Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Разработка моделей криптографической защиты информации. Монография
.pdf
Значит,
)1),1()
(
RPT
C
P
PCC1)(
),(RPWD
D
C
)()(C
D
PCD1)(
0)(D
),()(RPKD
),(RP
W
),(RP
K
),(),(RPcardK
RPcardW
R
P
P
),(RP
W
),(RP
K
)),((RRP
W
1
S
P
),(
RPW
),(
RPK
P
),(RPKN
P
. Так как
R
. [*]
R
CRPT ),(
, то
Возьмем произвольный код
что
декодирования. Таким образом,
доказать.
Утверждение 4. Операция декодирования задаёт биективное
отображение множества кодов
Доказательство. Доказательство этого утверждения опирается на
следующие ранее доказанные факты:
1) по следствию из утверждения 1 операция декодирования задаёт
инъекцию.
2)
. Из утверждения 1
R
. То, что
, отличный от кода C. Ясно,
. Учитывая [*], имеем
, следует из самого алгоритма
, что и требовалось
во множество
.
.
Этот факт очевиден, т.к. количество всех возможных наборов из нулей
R
и единиц, содержащих ровно R единиц и
3) Из утверждения 3 все образы декодирующего отображения
множества кодов
очевидно, что оператор декодирования является биекцией [46].
Докажем следующую теорему.
Теорема. Предложенный алгоритм преобразования дискретной
информации для любого положительного R задаёт биективное отображение
множества кодов
Доказательство. Заметим, что при неограниченном возрастании длины
кода
увеличивается, т.к. равна
мощность множеств
принадлежат множеству
во множество
R
C
. Значит, для любого неотрицательного
нулей, равно
.
и
C
.
.Отсюда
неограниченно
R
найдётся P такое, что
что инвариантно относительно P и R существует биективное отображение
41
CN
. Из утверждения 4 следует,
множества кодов
),(
RPW
),(
RPK
N
)),(
(
PRP
W
1
S
N
R
P
P
min
min
minRP
PRP
min
min
P
*
min
P
P
),(RN
L
во множество
. В силу произвольности
можно считать, что
множество
Следствие 1. Любое неотрицательное целое число может быть
корректно закодировано в двоичный код заданного ранга.
Следствие 2. При кодирования неотрицательного целого числа
двоичный код ранга
*
строки
Доказательство. Среди всех P, удовлетворяющих условию
существует минимальное
которого операция кодирования/декодирования биективна.
Так как
.
**
кодирующей матрицы.
- биекция из множества кодов
при выполнении условия
),1(),(
RPTNRPT
минимальной длиной кода является номер
P
, порождающее множество
*
)min(
CNP
, то
CNC
R
. По свойству
RPW
во
CN
),(
, для
в
R
,
*
кодирующей матрицы
минимальная длина кода [46].
Зависимость оптимального ранга от диапазона кодируемых чисел
Необходимо методом матричного кодирования получить кодовые
слова элементов множества
закодированного с рангом R указанным выше методом. В качестве критерия
оптимальности, который обеспечивает минимальную среднюю длину для
кодируемых чисел из установленного диапазона, выберем следующие
условия:
opt
R
i
RfZR
Z
)(maxarg)(
),1(
)(ZS
. Пусть
R
CRPT
. Следовательно,
*
-
- длина кода числа N,
Zi
1
x
xiLRIRf
),(minarg)()(
(2.1)
yx
yx
.
42
,1
yxI
)(
Здесь
,0
Необходимо уточнить, что если существуют
1
212
1
R
),(RN
L
L
L
L
),1(),(RNLRNL
1
N
1
N
N
),1(),(RNLRNL
L
L
L
R
R
и
)(
RRR
,
удовлетворяющие условиям (2.1), то будем рассматривать только
определенного критерия очевидно, что
Z
i
0 1
Для фиксированного значения N определим функцию
N
Обозначим
произвольное значение
функцию
opt
)(Rh
.
),1)((
LRRhL
),()( RNLRg
Z
RiLZRiL
),(min))(,(
R
i
. (2.3)
N
). Неявным образом определим следующую
LRRhL
,
1)),((
. (2.4)
. (2.2)
)(min)( RgNg
. Пусть L - некоторая длина кода (т.е.
R
. Из
Обозначим через
введенных обозначений докажем следующие вспомогательные утверждения.
Утверждение 5.
Доказательство. Доказательство данного утверждения естественным
образом следует из теоремы о ближайшем предшествовании. Поскольку
коды чисел N и
то по определению данного отношения длина кода числа
длины кода числа
доказать.
Утверждение 6.
Доказательство. Зафиксируем некоторый ранг
x
операцию взятия целой части числа x. В рамках
. (2.5)
связаны отношением ближайшего предшествования,
не меньше
, то есть
CRh )(
R
. (2.6)
, что и требовалось
. Пусть
R
N
LRNLILQ )),(()(
. (2.7)
43
Тогда для фиксированного R в силу того, что код числа начинается с
),(RN
L
R
L
R
1
R
2
R
3
R
…
k
R
R
1RR
R
1RR
2RR
…
L
1
R
k
L
L
L
L
L
2
LR,..2,
1
:0
R
L
2/1p
L
единицы и в силу монотонности
функции
)(LQ
выглядит следующим образом.
