Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы модулярной арифметики. Практикум
.pdf
Fundamentals
oF modular arithmetic
Practical course
Stavropol
Publisher
North Caucasus Federal University
2023
UDC 004.942 (075.8)
BBK 22.19 ya73
F 75
Doctor of Physical/Mathematical Sciences, Professor G. V. Shagrova
(North Caucasus Federal University)
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor R. V. Kron
(Stavropol State Agrarian University)
of the Editorial and Publishing Council
Reviewers:
Published by the decision
North Caucasus Federal
University
F 75 Fundamentals of
A. S. Ionisyan, A. V. Shaposhnikov. – Stavropol: Publisher
comp.:
NCFU, 2023. – 121 p.
Modular arithmetic (a system of residual classes) and effective
mathematical methods and algorithms for performing basic arithmetic
operations (transfers to decimal and binary number systems and vice versa,
addition, subtraction, multiplication, comparison, and case) are considered.
Specic computational examples are given. There are a large number of
tasks for self-checking.
It is intended for undergraduates studying in the direction of training
01.04.02 Applied Mathematics and computer Science, the direction
(prole) «Mathematical modeling», as well as for schoolchildren, students,
undergraduates, postgraduates and other persons interested in highperformance computing.
Candidate of Physical-Mathem. Sciences,
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor A. V. Shaposhnikov
modular arithmetic: practical course / author-
UDC 004.942 (075.8)
BBK 22.19 ya73
Authors-compilers:
Associate Professor
A. S. Ionisyan,
© North Caucasus
Federal University, 2023
ОснОвы
мОдулярнОй арифметики
Практикум
Ставрополь
Издательство
Северо-Кавказского федерального университета
2023
УДК 004.942 (075.8)
ББК 22.19 я73
О 75
д-р физ.-мат. наук, профессор
(Северо-Кавказский федеральный университет)
канд. техн. наук, доцент
(Ставропольский государственный аграрный университет)
О 75 практикум / авт.-сост.:
А. С. Ионисян, А. В. Шапошников. – Ставрополь: Изд-во СКФУ,
2023. – 121 с.
Рассмотрена модулярная арифметика (система остаточных классов) и эф-фективные математические методы и алгоритмы выполнения
базовых арифметических операций (переводы в десятичную и двоичную системы счисления и обратно, сложение, вычитание, умножение,
сравнение, деле-ние). Приведены конкретные вычислительные примеры. Для самопроверки имеется большое количество задач.
Предназначено для студентов-магистрантов, обучающихся по направле-нию подготовки 01.04.02 Прикладная математика и информатика, направ-ленности (профилю) «Математическое моделирование»,
а также для школьников, студентов, магистрантов, аспирантов и прочих лиц, интере-сующихся высокопроизводительными вычислениями.
редакционно-издательского совета
Рецензенты:
Печатается по решению
Северо-Кавказского
федерального университета
УДК 004.942 (075.8)
Авторы-составители:
канд. физ.-мат. наук, доцент
канд. техн. наук, доцент
© Северо-Кавказский
федеральный университет, 2023
ББК 22.19 я73
сОдерЖание
Предисловие ........................................................................................................ 6
1. Модулярная арифметика ................................................................ 8
2. Операция сложения чисел в СОК ...............................................27
3. Операция вычитания чисел в СОК ............................................ 32
4. Операция умножения чисел в СОК ...........................................38
5. Перевод чисел из десятичной и двоичной систем
счисления в СОК .............................................................................45
6. Обобщенная позиционная система счисления ....................... 56
7. Перевод чисел из СОК в десятичную и двоичную
системы счисления ......................................................................... 68
8. Операция сравнения чисел в СОК ............................................. 76
9. Операция деления чисел в СОК .................................................. 83
10. Обнаружение и исправление ошибок в СОК-числах ............96
11. Представление отрицательных чисел в СОК ......................... 102
12. Комплексная арифметика в СОК ..............................................107
Литература ......................................................................................................119
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Цель и задачи практикума. Практикум «Основы модулярной арифметики» предназначен для широкого круга читателей,
интересующихся современными высокопроизводительными
вычислениями.
