Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Физические основы механики. Учебное пособие
.pdf
3. Задачи, в которых по известной зависимости двух или
() () ()
() ()
() () ()
εϕ
()
rrrt t=′+=
′
,
vvv=′+
нескольких величин, указанных на рис. 1.1, от времени (например, xt vt at
этими величинами, т. е. vx av
,, ) требуется установить связь между
, и т. д. Такие задачи реша-
ются исключением времени из соответствующих соотношений. Частным случаем задач такого типа являются задачи на
нахождение траектории.
4. Задачи, в которых даётся связь между кинематиче-
скими характеристиками, например, vx ax
,,
и т. д.,
а требуется установить зависимость этих характеристик от
времени, т. е. эти задачи являются обратными по отношению к задачам предыдущего типа.
Они решаются путём решения дифференциального
уравнения, получающегося в результате сопоставления соответствующих зависимостей (например, vx vdxdt
=è ).
5. Задачи, в которых исследуется относительное движение двух или несколько материальных точек. Они решаются
с помощью преобразований Галилея:
0
и вытекающей из них теоремы о сложении скоростей в классической механике:
.
0
6. Задачи на исследование сложного движения материальной точки. Они решаются путём применения принципа
независимости (суперпозиции) движений.
Общим методом решения задач кинематики материальной точки является алгоритмический, в котором поиск
решения осуществляется путём выполнения определённой
последовательности операций. Часть из них, касающуюся
алгоритмов преобразования кинематических уравнений, мы
уже рассмотрели при описании классификации задач.
Теперь приведём перечень этих операций.
1. Установите, можно ли в условиях данной задачи заменить рассматриваемый физический объект (объекты) материальной точкой.
21
2. Установите характер движения (равномерное прямо-
jk
r∆
линейное, равнопеременное криволинейное и т. д.).
3. Сделайте рисунок. Укажите на нём рассматриваемые
состояния, а также известные кинематические характеристики и те, которые требуется найти.
4. Выберите систему отсчёта и способ описания движения: векторный, координатный, «естественный».
5. Установите тип решаемой задачи и, используя вышеприведённые указания к решению задач данного типа, запишите кинематические уравнения для рассматриваемых
в условиях задачи состояний.
6. Подсчитайте число полученных уравнений и число
неизвестных. Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных.
7. Проведите анализ решения задачи.
Ясно, что при решении конкретных задач число указанных операций может быть и меньшим. Действительно,
в условии задачи характеристики, определяемые в 1–4-й
операциях, могут быть просто заданными, что, естественно,
исключает их выполнение.
Применение рассмотренного метода к решению конкретных задач демонстрируется нами в п. 1.4. Примеры решения задач, где все задачи решены с его помощью.
Просматривая решения, обратите внимание на то, что не
все операции полного алгоритма в силу указанных обстоятельств нашли в них своё отражение.
rtit
=++3410
СИ. Найти путь s, пройденный частицей за первые 5 секунд
движения, и модуль вектора перемещения
мя. Объяснить полученные результаты.
1.4. Примеры решения задач
Задача 9
Радиус-вектор частицы задаётся выражением
22
, где
r и t заданы в единицах системы
за то же вре-
22
Дано:
t
jk
=
5
c
sr−−?
sv
vvv
222
it
68
tt= =05èc
jk
22
rtit
=++
3410
?∆
Решение
1. Чтобы найти путь, выберем «естественный» способ
описания движения, при котором (см. табл. 1) v
t
dt
=
, (1.3)
∫
0
ds
=
dt
где v – модуль вектора мгновенной скорости.
Отметим, что (1.3) соответствует по нашей классифика-
ции решению задачи второго типа:
v
Компоненты vvv
=++
xyz
,, можно определить, если найти
xyz
. (1.4)
вектор мгновенной скорости:
v
drdtdx
dt
dy
i
dt
dz
j
kt
dt
j== ++=+
. (1.5)
Данная формула (1.5) соответствует решению задачи
первого типа. Подставляя (1.5) в (1.4), получим
vt t=+=68 10
22
. (1.6)
, откуда
С учётом (1.6) найдём путь за первые 5 с:
После подстановки
уравнение радиуса-вектора получим
5
stdt t===
10 5125
∫
0
∆= −
rr r
rk
10
=
1
ri
75 10010
=+ +
2
23
205
=
tt251
ì,
=
0.
в заданное в условии
. (1.7)
С учётом (1.7)
sr
à
2
=+
vv
a
−
a
a
()
2
tx= =00
a
va
2
,.
∆∆∆∆
rrrr
=
2
+
()
xyz
2
+
()
2
=
()
()+()+()
222
75 1000125ì .