по аргументу N (утв.5), значение
)(LQ
Заметим далее, что
1
C
)(
L
1
C
1
R
CRh
kL
1R
C
)(Rh
может быть найдена по формуле:
1
. (2.8)
Для упрощения выражение можно использовать следующее известное
свойство биномиальных коэффициентов [47]:
N
n
j
nj
n
1
CC
N
1
. (2.9)
C
1
C
1
1RkR
Таким образом,
Следствие. При
CRh )(
∞ значение функции
соотношению:
Rh
L
L
2
)12()(
e
равномерно для всех R, для которых
конечном интервале.
Доказательство. Заметим, что совокупность
(дополнительно определив для
R
.
)(Rh
удовлетворяет
2
LR
)2(
L
2
. (2.10)
LR2
L
находится в каком-либо
Rh
L
h
1)0(
)(
L
при
) представляет собой
биномиальное распределение с параметрами L и
ситуацию, когда
∞.
. Рассмотрим
Согласно локальной теореме Муавра-Лапласа (если вероятность
наступления некоторого события A в n независимых испытаниях постоянна
44
и равна p, то вероятность
m
L
2
L
L
R
L
2
)(mP
n
того, что в этих испытаниях событие A
наступит ровно
соотношению
n
равномерно для всех m, для которых
либо конечном интервале), справедливо выражение
)(
L
4
где
Таким образом при
L
Rh
L
L
Rh
2)(
раз, удовлетворяет при
1
2
1
2
x
2
emPnpg
1
2
e
LR
2/
L
4/
L
2
e
1
(2.11)
2
x
,
(2.12)
2
LR
L
∞ получаем, что
2
LR
)2(
(2.14)
:)(
x
L
1
2
:
2
x
. (2.13)
npm
npg
следующему
находится в каком-
равномерно по всем R, для которых
конечном интервале, что и требовалось доказать.
Утверждение 7.
Доказательство. Докажем, что
достаточно показать, что
*
Пусть
доказанного в следствии свойства функции
*
L
совокупность
L
opt
x
)(
Rh
*
может рассматриваться как биномиальное
)(ZR
- монотонно неубывающая функция.
cZRRZL
opt
)1(),(minarg
, где
),(minarg
xZLL
. Рассмотрим функцию
c
LR2
L
находится в каком-либо
ZRZR
optopt
)1()(
. Для этого
1,0
. (2.15)
L
)(*Rh
, а именно того, что
)(*xh
. Из
45
распределение с параметрами
L
2/1p
R
L
L
R
R
12
R
L
R
L
2
что в свою очередь и доказывает утверждение.
Утверждение 8.
R
*
и
Ng
)(minarg
Rg
N
2
, следует выполнение условий
)(
(2.16)
Доказательство. Пусть
По доказанному ранее в утверждении 6
свойств биномиальных коэффициентов, получим
maxarg
R
что и требовалось доказать.
Кроме этого, необходимо разработать процедуру получения
оптимального ранга по критерию (2.1), если задан некоторый диапазон.
Зафиксируем некоторый ранг R. Он будет оптимальным по длине кода для
чисел, принадлежащих некоторому интервалу. Пусть L - длина кода
наибольшего из интервала числа, соответствующая оптимальному рангу. В
C
R
N
R
)(
Ng
)(maxarg
RhR
)(
Rg
(2.17)
)(
Ng
2
, (2.18)
)(minarg RgR
N
. С другой стороны,
R
CRh )(
. Исходя из
силу утверждения 7, количество данных чисел будет равно длине интервала.
Пусть
по длине рангом. Для обоснования алгоритма нахождения оптимального
ранга для целых чисел из заданного диапазона докажем вспомогательное
утверждение. Введем обозначение
будет являться оптимальным и для длины
утверждение 6, получим
D
- количество чисел, для которых R будет являться оптимальным
x
где x- натуральное число.
Утверждение 9.
Доказательство. Согласно утверждению 8,
i
Dx1)(
i
, (2.19)
)1(
RD
. (2.20)
. Кроме того, R
. Тогда, применяя
46
1
1
R
R
)()1(xZ
x
i
1
R
1
R
RR
R
CCD
1)1(212
R
. (2.21)
Отсюда следует, что сумма выглядит следующим образом:
1
R
i
i
i
1
1
i
CCR
)()1(
1)1(212
i
. (2.22)
После преобразования данная функция имеет вид:
1
R
R
1
12
0
CC
1)1(2
1
.
Сравним
рассмотрим отношение
D
R
R
D
R
R
1)1(
1)1(
R
Отсюда
требовалось доказать.
1
...)1(
12
1)1(212
и.
