Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Физические основы механики. Учебное пособие
.pdf
чающегося в результате сопоставления соответствующих
Ur
() ()
Ur
()
r
Ft
()
v = const
aF
==
∑
00,.
a = const
Fma=
∑
ve
=−
2.3. Примеры решения задач
На рисунке приведена зависимость скорости движущегося тела от вре-
Ft.
Решение
На участке АВ
constv
, следователь-
но,
0, т.е. 0.
i
aF
На участке ВС ско-
рость изменяется линейно с течением вре-
мени, т.е. тело движется равноускоренно,
значит
consta
, следовательно, на тело
действует некоторая постоянная сила
F ma
. На участке СD движение равно-
мерное, т.е. 0
i
F
.
t
v
D
t
функций (например,
Fv v
()
5. Задачи, в которых требуется определить условия рав-
dx
=è ).
dt
новесия (неравновесия) и устойчивости (неустойчивости)
движения тел в заданном поле сил. Их решение сводится
к нахождению функций
Fr
, (где
– потенциальная энергия тела в заданном поле) и их последующему дифференцированию по
.
6. Задачи, в которых рассматривается движение тела
или взаимодействующих тел под действием нескольких сил.
Наиболее просто, на наш взгляд, они решаются с помощью
алгоритмического предписания, приведённого на рис. 2.2.
2.3. Примеры решения задач
Задача 1
На рисунке приведена зависимость скорости движуще-
гося тела от времени. Постройте график зависимости
Решение
.
На участке АВ
но,
ò.å.
На участке ВС ско-
i
, следователь-
рость изменяется линейно с течением времени, т. е. тело движется равноускоренно,
значит
, следовательно, на тело
действует некоторая постоянная сила
. На участке СD движение равно-
мерное, т. е.
Определить силу сопротивления воды движению лодки
массой т, если её движение происходит согласно уравнению
Fi=
0 .
Задача 2 (задача первого типа)
k
t
−
x
m
0
k
m
1 ,
41
A
B
F
где
v
mg
R
−−
00
m
=−
Fk
=
– начальная скорость движения; k – постоянный ко-
0
эффициент. Сила сопротивления движению является функцией только скорости лодки.
Решение
Сделаем схематический рисунок. Выберем инерциаль-
ную систему отсчёта, связанную с берегом. Ось ОХ направ-
лена вдоль поверхности воды по движению лодки. Лодка взаимодействует
с Землёй и с водой. В результате возникают силы взаимодействия:
тяжести;
F
– сила сопротивления воды дви-
ñîïð.
– сила реакции воды;
– сила
жению лодки, направленная в сторону, противоположную
её движению.
Проекция скорости лодки на ось ОХ:
vx
==−
x
k
m
k
−
k
m
t
m
ve ve
k
t
m
=
.
Проекция ускорения лодки на ось ОХ:
k
−
ax
==−
x
k
ve
0
t
m
.
Дифференциальное уравнение движения лодки:
mx F
ñîïð.
.
Находим силу сопротивления:
k
t
−
m
.
0
v
. Итак,
xñîïð.
F
ñîïð.
Заменив vve
=
0
x
Fkve
ñîïð.
k
−
t
m
, получаем
=
ляется линейной функцией скорости. Этот закон справедлив
при малых скоростях.
42
яв-
Задача 3 (задача второго типа)
Fkt=−
v
vvxt= = =
00,ïðè
vt= 0
tt=
mg
R
Fk
()
()
;;
Двигатель тормозной системы развивает силу тяги, про-
порциональную времени:
, где k – постоянный коэффициент. Пренебрегая трением, определить, через сколько
времени от момента включения тормозного двигателя тело
массой т, на котором установлен такой двигатель, остановится. В момент включения двигателя скорость тела составляла
. Считать, что масса двигателя много меньше массы тела.
0
Решение
Сделаем схематический рисунок.
В задаче рассматриваем движение одного тела массой
т, которое можно принять за материальную точку. Начальные условия:
0
. Траектория движения – прямая. Конечная скорость тела равна нулю:
при
. За инерциальную систему отсчёта примем Зем-
1
лю. Данное тело взаимодействует с Землёй (возникает сила
тяжести –
; сила реакции опоры –
; эти силы взаимно
уравновешивают друг друга) и в результате действия тормозного двигателя возникает сила тяги
ti=− .
