Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надёжности. Учебное пособие-1
.pdf
81
необходимость получения оценок для вероятности безотказной ра-
боты в течение заданного времени ,
.
В конце раздела даны формулы для несмещённых оценок
соответствующие планам
,
.
7.1. Планы типа В
Вначале рассмотрим планы испытаний с восстановлением отка-
завших элементов ,
,
. Для этих планов
моменты наблюдаемых отказов образуют пуассоновский поток с ин-
тенсивностью . Действительно, так как времена безотказной
работы каждого элемента взаимно независимы, то последовательность моментов
, замен элементов в -й ячейке
стенда образует процесс восстановления, у которого интервалы
являются взаимно независимыми, показательно
распределёнными случайными величинами,
. Но
такой процесс восстановления является пуассоновским потоком с
интенсивностью, равной . Моменты замен элементов (отказов) вза-
имно независимы, поэтому взаимно независимы пуассоновские по-
токи моментов замен, соответствующие различным ячейкам
стенда. Так как поток всех отказов, которые происходят при испы-
таниях, является суперпозицией взаимно независимых пуассонов-
ских потоков с интенсивностями , то он также будет пуассонов-
ским потоком с интенсивностью .
7.1.1. План
В случае плана наблюдаем пуассоновский поток отка-
зов с интенсивностью в течение времени . Пусть —
число наблюдаемых отказов, которые произошли в моменты
. Плотность вероятности этого события можно получить
следующим образом. Вероятность того, что первый отказ произой-
дёт в интервале , равна
, условная вероят-
ность того, что второй отказ произойдёт в интервале
при условии, что первый отказ произошёл в интервале ,
равна
и т. д. Наконец, условная вероятность того, что
- отказ произошёл в интервале
, а в интер-
вале
других отказов не было при условии, что
82
отказы произошли в интервалах
, равна
Вероятность события, что отказы произошли в интервалах
, равна произведению этих
условных вероятностей
Таким образом, плотность вероятностей наступления отказов в мо-
менты
равна
(7.1)
Вероятность того, что за время испытаний не произойдет ни од-
ного отказа, равна
(7.2)
Рассматривая (7.1) и (7.2) как функции правдоподобия, получаем
уравнение максимального правдоподобия:
решение которого имеет вид
Так как , то оценкой параметра является
(7.3)
Так как
то
т. е. оценка (7.3) является несмещённой.
(7.4)
83
Можно показать, что эта оценка является эффективной. Заметим также, что из вида плотности (7.1) следует, что в случае плана
достаточной статистикой является только число отка-
зов, происшедших за время испытаний, а сами моменты отказов
никакой дополнительной информации о параметре не
содержат.
Пример 7.1. Испытания проводились по плану
. Отказы произошли в моменты ч, ч,
ч, ч. Найти оценку параметра .
Решение. Общее число отказов . По формуле (7.3)
наводим, что
7.1.2. План
Для плана
, рассуждая аналогичным образом, получаем,
что вероятность того, что отказы произойдут в интервалах
, равна
Отсюда следует, что плотность вероятностей наступления отка-
зов в моменты
равна
Из (7.4) следует, что достаточной статистикой для оценки пара-
метра является момент наступления -го отказа. Уравнение мак-
симального правдоподобия имеет вид
откуда получаем оценку
(7.5)
Заметим теперь, что
явля-
ется суммой интервалов между последовательными отказами.
Выше было показано, что эти интервалы являются взаимно незави-
симыми случайными с плотностями вероятностей, равными
.
Поэтому плотность вероятностей , равная свёртке плотностей
, имеет вид
84
(7.6)
Из (7.5) и (7.6) получаем:
(7.7)
Следовательно, оценка
, полученная методом максимального
правдоподобия, является смещённой, а при ее математическое
ожидание равно бесконечности. Смещение легко устранить, если
рассмотреть оценку
(7.8)
Из (7.7) и (7.6) следует, что
. Вспомнив, что , полу-
чаем несмещённую оценку для :
Для дисперсий оценок (7.7), (7.8) имеют место формулы
(7.9)
Дисперсии оценок существуют только для значений .
Пример 7.2. Испытания проводились по плану
. Момент регистрации десятого отказа ч.
Решение. Из формулы (7.8) находим оценку
7.1.3. План
При исследовании более общего плана
испытания
прекращаются либо в момент и при этом наблюдается
отказов, либо в момент появления -го отказа, если . В
85
первом случае плотность вероятности наступления отказов в мо-
менты
записывается по формуле (7.1), а во втором случае
плотность вероятности наступления отказов в моменты
- по
формуле (7.4). Используя метод максимального правдоподобия в
виде, изложенном в конце предыдущего параграфа, получаем
оценку для :
По аналогии с только что разобранным случаем плана мо-
жем скорректировать смещение. Вводим оценку
(7.10)
которая является несмещённой. Действительно, использовав формулу для условных математических ожиданий, получим:
Аналогичным способом можно найти дисперсию этой оценки
:
Для несмещённой оценки параметров
имеем:
86
(7.11)
7.2. Планы типа Б
Рассмотрим теперь планы , , , в ко-
торых отказавшие элементы уже не заменятся новыми.
