Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Физические основы механики. Учебное пособие
.pdf
Из рисунка видно, что
==
n,
s,
,,
αα
()
()
ss
()
ss
αα
R
+−
()
αα
t
′
t
′
t
vv gt
=−
sin
α
αα
()
+−
()
v
si
ag g
==
τ
ag g
n
co
β
β
y
v
v
x
v
где угол β – угол между вертикалью и касательной к траектории в точке М. Подставим вместо величин vvv
xy
их зна-
чения из (1.30) и (1.31):
α
a
a
=
τ
=
n
ggtv
22
co
vgtv
0
22
vgtv
co
0
sin
−
0
+−
gv
cos
α
0
+−
, (1.32)
2
in
0
. (1.33)
2
in
0
Радиус кривизны найдём из a
22
vvgt
cossin
0
R
=
gv
2
v
=
, отсюда R
n
3
2
2
0
cos
α
0
. (1.34)
2
v
=
.
a
n
Замечания:
1. Если в задаче до определения
числения времени
в момент времени
, то положение тела на траектории
ïîä.
можно задавать произвольно. Пояс-
a
не требовалось вы-
τ
ним это.
Допустим, в только что рассмотренной задаче мы предположили бы, что тело находится на подъёме в момент
времени
в точке N (см. рисунок). Тогда
α
sin
a
=
τ
gv gt
22
cossin
vvgt
0
−
0
0
31
y
0
. (1.35)
2
и
Вычисления по формуле (1.35) дали бы отрицательное
a
v
′
t
v
a
αα
()
()
ss
a
значение aτ [сравните выражения (1.33) и (1.35)]. Если же
учесть, что в положении N ускорение
тив скорости
ние, вычисленное для
в этот момент
(см. рисунок), то его отрицательное значе-
, и свидетельствует о том, что
a
имеет направление, противоположное
τ
тому, которое мы предложили, т. е. совпадает с
направлено про-
τ
. А это означает, что скорость растёт, следовательно, тело находится
на спуске.
2. Величину
вая, что a
dv
= . Выполнив дифференцирование выражения
τ
dt
можно найти другим способом, учиты-
τ
(1.31), получим
α
dv
a
==
τ
dt
ggtv
22
co
vgtv
0
sin
−
0
+−
0
in
.
2
Независимо от того, будем подставлять значение vy по
(1.25) или по (1.30). При таком методе нахождения
венство
dv
dt
всегда будет означать возрастание скорости,
> 0
что соответствует движению тела на спуске, а при
на подъёме.
τ
dv
dt
нера-
–
< 0
В заключение приведём структурную схему решения
этой задачи (рис. 1.2).
Поскольку в данной задаче рассматриваются, по существу, все вопросы, возникающие при изучении движения
тел, брошенных под углом к горизонту, алгоритм её решения может быть использован при решении других задач этого типа.
32
v
0
α
′
t
vv
ox o
=⋅
cos
α
a
ag
==0
vv
==
const
xv t
=⋅
2
xvt
=⋅
2
tt
α
yfx=
()
Сравним
xy
=
=−
=+
22
xo
nx
v
v
v
′
=tt
tt>
ïîä.
vy= 0
vv
=⋅
oy o
xox
vv gt
yoy
sin
x
y
=−
α
y
v
t
0
=
ïîä
2
=
îáùïîä
C
vv
=
x
v
=
0
y
vv
=
x
aga
= =
sin
g
ïîä.
n
ox
yv t
=⋅−
oy
ox
max
yvt
=⋅ −
oy
max
′
tt
è
y
N
x
gt
ïîä
ïîä
2
2
gt
ïîä
x
vv
xox
vv gt
yoy
y
M
x
′
vvv
=
ag
agv
=
a
τ
=
gvv
v
x
a
=
n
v
y
gv
v
y
a
=
τ
gv
2
v
R
=
a
n
Рис. 1.2
33
Задача 14
0
,0
,vht
α
=
( )
1.?x ft
=
2. ?
?
n
a
a
τ
-
-
α
=
22
=⋅=
22
22
yy
00
22
,;
22
Тело брошено с высоты h в горизонтальном направлении со скоростью v0. Определить: 1) как зависят от времени
координаты тела и его скорость; 2) нормальное и тангенциальное ускорения через t секунд после начала движения.
Дано:
-
y ft
=
( )
Движение происходит в плоскости XOY,
0 .