=
Анализ результатов. Итак, в ходе решения получено
=∆
. Это означает, что частица движется прямолинейно
в одном направлении.
Задача 10
Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением
. Как меняется скорость тела в зависимости от коорди-
наты? Перед вами задача третьего типа.
Решение
Запишем зависимости координаты и скорости тела от
времени (см. табл. 1.2):
2
xx vt
=++
00
at
, (1.8)
vv at
вив в (1.8), получим:
xx
в начальный момент, т. е. при
зуется к виду:
. (1.9)
0
Исключим время: из (1.9) находим t
vv
v
0
=+ −
0
vv
()
0
−
+
=
2
0
0
и, подста-
. (1.10)
Если начало координат совместить с положением тела
, , то (1.10) преобра-
0
2
v
x
откуда
24
x= =
2
Задача 11
ωω ϕ
=−0A
ω
ω
00>>
t = 0
ϕ
= 0
()
ϕ
()
ωω ϕ
=−⋅0A
ωϕ
ω
ω
ω
ω
tA
ωω
ϕ
ω
=−
AA
Камень, привязанный на верёвке, вращается замедленно
по окружности так, что его угловая скорость зависит от угла
поворота φ по закону
ме единиц СИ, причём
угол
ω
t
. Найти зависимости от времени угловой скорости
и угла поворота
0
t
.
, где А и
, A . В момент времени
заданы в систе-
0
Решение
1. Взяв производную по времени от левой и правой ча-
стей выражения
, (1.11)
получим
=− . (1.12)
По определению
d
ϕ
= . (1.13)
dt
Подставив (1.13) в (1.12), будем иметь
d
=− . (1.14)
dt
A
Разделим в (1.14) переменные и проинтегрируем в пределах от
до ω и от 0 до t:
0
ω
d
∫∫
ω
ω
0
t
ω
AdtA
=− =− =−;ln;ln
0
ω
ω
ω
0
ω
ω
t
,
0
откуда
−
=⋅
At
e
. (1.15)
0
2. Из (1.11) имеем:
ω
25
0
. (1.16)
Подставляя (1.16) в (1.15), получим
ωω ω
=−
()
−−
AAeA
vv
12
è
+−
()
AC BC a= =
()
22
00 0
ϕ
=−
At At
1
e
.
Задача 12 (задача пятого типа)
Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми ,
одновременно начинают двигаться два корабля со скоростя-
ми
с отрезком АВ одинаковые углы
. Векторы скоростей образуют
α
= 45
.
Считая движение кораблей равномерным, определить наименьшее расстояние
между ними.
Решение
Рассмотрим два способа решения задачи, отличающих-
ся выбором системы отсчёта.
Первый способ.
Рассматриваем движение кораблей в системе отсчёта,
связанной с Землёй. Скорости кораблей заданы в этой системе отсчёта. Сначала расстояние между кораблями будет
уменьшаться, затем (если они не столкнутся) – увеличиваться. Чтобы найти наименьшее расстояние s
, примем общий
min
метод исследования функции на экстремум (см. приложение).
Для этого рассмотрим положение кораблей спустя произвольный промежуток времени t после начала движения и най-
дём расстояние между ними как функцию времени. Из рисунка следует (так как треугольник прямоугольный):
sKCCLACvtBCvt=
22
()+()
Обозначив
saav vt vvt=− +
2
22
=−
()
2
1
, получим
()
12 122
++
26
2
.
2
. (1.17)
Для нахождения
s
()
()
()
()
vv
()
12
t
vv
()
21
vv
12
=
=
vv
12
00= =
sa
=
ss=
=−
21
ϕ
продифференцируем st
min
(1.17) по
времени и приравняем производную по t к нулю:
ds
dt
=
2
−+
aavvtvvt
22 2
av vtvv
22
−+
++
12 122
()
12 122
2
++
22
=
.
0
Отсюда найдём время, соответствующее наименьшему
расстоянию
av v
t
min
=
+
+
122
. (1.18)
2
Подставив это значение
(1.18) в (1.17), получим
min
ответ:
av v
−
=
21
vv
+
122
s
min
vv
2
−
+
122
, (1.19)
2
=
2
так как
a =
.
2
Анализ решения
1. Из (1.19) следует, что: а) если
корабли встретятся в точке С; б) если
min
, т. е.
, когда движущийся корабль окажется
min
, то s
min
èëè , то
0 , т. е.
в точке С.