7.2.1. План
Выражение для плотности вероятностей того, что при испыта-
ниях по плану отказы произойдут в моменты
,
можно получить следующим образом. Плотность вероятностей того,
что в эти моменты откажут элементы с номерами
, равна в
силу взаимной независимости моментов отказов произведению
плотностей вероятностей для моментов отказов каждого из этих эле-
ментов, умноженных на вероятность того, что в интервале от-
казов у остальных
элементов не произойдёт, т. е. равна
(7.12)
Событие, состоящее в том, что моменты отказов равны
,
может осуществиться
спосо-
бами, так как из чисел можно сделать
различных выборок номеров
. Умножая (7.11) на
, по-
лучаем выражение для искомой плотности вероятностей:
Таким образом, в случае плана
достаточными статистиками
будут: число элементов, отказавших за время , и сумма
времён, в течение которых
87
проработал каждый элемент, т. е. суммарная наработка элементов за
время проведения испытаний. Из (7.12) получаем, что
Отсюда имеем:
(7.13)
Таким образом, оценка максимального правдоподобия равна
(7.14)
Эта оценка является смещённой. Заметим, что для сравнительно
надёжных элементов при плотность условного распределе-
ния момента отказа, происшедшего в интервале , равна
, а среднее значение каждого
приближенно можно
считать равным
. Отсюда для , исходя из закона больших
чисел, имеем
. Подставив это
выражение в знаменатель формулы (7.14), получим:
Этой формулой часто пользуются на практике. Следует, однако,
иметь в виду, что она применима при
. Если
считать, что формула (7.14) слишком сложна, то для оценки также
можно исходить из формулы оценки вероятности по частоте. Оцен-
кой для вероятности
безотказной работы элемента яв-
ляется отношение числа элементов , безотказно прорабо-
тавших в течение времени , к общему числу элементов. Прирав-
няв оценку к теоретическому значению вероятности, получим для
нахождения оценки уравнение:
откуда
88
(7.15)
Этой формулой можно пользоваться для значений
.
Заметим, что смещение оценки (7.15) является бесконечным, так как
с положительной вероятностью может получиться, что .
Пример 7.3. Испытания проводились по плану
. Отказы произошли в моменты
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч.
Решение. Общее число отказавших элементов ,
суммарная наработка
ч. По
формуле (7.14) находим оценку для параметра :
С помощью упрощённого варианта формулы (7.14) получаем оценку
.
7.2.2. План
Для плана
плотность вероятностей появления отказов в
моменты
получаем из рассуждений, аналогичных тем, кото-
рые были использованы для плана
. Плотность вероятностей
того, что в моменты
откажут элементы с номерами
, а остальные элементов в ин-
тервале не дадут отказов, равна
Учитывая, что число возможных наборов по различных цифр
из равно , получаем, что плотность веро-
ятностей наступления отказов в моменты
(7.16)
Из этой формулы следует, что достаточной статистикой является
суммарная наработка всех испытываемых элементов
89
(7.17)
Подставив новые переменные ,
, плот-
ность (7.15), учитывая (7.16), получаем:
(7.18)
При этом учитываем, что якобиан перехода от координат
к
координатам
равен 1. Из (7.17) следует, что случайные ве-
личины ,
являются взаимно незави-
симыми, при этом плотность
равна
, со-
ответственно плотность случайной величины
равна
. Таким образом, из (7.17) следует, что является суммой
взаимно независимых, показательно распределённых случайных величин. Отсюда получаем, что плотность распределения суммарной
наработки
равна
Прологарифмировав плотность (7.15), находим:
откуда получаем уравнение максимального правдоподобия:
Оценка максимального правдоподобия имеет вид
(7.19)
Используя выражение (7.18) для плотности вероятностей сум-
марной наработки, находим, что
Таким образом, оценка
является смещённой. Это смещение
можно устранить, если использовать оценку
Дисперсия этой оценки равна
90
(7.20)
Пример 7.4. Испытания проводились по плану
. Моменты отказов равны
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч,
ч. Найти оценку параметра экспоненциаль-
ного закона.
Решение. Значение суммарной наработки
ч. По формуле (7.19) находим оценку для параметра :
7.2.3. План
Если используется план
, то испытания прекраща-
ются либо в момент , если , либо в момент , если .
Соответственно в первом случае плотность вероятностей наступле-
ния отказов в моменты
записывается по формуле
(7.12), а во втором, для моментов отказов
, — по формуле
(7.15). Как и в случае плана
, находим, что оценка мак-
симального правдоподобия имеет вид
По аналогии с предыдущим случаем можем использовать улуч-
шенную оценку для случая . Окончательно получаем:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]