Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Физические основы механики. Учебное пособие
.pdf
1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
()
()
()
,,
( )
()
r
r
xyz,,
v
a
τ
1.1. Основные соотношения
Если размерами физического объекта в условиях данной задачи можно пренебречь, то он может рассматриваться
как материальная точка, т. е. как объект, имеющий массу,
но не имеющий протяжённости.
В кинематике материальной точки изучаются способы
описания её движений, независимо от причин, обусловливающих эти движения.
Описать движение – значит указать положение материальной точки в любой момент времени. Естественно, для
того чтобы решить эту задачу, нужно сначала выбрать систему отсчёта. В выбранной системе отсчёта положение материальной точки может быть задано тремя способами: векторным, координатным и «естественным». В соответствии
со способами задания положения возможны три способа
описания движения материальной точки: векторный, когда
задана зависимость радиуса-вектора от времени
координатный, когда заданы зависимости xxtyyt=
, и «естественный», когда задана зависимость пути
=z zt
от времени sst=
и известно уравнение траектории.
rrt=
=
В каждом способе движение характеризуется с помощью кинематических параметров. К ним относятся радиус-вектор
путь s, средняя
и мгновенное
, вектор перемещения Δ
v и мгновенная
ускорения.
, координаты
скорости, среднее
a
Здесь мы не будем рассматривать, как вводятся эти параметры (об этом следует прочесть в конспекте или учебнике)
и ограничимся лишь тем, что приведём соотношения между
ними при трёх способах описания движения (табл. 1.1).
В табл. 1
циальное ускорения;
a
и
a
– соответственно нормальное и танген-
n
τ
– единичный вектор, направленный
по касательной к траектории.
,
,
11
Таблица 1.1
Кинематические
характеристики
Способы описания движения
векторный координатный естественный
Радиус-вектор,
вектор
перемещения,
координаты,
путь
, , , ,,r r x yzs
r rt
x
xt
y yt
z zt
s st
Средняя
скорость
r
v
t
x
y
z
x
v
t
y
v
t
z
v
t
s
v
t
Мгновенная
скорость
ds
v
dt
x
y
z
dx
v
dt
dy
v
dt
dz
v
dt
ds
v
dt
Среднее
ускорение
v
a
t
x
x
y
y
z
z
v
a
t
v
a
t
v
a
t
v
a
t
Мгновенное
ускорение
dv
a
dt
2
2
d s dv
a
dt
dt
1
r
r
2
r
y
x
z
z
y
s
r t xti yt j zt k
222
r x yz
r t r st
y
x
x
v
v
y
v
222
xi yj
zk
xyz
vv v v
v vvv
drdrds
vv
dt ds dt
dr
ds
v
222
xyz
xyz
a ai a j ak
a aaa
a
n
a
a
22
n
n
d v dv d
a v aa
dt dt dt
a aa
12
В табл. 1.2 приведены соотношения, описывающие рав-
ϕ
dt
ω
dt
v
ω
a
ε
v = const
vt
vt
=+
00
00
=
ω
=
0
a = const
a
=
const
ε
= const
ϕϕ
ωω
ε
=
const
номерное и равнопеременное движения. В них индексы
с нулём обозначают начальные значения соответствующих
величин: ϕ – угол поворота;
d
ε
=
– угловое ускорение; R – радиус окружности.
d
ω
=
– угловая скорость;
Просматривая табл. 2, обратите внимание на аналогию
уравнений прямолинейного и вращательного движений.
Последние могут быть получены из первых путём одновременной замены s на φ,
Характер
движения
Равномерное Прямая
Равнопеременное
Траектория
Окружность
Прямая
на
,
на
Отличительная
черта движения
v
const
=
const
rR
==
const
.
