не помню» («Как бы Да», «Почему бы и Нет», «Еще не решил», «Не скажу…»). «Нечеткая логика» просто
незаменима в тех случаях, когда на поставленный вопрос нет четкого
ответа («да» или «нет»; «0» или «1») или наперед неизвестны все возможные ситуации. Например, в «нечеткой логике» высказывание вида
«X есть большое число» интерпретируется как имеющее неточное значение, характеризуемое некоторым нечетким множеством.
В настоящее время практическое применение «нечеткой логики»
можно обнаружить как в крупномасштабных системах оценки глобального загрязнения атмосферы и предвидения землетрясений, так
и в бытовой технике (микрочипах): в стиральных машинах, видеокамерах, персональных компьютерах, моторных отсеках автомобилей и др.
На Западе «нечеткая логика» широко применяется при анализе новых
рынков, биржевой игре, оценке политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и др.
В области «нечеткой логики» можно также выделить два основных
направления научных исследований:
•
«нечеткая логика» в широком смысле — теория приближенных
вычислений;
•
«нечеткая логика» в узком смысле — символическая нечеткая
логика.
4.3.1. Определение «нечеткого множества»
Обычное (четкое) подмножество A U универсального множест
ва U, элементы x U которого удовлетворяют некоторому свойству С,
определяется как множество упорядоченной пары A = {μA(х)/х}, где
μA(х) — характеристическая функция, принимающая значение 1, когда
x удовлетворяет свойству С, и 0 — в противном случае. Нечеткое подмножество N U отличается от обычного подмножества A тем, что для
x U нет однозначного ответа относительно свойства С.
149
-
Глава 4. Основы «символической логики»
В связи с этим нечеткое подмножество» N U универсального множе-
ства U определяется как множество упорядоченной пары N = {μN(х)/х},
где μN(х) — характеристическая функция принадлежности, принимающая значение в некотором упорядоченном множестве M = [0;1] принадлежностей. Если M = {0, 1}, т. е. включает только два элемента, тогда
нечеткое подмножество N может рассматриваться как обычное (четкое)
множество. Функция μN(х) принадлежности указывает степень принадлежности элемента x к подмножеству N.
Пример. Построим нечеткое множество N — «молодые люди». Нижнюю границу возраста определить не трудно (задав, например, 0 лет),
но верхнюю границу определить непросто. Поэтому сначала можно
установить верхнюю границу в 20 лет. Таким образом, имеем множество
N как четко ограниченный интервал лет: N = [0; 20]. Возникает вопрос:
почему человек в свой 20-летний (25-летний и др.) день рождения еще
молодой, а на следующий день уже нет?
Более естественный путь построения множества N состоит в ослаблении строгого деления на молодых и не молодых. Сделаем это, вынося не только четкие суждения: «Да, он принадлежит множеству молодых людей» или «Нет, он не принадлежит множеству молодых людей»,
но и гибкие формулировки: «Да, он принадлежит к довольно молодым
людям», «Нет, он не очень молодой».
Рассмотрим, как с помощью нечеткого множества определить выражение «он еще молодой».
Пусть:
1. M = [0;1], т. е. характеристическая функция принадлежности
0 μN(х) 1. Тогда число 1 соответствует элементу, принадлежащему
множеству N; число 0 означает, что элемент точно не принадлежит
множеству N; все другие значения определяют степень принадлежности к множеству N.
2. U = {x1= 0; x2 = 20; x3 = 25; x4 = 30; x5 = 35; x6 = 50}, где приведены
значения возрастов T в годах.
3. N — нечеткое множество «молодые люди», для которого экспертным путем заданы следующие значения функции принадлежности:
μN(х1) = 1; μN(х2) = 1; μN(х3) = 0,5; μN(х4) = 0,2; μN(х5) = 0,1; μN(х6) = 0
(рис. 4.1).
Тогда нечеткое множество N можно представить в виде:
N = {1/0; 1/20; 0,5/25; 0,2/30; 0,1/35; 0/50}.
Отсюда, человек в возрасте 25 лет принадлежит множеству «моло-
дые люди» со степенью принадлежности 0,5.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]