Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет статически неопределимой рамы. Учебно-практическое пособие
.pdf
Для сложных статически неопределимых рам удобнее сначала построить окончательную эпюру изгибающих моментов M, а затем ―
эпюры Q и N. Окончательная эпюра M строится на основании принципа
независимости действия сил при сложении эпюр по формулам (4), (5):
M = MP + MS,
(4)
MS = M1X1+ M2X2 + ∙∙∙ + MnXn, (5)
где ― исправленная суммарная единичная эпюра;
― исправленная единичная эпюра.
Прежде чем строить окончательные эпюры Q и N необход имо
провести кинематическую проверку окончательной эпюры M. При
этом производится перем ножение эпюры M и суммарной единичной
эпюры Ms, которая получается при сложении ед иничных эпюр (Ms =
M1 + M2 +…+ Mn).
Необходимо, чтобы выполнялось следующее условие (6):
, (6)
где ― условное перемещение в основной системе по направлению
всех неизвестных от действия всех неизвестных и нагрузки должно
быть равно нулю (ошибка вычислений может составлять не более 1 %).
При построении эпюры Q можно использовать дифференциальное
соотношение dM/
dx = Q
тогда поперечная сила численно равна танген-
су угла наклона касательной к эпюре M.
Если эпюра M по всей длине стержня или на его отдельных участках линейна, то сила Q постоянна по величине и численно равна тангенсу угла наклона α линии эпюры M к оси стержня. При этом применяется формула:±
(b ± a)/l , (7)
где a и b ― ординаты эпюры M на концах стержня;
l ― его длина. При однозначной эпюре M (рис. 6, а) величина ΔM равна
разности ординат, а при разнозначной эпюре (рис. 6, б) ― их сумме.
11
а б
Рис. 6
При построении эпюры Q следует придерживаться следующего
правила знаков: если ось стержня для совмещения с линией эпюры M
необходимо повернуть по ходу часовой стрелки, то Q ― положительная, как для случая на рис. 6, а; при повороте против часовой стрелки
Q ― отрицательная, как для случая на рис. 6, б.
При наличии равномерно распределѐ нной нагрузки по длине
стержня изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы, выпуклость которой на правлена в сторону действия нагрузки, а эпюра Q меняется по линейному закону. Разложив эпюру M на
трапецию и квадратную параболу с нулевыми значениями по краям
(рис. 7, а, б), получим формулы для определения значений Q по концам
стержня (8):
(8)
Второе слагаемое в формуле (8) соответствует линейной эпюре M с
ординатами a и b на концах. Знак этого слагаемого соответствует установленному выше правилу. Частные случаи эпюр M и Q изображены на
рис. 7, а, б.
В сечении, где Q = 0, изгибающий момент принимает экстремальное
значение (рис. 7, а). Для определения значения M можно применить
следующую формулу (9):
12
(9)
а б
Рис. 7
Эпюра продольных сил N строится с помощью эпюры Q при использовании уравнений равновесия ΣX = 0 и ΣY = 0 для узлов или отдельных частей рамы. Задача упрощается для рам со взаимно перпендикулярными стержнями.
Статическая проверка правильности решения заключается в проверке выполнения уравнений равновесия для всей рамы в целом. При
этом опорные реакции принимаются равными значениям Q и N в местах закрепления рамы. Проверяют следующие условия:
а) все узлы рамы должны быть уравновешены, т.е. сумма моментов
в любом узле равна нулю;
б) если приложить к основной системе все найденные неизвестные,
то должны выполняться условия ΣX = 0 и ΣY = 0.
В качестве примера рассмотрим расчѐт дважды статически неопределимой рамы, изображенной на рис. 8, с использованием метода сил.
13
РАЗДЕЛ 2. ПРИМЕР РАСЧЕТА ДВАЖДЫ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ
Для рамы, заданной на рис. 8, требуется построить эпюры изгибающих моментов M, поперечных и продольных сил Q и N:
Рис. 8 Рис. 9
1. Определим степень статической неопределимости рамы: n =
(3 + 2) – 3 = 2. Рама дважды статически неопределима, т.е. имеет две
лишние связи. Поэтому отбрасываем шарнирно-неподвижную опору в
точке A, заменяя еѐ действие двумя неизвестными опорными реакциями X1 и X2, которые сначала приравниваются к безразмерной единице
(единичные силы).