2. Свяжем инерциальную систему отсчёта не с Землёй, а с первым кораблём. В этой системе отсчёта первый
корабль будет неподвижным. Второй корабль относительно этой системы отсчёта движется с относительной скоростью
vv v
, и траектория его является прямой линией ВМ. Минимальное расстояние между кораблями
есть длина перпендикуляра АМ, опущенного из точки
А на прямую ВМ:
AM = sin
, где φ – угол между направ-
27
лением ВА и вектором
v
sin
ϕ
v
ϕβα
=−
21
ns
βα
=
=+
()
vv
vv
()
21
v
tt=
′
на ось OY:
. Чтобы найти
, спроецируем
vv vsinsin sin
Так как vvv
122
sin
. В нашем случае si
2
, то
ϕ
vv
=
sin
−
21
+
vv
122
in
.
45
.
2
Следовательно, окончательно
2
vv
−
()
21
2
+
vv
122
=
2
⋅−
2
122
2
+
sAM
==
min
совпадает с выражением (1.19).
Задача 13 (задача шестого типа)
Тело брошено под углом α к горизонту с начальной
скоростью
. Определить: 1) уравнение траектории дви-
0
жения тела; 2) время подъёма и общее время движения;
3) максимальную высоту подъёма; 4) дальность полёта;
5) нормальное и тангенциальное ускорения тела и радиус
кривизны в момент времени
.
Дано:
ν0, α, t′
Найти:
1) y = f(x); 3) y
2) t; 4) x
; 5) an, aτ;
max
; 6) R.
max
Решение
Полагая, что радиус кривизны много больше размеров
тела, примем тело за материальную точку. Так как при движении тела его ускорение направлено вертикально вниз, то
28
все точки траектории должны лежать в одной плоскости,
== ⋅
=−
α
22
sc
и значит, для описания движения достаточно двух осей координат.
Выберем прямоугольную систему координат с началом
в точке бросания и свяжем её с Землёй. Ось ОХ направим
горизонтально, ось OY – вертикально вверх.
Запишем в общем виде кинематические уравнения для
движения с постоянным ускорением (см. табл. 2):
2
rrvt
=+ +
00
vv at
=+
0
ag
==
const
at
2
, (1.20)
и спроектируем их на оси координат:
xvtv t
OX
vv v
==
xOX
a
=
0
x
yv t
=⋅−
0
vv g
0
y
=−
ag
y
sin
sin
cos
0
cos
α
0
2
gt
α
α
2
tt
Из (1.21) – (1.26) видно, что исследуемое движение может быть представлено как совокупность двух независимых
движений: прямолинейного равномерного вдоль оси ОХ
и прямолинейного равнопеременного вдоль оси OY.
1. Уравнение траектории получим, исключив время из
уравнений (1.21) и (1.24). Для этого выразим время из (1.21):
t
x
=
v
0
и подставим этот результат в (1.24):
cos
α
vx
sin
0
y
v
cos
0
⋅
α
−=−
α
2
gx
22
v
co
0
x
α
tg , (1.27)
α
g
22
v
os
0
α
29
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
2
x=
т.е. траектория движения представляет собой параболу.
=
t
v
sin
α
tt
=
α
22
ns
00
αα
′
t
′
t
v
′
t
vv
xy
ag=
τ
()
()
=
n,
α
()
ss
αα
2. Учитывая, что в верхней точке траектории v
(1.25) найдём время подъёма
0
=− =vgtt
α
sin,
0
ïîä. ïîä.
:
ïîä.
откуда
0
g
y
. (1.28)
0 , из
ïîä. спуска
tt
, следовательно:
==2
îáù. ïîä.
v
2
sin
0
. (1.29)
g
3. Максимальную высоту подъёма найдём, подставив
(1.28) в (1.24):
22022
v
sinsin sin
y
0
=− =
max
g
gv
ααα
2
g
2
v
0
g
2
.
4. Подставив 1.29) в (1.21), найдём дальность полёта:
2
v
2
in
.
g
xv
max
cos
=⋅ =
α
0
v
si
2
g
5. Для определения кинематических характеристик в мо-
мент времени
необходимо сначала выяснить, где будет на-
ходиться тело в этот момент – на спуске или на подъёме.
Пусть сравнение
и t
показало, что тело находится
ïîä.
на спуске.
Покажем на рисунке вектор скорости
ни
и его проекции
ускорения
ной
a
и нормали
τ
и его проекции на направления касатель-
è . Изобразим вектор полного
na
.
n
в момент време-
vvvv gt v
22022
=+=+−
xy
co
30
vv
−= −
cos,
x
0
vv gt
si
y
α
0
in
0
(1.30)
2
. (1.31)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]