Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет электрических цепей. Практикум
.pdf
61
Видим, что в узле О не происходит перетекания тока из верх-
3
2
R R R R
1,5
2 2
R R
AB AC A B A C B C
нее части цепи в нижнюю часть. Узел можно разорвать, если это не
приводит к изменению токов в цепи.
Сопротивление верхней ветви
нижней ветви такое же.
2
. Сопротивление
.
верхн
R
Общее сопротивление каркаса
R
верхн
.
об
3
R
.
Этот же результат можно получить другим способом.
В силу симметрии токи в участках АВ и АС одинаковые.
U i R
AB
U i R
AC
U U
.
Точки В и С имеют одинаковые потенциалы. Аналогично одинаковые
потенциалы имеют точки D и F, K и L.
Точки одинаковых потенциалов можно соединять.
62
Сопротивление между любыми сосед-
1,5
2 2 2 2
R R
ними узлами равно R/2.
Общее сопротивление каркаса равно
R R
2 2
R R R
.
об
Пример 2
Найдите сопротивление проволочного каркаса, если сопротивление
между двумя любыми узлами равно R.
3
а) Понятно, что цепь в целом симметрией не
обладает. Однако можно выделить участок цепи, для
которого можно обнаружить ось симметрии.
Показываем одинаковые токи в симметричных относительно оси bb’
оси. Видно, что в узле О нет перетекания тока из левой нижнее части цепи в
правую верхнюю часть. Узел О можно разорвать.
Сопротивление рассматриваемого участка цепи R’
63
2
10
7
R
107R
17
24
R
8 4
2 2 6 3
R R
20 5
12 3
R R
2 2 2
R R R
R
2 2 2
R R R
R
2
2
R
2
.
Возвращаемся к исходной цепи, заменив рассмотренный выше уча-
сток на резистор сопротивлением
б) Цепь обладает одной осью симметрии аа’.
Расставив токи в симметричных резисторах, видим, что
перетекания тока в резисторах АВ и ВС нет. По этой
причине участок АВС можно выбросить.
R
.
10
R R
R
об
R R
7
10
R
7
R
Находим общее сопротивление цепи
R
об
2 2
R R R R
R
R R R R
4
R R R
R R R
R
3
4
R
3
2
2
.
.
64
Пример 3
1 1 1 1 4
2 2 2
2
R R R R R
Найдите сопротивление проволочного
каркаса, если сопротивление между двумя любыми
узлами равно R.
Рассуждать можно разными способами.
1 способ
Плоскость, проходящая через ребро DC и середину ребра АВ, является
плоскостью симметрии. По симметричным проводникам текут одинаковые
по величине токи.
Видим, что перетекания тока из плоскости ABD в плоскость АВС по
ребру DC не происходит. Следовательно, ребро DC можно из цепи «выбро-
сить». Получаем параллельное соединении трех ветвей.
об
R
R
об
.
2 способ
Плоскостью симметрии является плоскость,
проходящая через ребро АВ и середину ребра DC.
Токи в симметричных относительно этой
плоскости ребрах одинаковые.
65
AD AC A D A C D C
U i R
2
R
AC CB
AD DB
R R
R R
AD
U i R
AC
U U
.
Точки D и С имеют одинаковые потенциалы. Это означает, что через ребро
DC ток не течет. Узлы D и С можно сомкнуть, выбросив ребро DC.
R R
R
об
2 2
R R
2 2
R
.
R
3 способ
«Уберем» объем, сплющим пирамиду.
Нетрудно видеть, что в состав цепи входит
сбалансированный мост
.
Это значит, что через участок CD ток не течет.
Выбросив ребро DC, получаем цепь, рассмотренную в случае 1.
7.2 Задания для самостоятельного решения
1 Найдите сопротивление проволочного
каркаса, если сопротивление между двумя любыми
узлами равно R.
66
2 Сетка (Всероссийская олимпиада, 2002 год, 9 класс)
Электрическая цепь состоит из одинаковых проводников сопротивле-
нием R = 7 Ом, образующих сетку. К узлам А и В подключен омметр. Вы-
числите его показания.
3 Запутанная схема (Всероссийская олимпиада, 2002 год, 9 класс)
Найдите сопротивление RАВ цепи между точками А и В. Сопротивле-
ния всех резисторов одинаковы и равны R = 5 Ом.
67
4 Симметричная схема (Всероссийская олимпиада, 2008 год, 9 класс)
В электрической цепи сила тока, текущего через амперметр А равна I0.
Сопротивление всех резисторов одинаково и равно R. Вычислите силу тока
I1, идущего через амперметр А1. Подвижные контакты переменных резисто-
ров установлены так, что сопротивление от них до соответствующих выво-
дов резистора равно R/2. Амперметры идеальные.
68
8 Бесконечные цепи
r r R r r r R
r r R r r R
Очень длинная цепочка составлена из одинаковых резисторов сопро-
тивлением r каждый. Необходимо определить сопротивление цепочки.
Нетрудно видеть, что цепь составлена из одинаковых звеньев
Поскольку цепочка бесконечная, отрыв одного звена не приводит к
изменению цепи. Если сопротивление исходной цепи равно R, то после от-
рыва первого звена получаем такую же цепь с тем же сопротивлением R.
Сопротивление эквивалентной цепи равно
R
2
.
3
Решаем квадратное уравнение и находим сопротивление цепи R
69
3 2
R r R r r R
2 2
2 2 0
R Rr r
R r
Найдем сопротивление другой бесконечной цепочки.
Звенья этой цепи разные – у каждого следующего звена сопротивле-
ния всех элементов втрое больше сопротивления соответствующих элемен-
тов предыдущего звена.
3 1 .
Оторвем первое звено цепи. Новая цепь тоже бесконечная, но сопро-
тивления всех элементов новой цепи в три раза больше сопротивлений соот-
ветствующих элементов исходной цепи. Поскольку сопротивление бесконеч-
ной цепи пропорционально сопротивлению одного элемента r, то общее со-
противление «новой» цепи втрое больше сопротивления исходной цепи:
70
3
R r r
r R
3 2 3 3
3
R r R r r R r R
Эквивалентная цепь состоит из первого звена исходной цепи и общего
сопротивления «новой» цепи 3R:
3
r R
2 2
3 8 2 0
R Rr r
R
Пусть цепь представляет собой проволочный
каркас, составленный из очень большого числа
r
4 22 .
звеньев в виде правильных треугольников.
Требуется рассчитать сопротивление каркаса, если максимальная длина сто-
роны треугольника равна l, а сопротивление единицы длины проволоки .
Кроме того, что цепь бесконечная, она еще и симметричная. В сим-
метричных участках цепи текут одинаковые токи. Нетрудно видеть, что в уз-
ле О нет перетекания тока из малого треугольника в ребро АВ. Следователь-
но, узел О можно разорвать – это не приведет к изменению токов в цепи.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]