Целью освоения практикума является формирование у читателя теоретических знаний, практических навыков и умений в
использовании современных высокопроизводительных вычислений в организации информационных процессов в различных
сферах.
Основной задачей изучения практикума является формирование у студентов знаний, умений и навыков, достаточных
для создания несложного арифметико-логического устройства
(АЛУ) выполнения основных арифметических операций над
сверхдлинными неотрицательными целыми числами.
Реализуемые компетенции.
Способен проводить научные исследования и получать новые научные и прикладные результаты самостоятельно
и в составе научного коллектива на основе существующих методов в конкретной области про-фессиональной деятельности
Способен управлять информацией с использованием
цифровых средств и алгоритмов обработки данных для решения
задач профессио-нальной деятельности
Результаты изучения методов и алгоритмов высокопроизводительных вычислений в СОК
Знать: способы быстрого перевода чисел из двоичной и де-
сятичной систем счисления в СОК и обратно, алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления и сравнения чисел в СОК,
обобщенную позиционную систему счисления.
Уметь: реализовывать высокопроизводительные арифметические ал-горитмы в СОК на ЭВМ и системах программируемой логики на языках Pascal и VHDL (синтезируемое подмножество).
- 6 -
Предисловие
Владеть: методами реализации высокопроизводительных
арифметиче-ских алгоритмов в СОК на ЭВМ и системах программируемой логики на языках Pascal и VHDL (синтезируемое
подмножество).
Рекомендуемое программное обеспечение (программное
обеспечение, кроме операционной системы Windows является
бесплатным и свободно распространяемым)
1. Операционная система - Windows (версия не менее 7),
Linux (Mint не ниже 20)
2. Текстовый редактор с возможностью компиляции и запуска программ на языке программирования Pascal – Geany
(версии не ниже 1.0)
3. Компилятор языка программирования Pascal – FreePascal
(версии не ниже 3.0)
4. Среда разработки и отладки программ с графическим
пользователь-ским интерфейсом на языке FreePascal –
Lazarus (версия не ниже 2.0)
5. Среда разработки и отладки аппаратуры на языке VHDL –
Xilinx ISE 14.7 (Webpack edition).
Рекомендуемое материально-техническое обеспечение
Исправная ЭВМ с производительностью, достаточной для
написания и отладки программ в рамках тем данного практикума. Рекомендуется наличие выхода в глобальную информационную сеть «Интернет» со скоростью доступа, достаточной для
комфортной работы.
К каждому занятию приведены тема занятия, указаны знания, умения и навыки, формируемые на занятии в рамках формируемых компетенций. Далее идет теоретическая часть, являющаяся кратким обзором лекционного материала по теме. Для
проверки освоения и закрепления материала приведены практические задания. Студентам рекомендуется выбрать свой вариант
для решения задания и придерживаться его на протяжении всего
курса.
- 7 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Цель занятия: получение базовых математических знаний,
умений и навыков, подводящих к модулярной арифметике.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате освоения темы, формируемые компетенции или их части: ПК-1,
ПК-7.
В результате освоения темы обучающийся должен
• знать: что такое множество, декартово произведение
множеств, отношение на множествах, функция, алгебраическая операция, нейтральный, противоположный и
обратный элементы, алгебраическая структура «поле»,
конечное поле Галуа, первообразный корень, индекс, ортогональные базисы, ортогональные числа, система остаточных классов (СОК).
• уметь: для полей Галуа, заданных простыми числами
создать просмотровые таблицы сложения, противоположных элементов, умножения, обратных элементов,
индексов, антииндексов, значений ортогональных чисел.
• владеть: базовыми знаниями, умениями и навыками по
модулярной арифметике.
Теоретическая часть
Для счета за последние несколько тысяч лет человечество
придумало много различных способов, начиная от примитивного складывания камешков в кучки и до сложных форматов представления вещественных чисел в упакованных форматах.
