Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет статически определимых конструкций при различных видах нагружения. Учебно-методическое пособие
.pdf
p
τρ
M
J
, (3.1)
max
p
τ
M
W
4
4
π
0,1
32
p
d
Jd
3
3
π
0,2
0,5 16
p
p
J
d
Wd
d
φ
кр
p
Ml
GJ
ρ
GJ
ρ
J
, (3.2)
где – радиус-вектор точки сечения, в которой определяется напря-
жение; J
, W
p
– геометрические характеристики сечения.
p
Рис. 3.2. Эпюра распределения
касательных напряжений по сечению бруса
Геометрические характеристики круглого сечения, используемые в расчетах на кручение.
Полярный момент инерции сечения:
(м4).
Полярный момент сопротивления сечения:
(м3).
Деформации при кручении.
Угол поворота одного сечения относительно другого называется
углом закручивания φрад) участка бруса между этими сечениями
(см. рис. 3.1). Определяется по формуле
, (3.3)
где l – длина участка бруса;
G – модуль сдвига (для стали G=8104 Мпа);
– жесткость сечения при кручении;
– полярный
момент инерции сечения.
21
Относительный угол закручивания
кр
φ
θ
p
М
l GJ
τ ρθ=GγG
кр
max
ττ
p
M
W
τ 0,5 0,6 σ
кр
3
0,2 τ
M
d
крmax ρ
τМW
кр
max
θθ
p
M
GJ
θ 0,05 /рад м
4
0,1 θ
кр
M
dG
Для деформации кручения применим закон Гука:
где γ – угол сдвига.
Условие прочности при кручении бруса:
(рад/м). (3.4)
, (3.5)
, (3.6)
где допускаемое касательное напряжение
Условие прочности позволяет решать следующие виды задач:
– проектный расчет (подбор сечения):
;
– определение грузоподъемности
;
– проверка прочности (формула (3.6)).
Условие жесткости при кручении бруса:
, (3.7)
где допускаемый относительный угол закручивания
Из условия жесткости можно определить радиус круглого сечения:
.
.
Задача 3. Расчет на прочность и жесткость при кручении.
1. Определяется реактивный момент, возникающий в заделке
бруса, брус разбивается на участки.
2. На каждом участке нагружения определяются крутящие мо-
менты и строится эпюра крутящих моментов.
.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ
Порядок выполнения
22
3. Устанавливается опасный участок, для которого записывается
МПа250;МПа180
вт
2
1 2 1 2
0 0,5 0,025 .
AA
m m m m m m qa кН м
условие прочности и подбирается сечение. Вычисляются касательные
напряжения в сечениях бруса. Строится эпюра касательных напряжений.
4. Вычисляются абсолютный угол закручивания бруса (как сумма углов закручивания участков бруса) и угловые перемещения поперечных сечений. Строится эпюра.
Задание
Для статически определимого бруса:
– определить крутящие моменты, построить эпюру крутящих
моментов;
– подобрать поперечные сечения, исходя из условий прочности
(принять коэффициент запаса прочности n=3);
– построить эпюры максимальных касательных напряжений и
угловых перемещений поперечных сечений.
Исходные данные (табл. П2, расчетные схемы конструкций –
рис. П3, механические характеристики материалов – табл. П3– П6).
№: 0 0 1
А В С
Схема № 1;
l=10a=1,0 м;а=0,1 м;
а1=2а=0,2 м; а2=3а=0,3 м; а3=2а=0,2 м; а4=2а=0,2 м;
q=5 кН/м; m1=9,0qa2=0,45 кН м2;
m2=9,5qa2=0,475 кН м2;
d=0,8D.
Материал: брус II - АД 33.
Механические характеристики материала:
АД 33: Е=70000 МПа; G=27000 МПа;
Коэффициент запаса прочности принять n=3.
Решение
Определим реактивный момент mA, возникающий в заделке.
(рис. 3.3). Уравнение равновесия для статически определимого бруса:
23
D
d
d
D
0
[МПа]
[град]
0
0
0
9,5
0,5
35.1
3.61
0.093
1.91
1.91
+
+
2а
2аa
5а
II
III
I
IV
m1
mA
m2
A
B
C
G
E
Z
Mкр/qa
2
Лит Лист Листов
№ докум. Подпись ДатаЛистИзм.
Разраб.
Проверил
Утв.
Контр.
Прочность и жесткость упругих
систем при различных видах
нагружения
Расчет на прочность и жесткость при кручении
3
4
Рис. 3.3. Графическая часть
24
Определим крутящие моменты на каждом участке нагружения,
02za
1
0М
23a z a
2
0М
38a z a
2
3 2 3 2
0 9,5 0,475M m M m qa кН м
8 10a z a
2
4 1 2 4 1 2
0 0,5 0,025M m m M m m qa кН м
4
3
3
1
1 0,1159
16
p
Dd
WD
D
3
3
2
0,1963
16
p
D
WD
3
3
3
0,1963
16
p
D
WD
3
3
4
0,1005
16
p
d
WD
пользуясь методом сечений.
I участок:
;
уравнение равновесия отсеченной части бруса:
,
так как на первом участке нагружения внешние моменты не действуют.
II участок:
;
уравнение равновесия отсеченной части бруса:
.