Таким образом, получаем основную систему, которая статически
определима, геометрически не изменяема и достаточно проста для расчѐтов (консольная рама на рис. 9).
2. Составим канонические уравнения (10) для n = 2 согласно выра-
жениям (1):
δ11X1+ δ12X2+Δ1P = 0,
(10)
δ21X1+ δ22X2+Δ2P = 0,
где X1и X2 ― искомые неизвестные.
3. Определим коэффициенты и свободные члены выражения (10),
используя формулу (2). Очевидно, что для получения соответствующих
значений необходимо перемножать соответствующие единичные эпюры либо единичные эпюры на «грузовую». Поэтому предварительно
построим перечисленные эпюры изгибающих моментов в основной
системе (MP,M1,M2 на рис. 10, 11, 12).
14
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 12 Рис. 13
На рис. 13 предварительно построена эпюра Ms = M1 + M2
(суммарная единичная эпюра).
Подсчитав значения коэффициентов уравнений (10), получим:
,
,
15
,
,
.
4. Проверим коэффициенты канонических уравнений (10) пр и
выполнении условий (3):
.
После проверки система (10) принимает вид (11):
10,66Х1 – 4Х2 + 10 = 0,
–4 Х1 + 2,66Х2 – 4 = 0.
Решив систему уравнений (11), получим значение искомых
неизвестных: X1 = –0,86 (кН); X2 = 0,21 (кН).
5. Построим исправленные единичные эпюры и (рис. 14 и
рис. 15):
,
(11)
Рис. 14. Исправленная единичная эпюра
16
Рис. 15. Исправленная единичная эпюра
6. Построим окончательную эпюру M. Эта эпюра строится путем
сложения грузовой эпюры MP и суммарной исправленной единичной
эпюры = (рис. 16): M = MP + (рис. 17).
Рис. 16 Рис. 17
Суммарная исправленная Окончательная эпюра M
единичная эпюра
7. Проведем проверку правильности построения окончательной
эпюры изгибающих моментов M (кинематическую проверку). Согласно
условию (6) = 0 (ошибка 1 %):
17
Определим относительную погрешность вычислений:
∆ % = 0,009 / 0,746 ∙ 100 % = 1,2 %.
8. Выполним статическую проверку эпюры M.
Все узлы рамы должны быть уравновешены. Например, сумма
моментов в узле C равна нулю (рис. 17).
9. Используя перечисленные ранее правила, выражения (7) и (8),
эпюру M (рис. 17), можно получить эпюру поперечных сил Q (рис. 18)
следующим образом:
Рис. 18. Эпюра поперечных сил Q
Q
= tanα (здесь эпюра M ― прямая линия, α ― угол между эпюрой M
CB
и стержнем CB):
.
Поворот от стержня CB в сторону эпюры M ― по часовой стрелке,
QCB ― положительная.
На участке AC ― распределѐнная нагрузка q, тогда получим (12):
, (12)
где Q0(x) ― поперечная сила от заданной нагрузки на участке AC.
18
Стержень AC на рис. 17 следует мысленно повернуть
горизонтально. Изгибающий момент M считать отрицательным, если
наружное волокно растянуто:
,
,
10. Эпюру продольных сил N (рис. 20) построим с помощью эпюры
Q (рис. 18), используя уравнения равновесия: X = 0; Y = 0 для всех
узлов рамы (рис. 19).
Рис. 19 Рис. 20
19
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андреев, В.И. Техническая механика: учебник для вузов / В.И. Андреев,
А.Г. Паушкин, А.Н. Леонтьев. М. : Изд-во А СВ, 2013. 255 с.
2. Атаров, Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах:
учебное пособие для вузов. М. : ИНФРА-М, 2013. 407 с.
3. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами строительной
механики: учебник для вузов / Г.С. Варданян, Н.М. Атаров, А.А. Горшков; под
ред. Г.С. Варданяна. М. : ИНФРА-М, 2013. 504 с.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]