При этом, когда появились ЭВМ, выяснилось, что их возможности счета ограничены. Так, в большинстве языков программирования отделяют 8-битные числа (байты), 16-битные числа
(машинные слова), 32-битовые числа (двойные машинные слова), 64-битовые числа (длинные машинные слова). Для реализации криптографических методов обработки информации активно используются 256-битовые числа.
- 8 -
Практическая работа 1
Несколько особняком стоит обработка вещественных чисел.
Математические сопроцессоры x86-подобных ЭВМ, как правило, представляют вещественные числа в 80-битном формате.
Начиная с появления технологии MMX и далее, микропроцессоры упаковывают числа в большие информационные массивы,
зачастую используя для этого регистры математического сопроцессора и обрабатывают такой массив одной командой, что, несомненно, ускоряет обработку, например, мультимедийной информации.
Существенным является факт, что с увеличением битовой длины числа, скорость его обработки замедляется. Причем, если для
операций сложения/вычитания зависимость, в целом, линейная,
то для операции деления – зависимость, в лучшем случае имеет
характеристику O(n*log(n)), где n – длины сомножителей в битах.
Операция деления до сих пор стоит особняком и считается одной
их самых медленных арифметических операций.
Долгое время считалось, что наиболее быстро ЭВМ обрабатывают числа длиной 8 бит. Однако, более глубокое изучение
архитектуры современных микропроцессоров показало, что на
скорость обработки длина в битах чисел стандартного типа (int,
word, long) влияет мало, так как внутренние структуры арифметико-логического устройства микропроцессоров, чаще всего
оптимизированы для проведения расчетов над 32 и 64-битовыми числами.
В 1830 году Эварист Галуа опубликовал работу, качественно
изменившую подход к обработке числовой информации второй
половины 20-го века. А именно, ранее, вполне обоснованно считалось, что множество целых чисел потенциально бесконечно в
обе стороны для операций сложения, вычитания и умножения.
Как показал Галуа, можно сконструировать множества, состоящие из небольшого конечного числа элементов-чисел и ввести
для них групповые операции сложения, умножения так, что
результат выполнения этих операций будет также находиться
внутри этого множества, то есть образовывать алгебраическую
структуру «поле». Если использовать для вычислений несколько
- 9 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
таких полей одновременно, то получается весьма эффективная
методика, получившая название «Система остаточных классов»
(СОК, RNS (англ.)).
Начнем изучение технологии высокопроизводительных вычислений в системе остаточных классов с подводящей математической теории. Сведения, излагаемые в данном разделе будут
по возможности простыми, тем не менее предполагается наличие знаний по математике на уровне не ниже начальной школы.
Будем понимать под множеством (set) – совокупность объ-
ектов произвольной природы, объединенных неким общим
свойством. Обозначать множества будем заглавными буквами
латинского алфавита A, B, C, и т. д. Объекты-элементы множеств будем обозначать строчными буквами латинского алфавита a, b, c, и т. д. Если букв латинского алфавита будет не
хватать, то воспользуемся индексацией A1, A2, b1, b2 и т. п. Наконец, следуя правилам эффективного программирования, будем
использовать «говорящие имена» для обозначения множеств и
их элементов. Например, «PRIMES» – для обозначения массива-множества простых чисел или «current» – для обозначения
текущего обрабатываемого элемента множества. Конечный же
смысл переменных будем раскрывать в комментариях к коду.
Количество элементов множества называется его мощно-
стью. Существуют как конечные множества (nite set) с мощностью, выражаемой натуральным числом, так и бесконечные
множества, глубокое изучение которых приводит к весьма занимательным математическим курьезам (одним из таких курьезов
является расчет суммы натурального ряда).
Множество, не содержащее ни одного элемента называется
пустым или нуль-множеством.
Над множествами, как правило, определены операции объединения (union), пересечения (intersect), разности (subtract), дополнения до некоторого супермножества (not), симметрической разности
и т. п., позволяющие строить новые множества из уже заданных.
Самыми известными множествами, пожалуй являются множество натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C и т. п.
- 10 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]