Кинематические
уравнения
rr
ss
=+
v
=
const
a
=
0
a
τ
aa
==
ϕϕ ω
=+
0
ω
const
=
ε
0
=
=+ +
rrvt
00
=+ +
ss vt
00
=+
vvtat
0
Таблица 1.2
2
v
n
R
t
2
at
2
2
at
2
Окружность
13
=+ +
00
=+
0
2
ε
ω
t
t
2
ε
t
Связь между линейными и угловыми величинами опре-
=×
[]
=×
[]
+×
[]
ωεω
R
деляется уравнениями:
vrar v
, , (1.1)
которые для случая движения по окружности преобразуются к виду
vRaRa
===
ωε
,,
τ
2
v
. (1.2)
n
Вот, собственно, и все соотношения, необходимые при
решении задач, соответствующих учебной программе. Для
наглядности связи между различными кинематическими
параметрами изобразим в виде блок-схемы (рис. 1.1).
r
v
a
a
Рис. 1.1. Структурно-логическая схема «Кинематики»
n
a
φ
1.2. Задачи для отработки кинематических понятий
в то или иное понятие или соотношение? Ниже мы предлагаем ряд качественных задач, с помощью которых вы можете проверить и углубить свои знания. Часть из них имеют
подробные решения, другие предназначены для самостоятельного решения. Попытайтесь сначала все задачи решить
самостоятельно. В случае неудачи при решении восьми первых задач не спешите прочесть всё решение. Иногда достаточно прочесть несколько строчек объяснения, т. е. получить
Хорошо ли вы понимаете, какой смысл вкладывается
14
небольшую подсказку, чтобы затем самостоятельно довести
rR
sR
2
ππ
tt
12
= =
èc
=−
v
=−,104
tt
12
è
xx12
82
()
()
ìñ
решение до конца.
Задача 1
Определить угол и перемещение материальной точки,
движущейся по заданной траектории из точки А в точку В.
Решение
Вектор перемещения направлен из начальной
точки в конечную и, следовательно, ∆
= 2 .
Путь определяется отрезком траектории между
точками А и В:
1
∆
2
()
R=
=
.
Задача 2
Определить направление движения материальной точки
05 3
через время
,c
после начала движения, если
её движение вдоль оси ОХ описывается уравнением
xtt
10 2
2
.
Решение
Направление движения в конкретный момент времени
определяется направлением вектора мгновенной скорости
и направлением бесконечно малого перемещения dr.
Если проекция вектора скорости на выбранное направление
положительная, то точка движется в этом направлении, если
отрицательная – в противоположном.
Используем координатный способ описания движения:
v
Подставляем в полученную формулу значения
и находим vt vt
dx
=
xx
=
vt t
dt
()
; . Следовательно,
=−ìñ
15
.
в момент времени
t
ds
точка движется в положительном на-
1
правлении оси ОХ, а в момент времени t2 – в противоположном.
Задача 3
Зависимость пройденного пути от времени для двух движущихся прямолинейно
точек представлена кривыми 1 и 2. Какая
кривая соответствует движению с возрастаю-
щей, а какая с убывающей скоростью?
Решение
2
Ускорение при прямолинейном движении a
=
. Для
2
dt
кривой, направленной выпуклостью вниз, вторая производная положительная, а для кривой, направленной выпуклостью вверх, – отрицательная (см. приложение).
Поэтому кривая 1 соответствует замедленному движе-
нию, а кривая 2 – ускоренному.
Задача 4
На рисунке изображены графики двух прямолинейных
движений I и II. Сравнить в I и II: а) ускорения; б) пути,
пройденные за время τ.
Решение
В этой задаче необходимо уточнить геометрическую интерпретацию пути и ускорения на графике скорости. Вспомним связь между скоростью и искомыми величинами.
16
1. Для прямолинейного движения ускорение
aa
II
=
IO
()
()
=+
t = 0
t =
τ
sv
τ
()
ss
II
>
∆sR=
π
==
aa
==
dv
dt
.
τ
Учитывая геометрический смысл производной как тан-
генса угла наклона касательной, получим
.
I
2. По определению скорости в естественном способе
описания движения v
ds
. Движения I и II – равноускорен-
=
dt
ные и отличаются только начальными скоростями:
vt vatv tv at
=+
IOII
, .
II
Отсюда следует, что ds vdt=. Интегрируя от
до
, получаем
dt=
.
∫
0
Геометрический смысл определённого интеграла – площадь между кривой vt
тельно:
Итак:
.
I
и осью абсцисс от 0 до τ. Следова-
τ
svdt
=
II
svdt vdt
=+
II II II
,
∫
0
t
1
0
τ
.