Запишем дифференциальное уравнение для скорости
(как функции от времени t):
Разделяя переменные, интегрируя и учитывая началь-
ные условия, находим закон изменения скорости:
md vt ktdt mdvt ktdt vv
()
=−
m
vt
v
dv t
dt
0
.
=−
kt
t
=− =−
()
43
∫∫
0
t
2
kt
0
.
2
m
Так как конечная скорость vt равна нулю, получаем
2
m
x
m
()
2
m
6
mm
12
12= =êã,êã
a
FF
íí
12
уравнение для определения времени движения t1:
2
kt
0
=−v
1
0
.
Отсюда находим формулу для вычисления искомого
времени:
mv
2
t
=
1
0
.
k
Если усложнить задачу и поставить вопрос определения
тормозного пути
, то необходимо знать закон движения.
1
Для этого проинтегрируем закон изменения скорости:
2
vv
kt
0
dx vtdt xt vtdt=− =
; ,
() ()=()
∫
получим
3
xvt
=−
kt
0
.
Подставляя в закон движения значение времени тормо-
жения t1, находим тормозной путь:
К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикреплённые к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири
жения каждого из шнуров
нием пренебречь.
mv
2
2
xv
=
10
3
0
.
k
Задача 4 (задача шестого типа)
На горизонтальном столе лежит брусок
. Найти ускорение бруска
è
. Массой блоков и тре-
44
и силы натя-
m=4êã
.
Дано:
m
=+
−= −
mg
R
FF
íí
12
++
íí
12
FF=−
íí
21
m1 = 1 кг
m2 = 2 кг
mбр = 4 кг
а – ? Fн1 – ?
Fн2 – ?
Решение
В задаче движутся три тела. Будем считать их материальными точками, а шнуры – невесомыми и нерастяжимыми. Нерастяжимость шнуров приводит к тому, что ускорения всех тел одинаковы.
Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную
с Землёй; оси координат ОХ и ОY направим так, как показано на рисунке.
Рассмотрим тело
сила тяжести mg
(в результате взаимодействия тела m1 с Зем-
1
лёй), сила натяжения нити
. На него действуют следующие силы:
1
F
(в результате взаимодействия
í
1
тела и нити). Запишем уравнение движения этого тела:
ma mg F
сила тяжести
лёй), сила реакции опоры
со столом), силы натяжения
ствия тела с нитями). Запишем уравнение движения тела т:
ma mg RF F
ma
11
. (2.6)
í
1
Спроецируем эти силы на ось ОY:
ma mg F
111í
. (2.6’)
Рассмотрим тело т. На него действуют следующие силы:
(в результате взаимодействия тела т с Зем-
(в результате взаимодействия тела
è
(в результате взаимодей-
=+
. (2.7)
Спроецируем эти силы на ось ОХ:
. (2.7’)
45
Рассмотрим тело
m
mg
m
=+
ma mg F
=−
11
22
=+
=−−−
µ
=
силы: сила тяжести
с Землёй), сила натяжения нити
2
. На него действуют следующие
2
(в результате взаимодействия тела
2
F
(в результате взаимо-
í
2
действия тела m2 и нити). Запишем уравнение движения
тела m2:
ma mg F
Спроецируем эти силы на ось OY:
Решая совместно (2.6) – (2.8), получим
ma mg ma mg ma
a
Fmg
+
F
Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по закону
стоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки.
22
22
Fmgma
í
1
Fmgma
í
2
2211
mmg
−
()
21
=
mm m
++
=+
í
1
1
mm gmg
−
12 1
mmm
++
12
mg mm
21
=
í
2
mmm
12
;
12
mg mm
()
121
+
mm
112
2
mg mm
12
=
mmmm
2
+
()
++
. (2.8)
í
2
. (2.8’)
í
2
=−;;
;
−
+
()
12
mmgmgmmg
11212
=
m
+
++
2
mm m
;
++
++
23
.
Задача 5
Решение
+
kx
, где k – по-
В этой задаче рассматривается движение под действием
переменной результирующей силы.
46
На брусок действуют следующие
R
RF
FN
=
µ
=−
α
=− +
α
()
nc
αα
xd
()
αα
силы: сила тяжести
mg
(результат взаимодействия бруска с Землёй), сила
реакции опоры
и сила трения
F
òð.
