Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет электрических цепей. Практикум
.pdf
71
2 2
r r Rr r rR
r R r R
1 1 1 2 1 4 3
2 2 2 2
r R r R
R R r r rR r r rR
7 1
3
r l
7 1
3
Малый треугольник с большим числом звеньев имеет вдвое меньшие
размеры в сравнении с исходной цепью. Как известно, сопротивление про-
водника пропорционально его длине. Если сопротивление исходной цепи
равно R, то сопротивление внутренней части вдвое меньше и равно R/2.
Находим сопротивление верхней ветви
r r R
2 2 2
R r
1
Общее сопротивление цепи
2 2 2 2
r r R
2 2 2
2
.
1
Решаем уравнение и находим сопротивление исходной бесконечной цепи:
С учетом того, что
2 2
r
R
, сопротивление цепи равно
.
.
l
R
.
72
8.1 Задачи для самостоятельного решения
Определите общее сопротивление бесконечных цепочек.
Схема 1
Схема 2
Схема 3
Схема 4
Сопротивление единицы длины проволоки, из которой изготовлен
каркас, равно . Сторона большого квадрата l.
8.2 Бесконечные сетки и арматуры
Бесконечная сетка состоит из квадратных ячеек.
Сопротивление стороны ячейки равно r. Сетку подключают
к источнику тока через узлы А и В. Каково сопротивление
сетки между узлами А и В?
Для решения поставленной задачи можно использовать метод нало-
жения. Представим, что узел А бесконечной сетки соединен с положительной
клеммой источника, имеющей потенциал
. Точки на бесконечности имеют
73
нулевой потенциал. К узлу А от источника подходит ток i, в узле этот ток
4 4 2
i i i
делится на четыре равные части (в силу симметрии сетки).
Аналогично, если узел В соединен с клеммой источника, имеющей
потенциал
, а точки на бесконечности имеют нулевой потенциал, то к узлу
В подходят четыре равных тока, дающие в сумме ток i.
Накладываем схемы.
По стороне АВ течет ток
.
Бесконечную сетку можно представить как параллельно соединенные
ребро АВ сопротивлением r и эквивалентное сопротивление оставшейся час-
ти сетки r*.
74
Если по ребру АВ бежит ток
2
i
2 2
i i
*
r r
* 2
r r r
r r
, то по всей остальной сетке, имеющей
сопротивление r*, бежит ток
i
. Поскольку в узле А общий ток разде-
лился поровну, сопротивления ребра АВ и оставшейся части сетки одинако-
вые
.
*
Общее сопротивление сетки между узлами АВ равно
R
.
8.3 Задачи для самостоятельного решения
Схема 1
Ячейками бесконечной сетки «соты» являются правильные шести-
угольники. Сопротивление стороны шестиугольника равно r. Найдите сопро-
тивление сетки, если источник подключить к точкам
1) А и В;
2) А и С
Схема 2
Определите сопротивление между узлами А и В проволочной кубиче-
ской арматуры. Сопротивление ребра куба равно r.
75
9 Нелинейные элементы в цепи постоянного тока
Нелинейный элемент – это такой участок электрической цепи, ВАХ
которого не является прямой. Например, зависимость силы тока от напряже-
ния для лампы накаливания выглядит следующим образом:
Между током и напряжением в этом случае отсутствует прямо про-
порциональная зависимость. Это означает, что закон Ома для нелинейного
элемента не работает.
9.1 Идеальный диод в цепи постоянного тока
Диод – устройство, обладающее односторонней проводимостью – он
хорошо пропускает ток в одном направлении и плохо в другом. ВАХ идеаль-
ного диода выглядит следующим образом:
Диод заперт, не пропускает через себя
ток, то есть его сопротивление
R
диода
, если на
него подано напряжение в такой полярности
.
Участок цепи, по которому ток не течет,
можно «выбросить» из цепи.
Диод открыт, если на него подано напряжение в следующей полярно-
сти
76
В этом случае
0
АВ
R
ВА
R
Ом
R
диода
. Он ведет себя как перемычка (короткое за-
мыкание). Способ расчета цепи с перемычкой мы знаем – концы участка це-
пи, содержащего перемычку, нужно сомкнуть.
Пример 1
Определите сопротивление электрической цепи при двух направлени-
ях тока: ток течет от А к В (сопротивление
тивление
). Сопротивления резисторов R1 = R3 = 30 Ом, R2 = R4 = 60 Ом.
Диод в цепи идеальный.
Очевидно, когда ток течет от В к А, диод
оказывается запертым, он не пропускает
ток. Следовательно, диод можно «выбро-
сить» из схемы.
В этом случае R3 и R4 соединены последо-
вательно. R1 включен параллельно ветви с
), ток течет от В к А (сопро-
R3 и R4. R2 подключен последовательно к
участку с R1, R3 и R4.
