Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы теории надёжности. Учебное пособие-1
.pdf
31
Моменты
будем называть отказами элемента, а моменты
будем называть восстановлениями.
Рис. 3.6. Поток восстановления с конечным временем
восстановления
Будем предполагать, что все величины
и
независимы и все
периоды работы
распределены одинаково по одному закону
со средним
и дисперсией
Все периоды вос-
становления также распределены одинаково по закону
со средним
и дисперсией
. Эти законы имеют
непрерывную плотность и , и справедливо
неравенство
. Определенный таким образом процесс бу-
дем называть процессом восстановления с конечным временем восстановления. Рассмотрим основные характеристики этого процесса.
Определение 3.2. Коэффициент готовности - вероят-
ность исправного состояния элемента в момент времени .
Для вывода определения коэффициента готовности рассмотрим
события
Событие означает, что до момента произошло ровно восста-
новлений и в момент элемент исправен. Очевидно, что событие ,
32
заключающееся в исправной работе элемента в момент , равно
сумме всех событий
Отсюда в силу несовместимости событий
получим:
Чтобы определить вероятности , введем обозначения.
Пусть
и
. Заметим,
что
. Законы распределения
обозначим так:
а их плотности -
. Эти законы определя-
ются через исходные законы и выражениями:
Для вычисления вероятностей воспользуемся формулой
полной вероятности, позволяющей записать вероятность события
в виде следующего выражения:
Подставляя найденные вероятности в выражение для коэффициента
готовности, получаем:
33
(3.11)
где
Моменты восстановлений
образуют процесс восстановления.
Функция - плотность восстановления для этого процесса.
Среднее расстояние между соседними точками этого процесса равно
Формула (3.11) почти никогда не используется, так как на прак-
тике под коэффициентом готовности понимают обычно то стацио-
нарное значение, к которому стремится функция
с ростом вре-
мени. В равенстве (3.11) устремим к бесконечности. Воспользу-
емся узловой теоремой восстановления, взяв в равенстве (3.4):
Тогда
откуда окончательно
(3.12)
То есть коэффициент готовности (3.12) - средняя доля времени, в течение которого элемент пребывает в исправном состоянии.
Для процесса восстановления с конечным временем восстанов-
ления рассмотрим две случайные величины:
— число отказов на ,
— число восстановлений на
и соответствующие средние
— среднее число отказов на
и
— среднее число восстановлений на .
Основной интерес представляет поведение этих величин для
больших значений , а асимптотически и ведут себя оди-
наково: они могут отличаться друг от друга самое большее на
34
единицу, поэтому рассмотрим только моменты восстановлений.
Расстояния между соседними моментами суть случайные величины
распределенные по закону
Поэтому функция восстановления
а плотность восстановления
С ростом времени стремится к пределу
- среднему числу
восстановлений за единицу времени. Величина при
асимптотически нормальна со средним -
и дисперсией
.
Это дает возможность, как и выше, оценивать число восстановлений
за время . Заметим, что число отказов за время имеет точно
такую же асимптотику.
Совершенно аналогично ищется в нашем случае вероятность
безотказной работы на
. Она равна
Воспользуемся узловой теоремой восстановления и получим, что
Эту формулу можно также представить в виде
откуда следует, что вероятность безотказной работы в течение вре-
мени равна произведению вероятности того, что в начальный
35
момент система исправна, и вероятности исправной работы эле-
мента в течение времени для обычного процесса с мгновенным
восстановлением (3.7).
3.7. Случай экспоненциальных законов
На практике часто рассматривают специальный случай про-
цесса восстановления с конечным временем восстановления, когда
длительности жизни и восстановления элемента подчинены экспоненциальному закону
Если - вероятность исправного состояния, а -
вероятность неисправного состояния в момент , то, сравнивая про-
цесс в два бесконечно близких момента времени и , по фор-
муле полной вероятности получаем:
Переходя к пределу , получаем дифференциальное уравнение
или
решение, которого подчиняется начальному условию .
Решая это уравнение, находим искомую вероятность, которая,
как легко видеть, есть коэффициент готовности
(3.13)
Стационарное значение этого коэффициента равно
Вероятность исправной работы на при большом выража-
ется так:
Из формулы (3.13) видно, с какой скоростью приближается коэффи-
циент готовности к своему предельному значению
. Скорость
оказывается экспоненциальной
36
В общем случае для произвольных законов и найти
скорость установления процесса трудно. Можно высказать только
одно качественное соображение — при фиксированных средних
временах процесс устанавливается тем медленнее, чем меньше сум-
марная дисперсия
. Заметим еще, что если плотности и
стремятся к нулю с экспоненциальной скоростью, т. е.