1)1(212
. (2.23)
!)!1()!12(
RRR
1
)!12()!1(!
R
2
12*2
1
R
CCD
R
1
R
CC
R
1
1)1(2
R
0
1
R
RR
R
R
C
RRR
RD
)1(
. Следовательно,
1
R
1)1(2
R
1
CR
)12(2
)1(
RR
RR
2
R
CCCCCCR
R
1)1(
1)1(2
RR
11
RD
1)2(2
. Для этого
2
R
1
.
)1(
, что и
Алгоритм нахождения оптимального ранга
1. Находим x, удовлетворяющее условию:
(в силу монотонного возрастания функции
существует).
2. Если
opt
opt
opt
)(ZR
(2.24)
x
)1(
DxZ
)(
xZR
, то
Dx1)(
i
такое x
, иначе (2.25)
xZR
)(
. (2.26)
47
Оценка затрат для хранения матрицы кодирования
1
i
Важное значение для практического использования матричного
кодирования имеют размеры элементов матрицы и размеры матрицы в
целом.
1. Размер максимального элемента в строке с номером i:
i
22
I
max
i
(бит). (2.27)
2. Зависимость номера строки матрицы от максимального элемента
)(
Ifi
max
:
Ii
max2
2log
. (2.28)
3. Средняя длина (в битах) элемента в строке i:
3
i
log)1(log
2
l
cp
i
j
Ci
122
i
(бит). (2.29)
4. Объем (в битах) для хранения всех элементов строки матрицы
cpстр
(бит). (2.30)
)1(
ilV
5. Объем (в битах) для хранения всех iстрок матрицы
m
j
j
VV
стрматр
1
(бит). (2.31)
где m –количество столбцов матрицы.
2.3 Построение структурно – логических моделей систем
криптографической защиты информации с использованием П - шифра
Введем предварительные замечания. Будем считать, что
разрабатываемая модель криптографической защиты информации обладает
симметричным шифрованием, использует блочный принцип разбиения
входной последовательности, применяются управляемые перестановки в
зависимости от преобразуемых данных (манипулирование выборкой в
матричном преобразовании), в качестве основных операций
шифрования/дешифрования будем использовать циклический сдвиг как
48
наиболее распространенный и простой в реализации (например, в алгоритмах
2
2
18265536
log
(множество
(множество
шифрования RC5, RC6, MARS).
Раскроем более подробно схему матричного кодирования в виде
структурно - логической модели, представленной на рис. 2.4.
механизм
манипулирования
выборкой
генерация
ключей
ранг
рангов)
ключ
П -шифр
матричный код
собственно
шифрование
ШИФР
Рисунок 2.4 – Модель этапов кодирования и шифрования
Главной особенностью этой модели является механизм
манипулирования выборкой, который выполняет функцию «Определение
ранга». Стойкость П-шифра обеспечивается тремя факторами. Первый –
выбор ранга, который может быть осуществлен вручную, автоматически или
случайным образом (количество рангов известно и равно числу столбцов
матрицы). Второй – это закрытый способ кодирования чисел. Третий –
матрица генерируется и сохраняется на время шифрования и дешифрования
(эти процессы разнесены по времени). Матрица кодирования (см. п.2.2.)
увеличивает длину кода на два бита и тем самым для каждого кодируемого
числа длиной l задает
число возможных рангов определяется как
22l
возможных комбинаций. Учитывая тот факт, что
N
2log
, где N - значение
кодируемого числа, то общее количество комбинаций увеличивается и
2
l
становится равным
NM
)2log(2
.
Максимальное кодируемое число в предлагаемом подходе составляет 2
байта, то есть
max
(рангов) будет равно
16
655362
N
, а для этого числа количество столбцов
. Тогда с точки зрения «атаки
49
грубой силы» общее число возможных комбинаций для одного входного
2182
M
2218
числа составит
Таким образом, выбор ранга при кодировании матричным способом
играет роль задания ключа в обычной системе шифрования.
Каждое разбиение входного потока представляет собой два байта
(блок), по значениям которого достаточно просто вычислить ранг числа.
Каждый новый числовой блок (2 байта) в результате матричного
кодирования образует собственное время кодирования (создания П-шифра) –
значение входного числа определяет количество обращений (циклов) к
матрице. Матрица кодирования может быть размещена в оперативной, в
сверхоперативной памяти или в ПЗУ, что существенно ускоряет процесс
кодирования числа.
Общее время, затрачиваемое на П-шифрование числа N, составит
(более 4 млн.).
tNtt
)2log(
2
t
ранг
- время вычисления значения ранга числа,
tttt
нсрпцикл
t
п
- время поиска ближайшего данного;
t
ср
- время сравнения с соседним числом;
t
н
- время фиксации номера следующей строки;
Структурно - логическая модель метода матричного кодирования
(п. 2.2.) в составе системы криптографической защиты информации будет
иметь вид, указанный на рис. 2.5.
циклрангПШ
, где
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]