III участок:
;
уравнение равновесия отсеченной части бруса:
IV участок:
уравнение равновесия отсеченной части бруса:
Выразим моменты сопротивления поперечных сечений через
диаметр D (d=0,8D).
I участок:
II участок:
III участок:
,
;
.
;
;
IV участок:
25
;
.
Полярные моменты инерции сечений бруса
4
4
4
1
1 0,0580
32
p
Dd
JD
D
4
4
2
0.0982
32
p
D
JD
4
4
3
0.0982
32
p
D
JD
4
4
4
0.0402
32
p
d
JD
2
3
3
3
3
9,5
0.6 36
0,1963
т
p
M qa
МПа
W D n
22
3
3
6
9,5 9,5 5000 0,1
0,1963 36 10 0,1963
qa
D
3 6 3
1
0,1159 7,99 10
p
WD м
3 6 3
2
0,1963 13,53 10
p
WD м
3 6 3
3
0,1963 13,53 10
p
WD м
3 6 3
4
0,1005 6,93 10
p
WD м
I участок:
;
II участок:
;
III участок:
;
IV участок:
.
Опасным участком, т.е. участком на котором возникают макси-
мальные касательные напряжения, является третий участок нагружения (см. ниже).
Составим условия прочности для третьего участка вала:
.
Определим диаметр D из условия прочности:
0,04065 м = 40,65 мм.
Принимаем D=0,041, м = 41,0 мм, d=0,8, D=0,0328 м =32,8 мм.
Полярные моменты сопротивления поперечных сечений бруса:
I участок:
;
II участок:
;
III участок:
IV участок:
26
;
.
Полярные моменты инерции сечений бруса:
4 6 4
1
0,0580 0,164 10
p
JD м
4 6 4
2
0.0982 0,277 10
p
JD м
4 6 4
3
0.0982 0,277 10
p
JD м
4 6 4
4
0.0402 0,114 10
p
JD м
1
1
10p
M
МПа
W
2
2
20p
M
МПа
W
2
3
3
3
3
48,38 35,10
p
M qa
МПа
WD
2
4
4
3
4
4,97 3,61
p
M qa
МПа
WD
11
1
1
22
2
2
3
33
3
4
3
3
44
4
4
4
0;
0;
483,83 0,0317 1,817 ;
24,87 0,0016 0,0934 ;
p
p
p
p
Ml
GJ
Ml
GJ
M l qa
рад град
G J GD
M l qa
рад град
G J GD
3
1 2 3 4
4
508,70 0,0333 1,910
qa
рад град
GD
I участок:
II участок:
III участок:
IV участок:
Максимальные касательные напряжения в поперечных сечениях
статически определимого бруса:
I участок:
II участок:
;
;
;
.
;
III участок:
IV участок:
Определим абсолютный угол закручивания бруса как сумму уг-
лов закручивания участков:
;
;
.
27
.
Определим угловые перемещения поперечных сечений, совпа-
;0A
4
0,00163 0,093 ;
ВA
рад град
3
0,03333 1,910 ;
EB
рад град
2
0,03333 1,910 ;
GE
рад град
1
0,03333 1,910 .
CG
рад град
дающих с границами участков нагружения:
сечение А (жесткая заделка):
сечение В :
сечение E:
сечение G :
сечение С :
28
4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
τσ
И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
Брус испытывает прямой поперечный изгиб, если действующие
на него нагрузки (сосредоточенные силы, распределенные нагрузки,
пары сил) расположены в одной из главных плоскостей инерции и
при этом силы перпендикулярны к продольной оси балки (рис. 4.1).
Брус, работающий на изгиб, называется балкой. При изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора –
изгибающий момент М (Нм, кНм) и поперечная сила Q
(Н, кН). В частном случае поперечная сила может быть равна нулю.
Такой изгиб называется чистым. Если же наряду с изгибающими моментами в сечениях балки возникают и поперечные силы, изгиб
называют поперечным.
При изгибе предполагается:
– в изогнутой балке поперечные сечения остаются плоскими и
расположены перпендикулярно к изогнутой оси балки (гипотеза
плоских сечений);
– продольные слои балки не оказывают бокового давления;
– материал балки однороден;
– деформации слоев пропорциональны нормальным напряжениям.
Изгибающий момент в сечении балки вызывает появление нормальных напряжений а поперечная сила – касательных напряжений (как правило,
).
Рис. 4.1. Деформация изгиба
29
Поперечная сила Q в любом поперечном сечении численно рав-
σ
x
M
y
J
max
σ
x
M
W
на алгебраической сумме всех внешний сил, действующих по одну
сторону от проведенного сечения.
Изгибающий момент М в произвольном поперечном сечении
балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних
сил, действующих по одну сторону от сечения относительно той из
главных центральных осей этого сечения, которая перпендикулярна
плоскости нагружения.
Правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов
представлено на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Правило знаков для поперечных сил
и изгибающих моментов
Поперечная сила в сечении положительна, если внешние
нагрузки вращают отсеченную часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент в сечении положителен, если внешние нагрузки
стремятся сжать верхние волокна балки.
Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки
изменяются по линейному закону:
, (4.1)
где М – изгибающий момент; Jx – осевой момент инерции сечения;
у – расстояние от нейтральной оси до точки, для которой
определяется напряжение.
На верхней и нижней границах сечения напряжения максимальны:
, (4.2)
где Wx – осевой момент сопротивления сечения.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]