Для решения воспользуемся соотношениями, очерченными пунктирными линиями на рис. 2. Из них следует:
1.
vv vv
== ==
xOX
vv vv gt gt
===+=
OY yOY
vvvvgt
cos
α
00
sin,
0
=+=+
0
α
22
xy
const
0
(1.36)
2
.
Из (1.36) следует:
xvtvt
x
yvt
=+=
OY
,
0
gt gt
.
2.
agv
n
===
a
τ
===
gvv
v
,
откуда:
откуда:
ag
ag
v
n
v
v
τ
v
g
gg
v
0
vgt
+
0
gt
+
vgt
0
2
.
2
34
Приложение
1. Геометрический смысл производной
Первая производная от функции в некоторой точке есть
тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.
В точках экстремума функции производная равна нулю, на
восходящем участке кривой она положительная, на падающем – отрицательная.
Вторая производная положительна на участках кривых,
обращённых выпуклостью вниз, и отрицательна на участках, обращённых выпуклостью вверх. В точке перегиба
кривой производная равна нулю.
2. Исследование функции на экстремум
Для нахождения координаты максимума или минимума
функции необходимо 1-ю производную от неё приравнять
к нулю. Затем из полученного уравнения найти значение переменного параметра, при котором функция имеет экстремум. Характер экстремума определяется 2-й производной:
если она положительная – функция в этой точке имеет минимум, если отрицательная – максимум.
3. Некоторые правила приближённых вычислений
Часто, используя калькуляторы для вычислений, студенты добиваются такой точности результатов, которая совершенно не оправдана точностью использованных данных.
Приведём некоторые правила приближённых вычислений.
1. При сложении и вычитании приближённых чисел
окончательный результат округляется так, чтобы он не имел
значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы
в одном из слагаемых. (Значащими называются все цифры,
кроме нуля, когда он стоит в начале числа. Нуль, стоящий
в середине или в конце числа, – значащая цифра).
35
2. При возведении в степень (или извлечении корней)
a << 1
11
11
3
aa
aa
a
Fma=
FF
F
в результате значащих цифр столько, сколько их в основании степени (или в подкоренном выражении).
3. Полезно помнить следующие приближённые равен-
ства (для случая, когда
()
()
3
):
2
±
3
±
11
±≈±
a
±≈±
a
11
≈±
≈±
2
2
3
1
a
1
,
,
,
.
2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЁРДОГО ТЕЛА
2.1. Основные понятия и соотношения
Тело, размерами которого можно пренебречь в условиях
данной задачи, называется материальной точкой. В основе
динамики материальной точки лежат законы Ньютона. Первый закон выполняется только в инерциальных системах отсчёта (ИСО). В них же второй и третий законы в наиболее
простой форме:
12 21
, (2.1)
=−
. (2.2)
Уравнение (2.1) носит название основного уравнения
динамики материальной точки. В нём т – масса – мера
инертности тела, т. е. мера его неподатливости к изменению
скорости при взаимодействии с другими телами.
– сила.
Она является мерой механического взаимодействия тел.
36
ИСО бесконечно много. Взаимосвязь между законами
KK
′
K
F
F
F
′
=−rrvt
′
=tt
′
rrè
KKè
′
′
ttè
KKè
′
v
′
K
Ньютона для двух произвольно выбранных ИСО
можно представить в виде блок-схемы (рис. 2.1).
Закон инерции (он постулирует наличие ИСО)
è
ИСО K
; 0, 0mF a
ma
F
21 12
r r vt
ИСО
F ma F
Рис. 2.1
Переход от одной ИСО к другой осуществляется с по-
мощью преобразований Галилея.
где
– радиусы-векторы, определяющие положение материальной точки в ИСО
ственно в системах
мы
относительно K-системы.
;
, (2.3)
, (2.4)
;
– время соответ-
– скорость движения систе-
Обратите внимание на одинаковость написания вто-
рого и третьего законов Ньютона в разных ИСО.
Любое тело может быть представлено как совокупность
материальных точек. Если в процессе движения расстояние
между этими точками не меняется (или этими изменениями можно пренебречь), то такое тело называется абсолютно
твёрдым или, короче, твёрдым телом.
Различают два основных вида движения твёрдого тела:
1) поступательное движение; 2) вращательное движе-
ние вокруг неподвижной оси.