∫∫
t
1
Задача 5
Материальная точка, двигаясь по окружности радиусом
R, совершила один оборот за 2 с. Чему равна средняя скорость пути и средняя скорость перемещения этой точки?
Решение
За один оборот точка прошла путь
∆
скоростью пути
v
s
π
R
∆
t
. Вектор перемещения при
2
со средней
17
этом равен нулю, так как тело вернулось в исходную точку,
v
a
a
=+
a
v
a
=<
aa
,
a
следовательно, средняя скорость перемещения равна нулю:
r
∆
v
= 0.
=
t
∆
Задача 6
В некоторый момент времени угол между векторами скорости
вен
α
> 90
. Каков характер движения в этот
и ускорения
ра-
момент времени?
Решение
Используем естественный способ описания движения.
Ускорение
можно представить в виде суммы двух состав-
ляющих (см. табл. 1):
aa a
Вектор нормального ускорения
.
n
τ
всегда направлен
n
к центру кривизны траектории, т. е. перпендикулярно
и характеризует изменение скорости по направлению, а вектор тангенциального ускорения
a
направлен по касатель-
τ
ной к траектории и характеризует изменение скорости по
величине. Поэтому при наличии
дит по криволинейной траектории и, так как
оно замедленное.
≠ 0 движение происхо-
n
dv
dt
0 , то
a
τ
Задача 7
Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоро-
стью
v
. В точках А, В и С траектории движения покажите
0
вектор
и вектор полного
n
τ
ускорения. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите, как в процессе
подъёма меняются эти ускорения
(увеличиваются или уменьшаются).
18
,
Решение
a
a
a
a
a
aag
= =
R
==
Полное ускорение, с которым движется тело, – это ускорение свободного падения (в отсутствие сопротивления воздуха) и во всех точках траектории оно направлено вниз. Разложив вектор
к траектории направления, получим
на касательное и перпендикулярное
и
, которые в точках
τ
n
А, В, С изображены на рисунке. По мере подъёма скорость
ds
v
рии,
уменьшается, так как уменьшается крутизна траекто-
=
dt
убывает, а
τ
растёт. В верхней точке траектории
n
n
.
Задача 8
Точка движется по расширяющейся спирали так, что её
нормальное ускорение an остаётся постоянным.
Как изменяются при этом линейная и угловая скорости?
Решение
Нормальное ускорение выражается формулой:
2
v
2
R
ω
.
n
. Радиус кривизны расширяю-
Отсюда vaR
n
,
ω
a
==
n
a
R
щейся спирали монотонно возрастает. Из условия постоянства an следует, что при движении из центра спирали линейная скорость растёт пропорционально R , а угловая
убывает обратно пропорционально R .
1.3. Классификация задач
По характеру связей между кинематическими параметрами задачи кинематики материальной точки можно разделить на шесть типов.
19
1. Задачи, в которых по известному закону движения
rt
()
dr
() () ()
,,
rt
()
()
() () ()
,è
требуется определить зависимости скоростей и ускорений
от времени. Математически эти задачи решаются дифференцированием соответствующих функций. Последовательность операций, когда закон движения задан в форме
можно представить в виде:
dt
2
.
2
rt vt
()→()
=→
dr
dt
at
()
dv
==
dt
Аналогичные соотношения имеют место для
ϕωε
ttt
. Связь между другими характеристиками
может быть прослежена с помощью рис. 1, а конкретный
вид формул найден из табл. 1.1 и соотношения (1.1).
2. Задачи, в которых требуется решить обратную по отношению к предыдущим характеристикам задачу, т. е. по заданным зависимостям скорости и ускорения от времени
и начальным условиям найти закон движения. Математически они решаются интегрированием. Последовательность
операций, когда закон движения хотят найти в форме
может быть представлена в виде:
,
,
раметрами может быть прослежена по рис. 1.1, а вид формул найден из соотношения (1.1).
at
↓
vt
−= =
vt vdvatdt
()
rt rt dr
()−()
()
0
v
0
=
0
t
()
∫∫
0
↓
rt
()
∫∫
r
00
=
t
vtdt
()
0
.
Аналогичные соотношения имеют место между
εω ϕ
tt t
. Связь между угловыми и линейными па-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]