то и процесс восстановления устанавливается с экспоненциальной
скоростью
3.8. Распределение суммарной наработки
Рассмотрим следующую задачу. Назовем суммарной наработ-
кой за время сумму всех периодов работы до момента , включая,
может быть, и неполный период работы, примыкающий к моменту
(рис. 3.7). Обозначим суммарную наработку через
. Задача за-
ключается в том, чтобы найти закон распределения случайной вели-
чины и исследовать ее асимптотическое поведение при .
Рис. 3.7. Поток суммарной наработки
Введем в рассмотрение еще одну случайную величину
, рав-
ную тому случайному моменту, когда суммарная наработка достиг-
нет величины . На практике часто задают суммарную наработку из-
делия , по достижении которой изделие заменяется новым. Тогда
будет календарным временем жизни изделия, и для нас важно
уметь заранее оценить это время. Легко заметить, что между вели-
чинами и
существует простая связь
37
Чтобы найти точный закон распределения (а значит, и
),
рассмотрим отдельно два потока: поток, образованный последовательными, рабочими периодами, и поток, образованный периодами
восстановления. Пусть — число отказов до момента в первом
потоке, a — число восстановлений до момента во втором по-
токе. Докажем, что следующие два события эквивалентны, а значит,
их вероятности равны
Заметим прежде всего, что с вероятностью, равной единице, момент
попадет внутрь рабочего периода. Поэтому
так как число отказов, происшедших до момента
, равно числу вос-
становлений до этого момента. Тогда из события следует, что
. Наоборот, если произошло событие
, то
в силу монотонности функ-
ции , что эквивалентно неравенству
. Итак, вероятность
Но последнюю вероятность можно легко вычислить, зная распреде-
ление и . По формуле (3.2) получим, что
(3.14)
где, как обычно,
Выражение (3.14) можно использовать, если время невелико
по сравнению со средним временем жизни и восстановления элемента, хотя и в этом случае выкладки велики. Заметим еще, что ряд
(3.14) не упрощается даже для экспоненциального закона, когда
Для этого случая имеем:
(3.15)
Если же время велико, то для вычисления рядов (3.14) и (3.15)
потребуется брать много членов ряда, что делает эти формулы
38
практически малопригодными. По этой причине исследуем асимп-
тотическое поведение вероятности при и . Как уже
было доказано, число восстановлений при распреде-
лено асимптотически нормально со средним
и дисперсией
.
Следовательно, при величина асимптотически нор-
мальна со средним
и дисперсией
, а величина при
асимптотически нормальна со средним
и дисперсией
Так как величины и независимы, то их разность
при и также асимптотически нор-
мальна со средним
и дисперсией
. Преобразуем
вероятность :
Пусть и
. Тогда и ле-
вая часть неравенства под знаком вероятности асимптотически нормальна со средним значением нуль и дисперсией единица. Правая
часть этого неравенства имеет конечный предел, равный
39
Отсюда при и
где - фиксированная величина, получаем:
или
Иными словами, величина
асимптотически нормальна со средним
и дисперсией
Совершенно аналогично показывается, что при вели-
чина асимптотически нормальна со средним
и дис-
персией
.
Пример 3.3. Пусть ч, ч, ч, ч. Найти
суммарную наработку за время ч.
Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной величины
ч,
ч. Значит, напри-
мер, с вероятностью 0,95 суммарная наработка будет заключена в
пределах
40
4. Надёжность системы
Определение 4.1. Система - произвольная конструкция, состо-
ящая из частей (элементов), надежность которых задана.
Структура системы и характер ее работы должны быть из-
вестны нам настолько, чтобы для любой группы элементов системы
было известно, вызывает ли отказ всех элементов этой группы отказ
системы или нет. Предположим также, что элементы отказывают
независимо друг от друга, т. е. отказ любой группы элементов не изменяет надежности других элементов.
4.1. Надежность системы с независимыми элементами,
работающей до первого отказа
Рассмотрим вначале работу системы до ее первого отказа. В
этом случае надежность системы полностью определяется функцией
надежности , которая равна вероятности безотказной работы си-
стемы в течение времени . Пусть система состоит из элементов,
функции надежности которых обозначим через
. Задача заключается в том, чтобы выразить
функцию надежности системы через функции надежности её
элементов.
4.1.1. Последовательное соединение элементов в системе
Разберем сначала самый простой и самый важный случай.
Определение 4.2. Будем говорить, что элементы в системе со-
единены последовательно в смысле надежности, если отказ любого
элемента вызывает отказ всей системы.
Тогда для безотказной работы системы в течение времени
нужно, чтобы каждый элемент работал безотказно в течение этого
времени. Так как элементы независимы в смысле надежности, то
(4.1)
Итак, при последовательном соединении функции надежности перемножаются. Выразим функции надежности через интенсивности
(опасности) отказа:
откуда
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]