Здесь мы ограничимся рассмотрением поступательного
движения, т. е. такого, при котором любая прямая, связанная
;m ma a
12 21
F
37
с телом, всё время остаётся параллельной своему начально-
ci
r
12
mm
12
Fm
Fkr=−
Fk=∆
r
FN
00
=
µ
FN
00
,=⋅
α
F
му положению. Из приведённого определения следует, что
скорости и ускорения всех точек в данный момент времени
одинаковы. Это обстоятельство позволяет описать движение тела как целого через движение его центра масс «С»,
который, согласно уравнению
n
ma F
=
∑
i
=
1
, (2.5)
âíåø.
движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела т, под действием всех приложенных
к телу сил.
Формулы для расчёта наиболее часто встречающихся
в механике сил приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Вид силы
1 2 3
Сила гравитационного взаимодействия двух материальных точек
Сила тяжести
Сила упругости
Сила сухого трения:
а) сила трения
покоя при контакте поверхностей
твёрдых тел в отсутствие смазки
Формула
для вычислений
mm
FG
=
2
g=
-
закон Гука
max
max
=tgtg
µα
00
G – гравитационная постоянная;
r – расстояние между телами
массами
дения
k – положительный коэффициент (жёсткость);
зующий смещение частицы из
положения равновесия;
Δ - величина упругой деформации
μ0 – коэффициент трения покоя;
N – сила нормального давления;
силы трения покоя
Характеристики
коэффициентов
è
g - ускорение свободного па-
- радиус-вектор, характери-
– максимальное значение
0
max
38
FN
=⋅ =
=⋅
µ
µα
Fk
Fk
kk
12
Fm
=
rt
()
Fm
tt
()
tt
00
Ft
() () () ()
,
Окончание табл. 2.1
1 2 3
б) сила трения
скольжения
òð.
mg
cos
μ – коэффициент трения скольжения;
N – сила нормального давления
Сила вязкого трения (при движении тела в жидкости или газе)
òð.
1
v
=−
при малых скоростях движения;
òð.=2
2
v
, - положительные коэф-
фициенты, характеризующие
данную среду (вязкость);
v – скорость
при больших скоростях
Сила Архимеда
A
g – ускорение свободного па-
g
дения;
m – масса вытесненной телом
жидкости или газа
2.2. Классификация задач и пути их решения
Задачи этой темы можно разделить на шесть типов.
1. Задачи, в которых решается прямая задача динамики,
т. е. по заданной массе и закону движения определяется
сила. Решение их сводится к дифференцированию закона
движения. Последовательность операций, когда закон движения задан в форме
rt v
→= →= =→=
()
dr
tt
() () ()
dt
, можно представить в виде:
dt
2
2
a
.
a
dvdtdr
2. Задачи, в которых решается обратная задача динамики, т. е. отыскивается закон движения точки по известной
силе, массе, скорости
мент времени. Решение их сводится к интегрированию
уравнения (2.1). Последовательность действий можно представить в виде:
Favv
3. Задачи, в которых по известной зависимости двух или
нескольких величин от времени (например, xt vt at
v
и положению
0
→→−= →−=
ttt
() () ()
F
t
()
dt rr vdt
m
r
0
() ()
39
в начальный мо-
tt
∫∫
.
00
,,
требуется установить связь между этими величинами,
Fv
() ()
r
.
6. Задачи, в которых рассматривается движение тела или взаимодей-
д
Fv
()
т. е.
Fx
, и т. д. Такие задачи решаются исключением
времени из соответствующих соотношений.
Определить направление ускорения тела
Выбрать инерциальную систему
отсчёта. Начало в произвольной
точке. Направление одной из
осей – вдоль ускорения
Записать уравнение движения для каждого тела в отдельности в векторной форме:
Спроектировать на выбранные оси координат силы и записать уравнения движения для каждого тела в проекциях на эти оси координат
ПРОВЕРИТЬ – число неизвестных должно быть равно числу полученных уравнений
Решить полученную систему
уравнений и определить искомые величины
Сделать рисунок, определить, сколько тел участвует в
движении (n) и установить какие модели (материальная
точка или твёрдое тело) им соответствуют
1n
Направление
тел о
для всех
a
инаково
Указать силы, действующие на каждое из п тел
ma F
ii i
да
,
если
Для каждого тела выбрать свою инерциальную систему отсчёта. Начало в произвольных точках. Направление одной
из осей – вдоль ускорения
если
Дополнить систему кинематическими соотношениями или законами сохранения
1n
Определить направление
ускорения каждого из тел
Направление
если
тел различно
нет
для
a
Рис. 2.2
4. Задачи, обратные предыдущим. В их условии даётся
связь между параметрами, например
, а требуется установить зависимость этих параметров от времени. Они решаются путём решения дифференциального уравнения, полу-
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]