(результат взаимодействия бруска с наклонной плоскостью).
ИСО связываем с Землёй.
Запишем уравнение движения этого тела в векторной
форме:
ma mg
где
òð.
, N – сила нормального давления.
=++
, (2.9)
òð.
Выберем оси ОХ и OY, как показано на рисунке. Спроецируем на них силы и запишем второй закон Ньютона в виде
двух уравнений в проекциях:
на ось Х:
ma mg F
sin
; (2.10)
òð.
на ось Y:
0
mg Rcos
. (2.11)
Решив данную систему, получим
ag kx=−
si
os
, (2.12)
т.е. ускорение оказывается зависимым от координаты х.
Чтобы найти путь, пройденный до остановки, воспользуемся кинематическими соотношениями:
a
dvdtdvdxdx
==⋅=
dt
dv
. (2.13)
v
dx
После подстановки выражения (2.13) в уравнение (2.12)
получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:
dv
v
dx
αα
gkxvdv gk
()
=−
47
⋅sincos ;sin cos
x=−
. (2.14)
Интегрируя (2.14), получаем
()
;.
m
m
v
=
0
v
=
=⋅−
0
xx
=
îñòîñò
vdvg kx dx
=−
gxk
sinc
α
sincos ;
∫∫
x
=
00
00
αα
îñò
oos
2
x
îñò
α
x
îñò
2
tg
2
α
g
=
k
Данную задачу можно решить, используя закон сохранения энергии, так как при известной зависимости силы
трения от расстояния вычисление работы не вызывает затруднений.
Задача 6
На горизонтальной поверхности находится клин массой
с углом α. На грань клина кладут брусок массой
2
. Най-
1
ти ускорение клина и силы N21 и N2, с которыми брусок
давит на клин и клин давит на плоскость. Все поверхности
соприкасающихся тел считать гладкими.
Решение
Первый способ. ИСО свяжем с Землёй. Ускорение бру-
ска относительно Земли обозначим через
на –
a
.
2
48
a
, ускорение кли-
1
На брусок действуют следующие силы: сила притяже-
=+
mg
NR
2212
==,.
22
=′+
=′+
gR
()
=+
()
αα
21
−=−
αα
ния – mg
, сила реакции опоры (клина) –
1
R
. Запишем урав-
12
нение движения бруска в векторной форме:
ma mg R
1112
. (2.15)
На клин действуют следующие силы: сила тяжести –
, сила давления бруска –
2
(плоскости) –
R
. Уравнение движения клина в векторной
2
N
, сила реакции опоры
21
форме:
ma mg
По третьему закону Ньютона:
Выберем оси координат OX èOYOXèOY
=++ . (2.16)
22
RNRNR
=−
12 21 12 21
11
, так, как
показано на рисунке.
Уравнение кинематической связи:
rrr
112
.
Продифференцировав по времени, получим
aaa
112
. (2.17)
Векторное уравнение движения для бруска с учётом ки-
нематической связи
ma am
Уравнения движения в проекциях на оси координат:
для бруска
xmaa mg
ymaRmg
′
+
11 2112
′
:cos sin
1112 1
11
−
=⋅
:sin cos
49
. (2.18)
, (2.19)
; (2.20)
для клина
:s
=
α
:c
=− +−
α
()
12
a
11
Fm
12
RF
xmaR
ymgR R
222
0
222
in
, (2.21)
os
. (2.22)
Решив систему уравнений (2.20) и (2.21), находим
mg
sin
2
α
a
=
2
1
mm
2
()
sin
+
21
NmgR
22
;
2
α
=+
R
cos
=
1
α
mg
1
+
==
cos
α
m
2
1
sin
m
2
gm m
+
m
1
+
1sin
m
2
;
α
.
2
α
Второй способ (решение задачи с применением неинерциальной системы отсчёта).
Пусть
– ускорение бруска в системе отсчёта, связан-
1
ной с клином. Эта система отсчёта является неинерциальной, так как клин движется относительно Земли (ИСО)
с ускорением
a
2
сила инерции:
Запишем уравнение движения бруска в системе отсчёта,
связанной с клином, в векторной форме:
ma mg
. На брусок кроме сил mg R
a
=−
in
=++ . (2.24)
. (2.23)
in11 112
è действует
50
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]