R R
R R R
ВА
2
R R R
1 3 4
1 3 4
30 30 60
60 82,5
30 30 60
.
Когда ток течет от А к В, диод открыт. Сопротивление диода равно
нулю, следовательно, точки а и b имеют одинаковые потенциалы, из можно
соединить.
77
Ом
Ом
Ом
В
мА
25 1 16,7 2 8,4 B .
R R
R
24
R R R
124 24 1
R
AB
2 4
R R
2 4
R R
124 3
R R
124 3
60 60
60 60
30 30 60
60 30
60 30
Пример 2
Найдите распределение токов в це-
пи, если сопротивления резисторов равны
R1 = 1 кОм, R2 = 3 кОм, R3 = 2 кОм, R4 = 4
Ом. Диод идеальный. Общее напряжение
об
100
.
U
Понятно, что распределение токов зависит от полярности источника
30
20
(направления тока). Проблема в том, что в отличие от предыдущей задачи не
очевидно, в каком случае диод открыт и когда закрыт.
Пусть ток течет от А к В. Найдем разность потенциалов между точка-
ми с и d при условии, что диод отсутствует.
Токи в ветвях равны
U
I
12
I
34
об
R R
1 2
U
об
R R
3 4
100
25 мА
1 3
100 50
2 4 3
16,7
Разность потенциалов между точками с и d :
с d a d a c
U U I R I R
1 3 12 1 34 3
78
Потенциал точки с меньше потенциала точки d. Если между этими
мА
25 3 16,7 4 8,4 B
Ом
7 3 21
точками включить диод так, как показано на рисунке в условии
задачи, то диод оказывается закрытым, ток через него не потечет.
Токи в резисторах найдены.
Пусть ток течет от В к А . Опять найдем разность
потенциалов между точками с и d при условии, что диод отсутствует.
Токи в ветвях остались прежними
по величине, изменилось направление то-
ков.
U
I
12
I
34
об
R R
1 2
U
об
R R
3 4
100
25 мА
1 3
100 50
2 4 3
16,7
Разность потенциалов между точками с и d :
.
с d b d b c
U U I R I R
2 4 12 2 34 4
Потенциал точки с выше потенциала точки d. Если теперь
между точками с и d включить диод, он окажется открытым, че-
рез него потечет ток. Поскольку диод идеальный, то есть его
сопротивление в прямом направлении равно нулю, напряжение на
диоде тоже равно нулю. Точки с и d имеют равные потенциалы,
их нужно сомкнуть.
R R
R
24
R
13
R R R
1234 24 13
2 4
R R
2 4
R R
1 3
R R
1 3
1 2 3
3 4 12
3 4 7
1 2 2
12 2 50
Ом
Ом
79
Общий ток в цепи равен
мА
21
42 28 B
42 72 B .
7
мА 24 мА
мА 18 мА
мА
I
U
.
об
R
1234
об
100
42
50
Напряжения на параллельных участках цепи
Токи в резисторах
U U
I I
1 2
R R
U U
I I
3 4
R R
U I R
13 13
об
3
12
2
U I R
24 24
об
28 72
13 24
1 2
13 24
3 4
28
1 3
28 72
14
2 4
Применив первый закон Кирхгофа к узлу с,
находим ток через диод
I I I
4 3
д
18 14 4
9.2 ВАХ нелинейного элемента задана аналитически
Зависимость силы тока от напряжения на нелинейном элементе может
быть задана аналитически. Например:
Участок цепи состоит из резистора сопротивлением R = 50 Ом и не-
линейного элемента, для которого I = 0, 0025U2. Определите силу тока в уча-
стке цепи, если на него подано напряжение Uоб = 6 В.
80
При последовательном соединении сила тока во всех участках цепи
I I I
об R нэ
U U U
U IR U R
об нэ нэ
U R U U
0,0025 0
0,0025 50 6 0
1 4 0,0025 50 6 4
4.
В
0,0025 4 0,04 A
2
U I
2
U I
2
U I
одинаковая
R нэ
. Общее напряжение равно сумме напряжений на от-
дельных участках последовательной цепи:
Напряжение на резисторе можно найти по закону Ома
R нэ
0,0025
Тогда общее напряжение равно
0,0025
.
Решая квадратное уравнение, находим напряжение на нелинейном
элементе:
.
2
.
2
2
R U U U
нэ нэ об
2
U U
2
D
U
нэ
2 0,0025 50 0,25
нэ нэ
1 4 1
Зная напряжение на нелинейном элементе 4
ка в цепи
I .
2
U
Пример 3 (ЕГЭ)
Дана цепь, составленная из трех нелинейных
элементов. Зависимость тока от напряжения для
нэ
, находим силу то-
этих нелинейных элементов выглядит следующим
образом:
,
1
3
,
2
6
.
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]