Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы модулярной арифметики. Практикум
.pdf
Практическая работа 10
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
86 3 19 29 53 59 1 13 1 51 15
87 3 13 23 47 67 1 1 16 32 0
88 5 17 37 47 71 0 8 0 15 9
89 2 17 29 43 61 1 12 9 42 30
90 2 19 29 41 71 1 14 11 22 41
91 5 17 29 53 61 2 5 7 20 15
92 7 13 29 43 71 2 1 15 28 55
93 5 11 37 53 59 0 0 16 5 24
94 5 13 31 53 59 0 5 8 35 57
95 3 19 23 41 59 1 14 0 5 23
96 2 19 37 43 61 1 8 14 19 26
97 7 13 23 47 61 0 10 4 11 26
98 2 11 23 53 71 1 4 20 46 43
99 5 19 23 43 71 1 3 19 31 23
100 2 19 31 41 71 0 5 7 2 57
Контрольные вопросы
1. Как обнаружить ошибку в СОК-представлении числа?
2. Как исправить ошибку в СОК-представлении числа?
a
5
- 101 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Цель занятия: изучение методов представления отрицатель-
ных чисел в СОК.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, формируемые компетенции или их части: ПК-1, ПК-7.
В результате освоения темы обучающийся должен
• знать: методы представления отрицательных числа в
СОК, свойства отрицательных чисел в СОК.
• уметь: производить арифметические операции над отри-
цательными числами в СОК.
• владеть: знаниями, умениями и навыками представле-
ния отрицательных чисел в СОК.
Теоретическая часть
Разобьем рабочий диапазон СОК на две равные части – старшую половину и младшую половину. Тогда числа, находящиеся
в старшей половине будут являться аналогом отрицательных целых чисел ПСС. Числу «-1» будет соответствовать элемент P
числу «-2» - элемент P
, и т. д. до середины рабочего диапазона.
-2
В данной схеме представления отрицательных целых чисел выгодно использовать СОК с техническим основанием p
Пример (для СОК с основаниями p
= 2, p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7).
0
= 2.
0
Диапазон СОК: P = 210
Середина диапазона «P/2», разделяющая его на старшую и
младшую половину проходит через число 105 =(1, 0, 0, 0).
Число (0, 0, 0, 0) естественным образом представляет нуль.
Числа от (1, 1, 1, 1) до (1, 0, 0, 0) эквивалентные после их перевода в ПСС числам от 1 до 105 – являются положительными
целыми числами.
Числа от (1, 2, 4, 6) до (1, 0, 0, 0) эквивалентные после их
перевода в ПСС числам от 209 до 105 – являются эквивалентами
отрицательных целых чисел от -1 до -105 соответственно.
-1
,
- 102 -
Практическая работа 11
Вопрос принадлежности числа (1, 0, 0, 0) = 105 к положи-
тельным или отрицательным остается открытым.
Заметим, что если бы технического основания p
то в СОК с основаниями p
= 3, p2 =5, p3 = 7, наибольшим поло-
1
= 2 не было,
0
жительным числом являлось бы (1, 2, 3) = 52, а следующее за
ним число (2, 3, 4) = 53 было бы эквивалентом отрицательного
числа «–52».
При указанном способе введения отрицательных чисел в
СОК, с точностью до переполнения диапазона работают обычные арифметические закономерности для отрицательных чисел:
1) сумма отрицательных чисел – есть число отрицательное;
2) произведение чисел разных знаков – есть число отрицательное;
3) произведение отрицательных чисел – есть число положительное.
Пример (СОК с основаниями p
= 3, p2 = 5, p3 = 7).
1
Пусть
A = –3 = 105 – 3 = 102 = (0, 2, 4),
B = –13 = 105 – 13 = 92 = (2, 2, 1),
C = 10 = (1, 0, 3).
1) A + B = (–3) + (–13) = (–16) = 105 – 16 = 89 = (2, 4, 5).
Проверка в СОК:
A + B=(0, 2, 4) + (2, 2, 1) = (2, 4, 5) – верно.
2) A*B = (–3)*(–13) = 39 = (0, 4, 4).
Проверка в СОК:
A*B=(0, 2, 4)*(2, 2, 1) = (0, 4, 4) – верно.
3) A*C = (–3)*10 = –30 = 105 – 30 = 75 = (0, 0, 5)
Проверка в СОК:
A*C = (0, 2, 4)*(1, 0, 3) = (0, 0, 5) – верно.
Задания для практической работы
1. Найти отрицательное представление СОК-числа A(a
a3, a4, a5) по заданным основаниям p1, p2, p3, p4, p5.
p
1 7 19 23 43 59 2 7 8 39 46
2 3 13 37 41 71 1 4 1 27 17
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
- 103 -
, a2,
1
a
4
5
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
3 2 17 31 43 61 0 3 16 3 36
4 5 17 37 47 71 3 8 27 46 42
5 2 13 37 47 61 1 12 13 43 23
6 3 13 29 41 71 2 6 1 31 47
7 2 17 37 53 71 0 7 32 17 22
8 5 11 29 53 59 0 8 20 49 3
9 2 13 37 41 67 0 1 2 39 20
10 2 11 37 41 67 0 0 11 39 21
11 5 11 37 41 67 4 7 17 35 51
12 7 17 37 43 61 0 10 28 20 16
13 7 11 31 41 61 4 5 17 21 5
14 2 19 23 41 59 1 5 18 2 8
15 2 11 37 41 61 0 3 18 37 18
16 2 17 37 41 67 0 13 22 20 49
17 2 17 31 43 67 0 8 10 1 2
18 7 19 31 47 71 0 6 6 27 40
19 2 17 31 41 71 0 11 20 19 23
20 5 13 23 53 71 2 9 8 18 25
21 5 17 23 47 67 4 2 8 17 47
22 2 17 29 41 59 0 5 2 2 32
23 5 13 23 53 61 1 6 18 24 56
24 2 11 37 53 71 0 2 2 50 23
25 2 19 29 47 59 0 14 16 36 58
26 2 17 37 41 67 1 6 6 8 59
27 3 13 31 43 71 2 12 15 4 56
28 2 13 23 47 59 1 11 13 22 2
29 2 19 29 41 61 0 8 7 33 56
30 5 17 29 41 61 1 9 28 30 56
31 2 13 37 41 67 0 5 28 11 40
32 3 17 31 47 61 1 3 9 4 18
33 3 13 37 47 71 2 7 1 7 39
34 3 19 23 47 67 2 15 16 45 57
35 5 17 29 47 59 1 15 2 15 21
36 2 19 37 47 71 1 3 14 12 47
37 7 11 23 53
61 6 0 10 39 26
38 7 17 29 41 71 3 4 2 22 32
a
5
- 104 -
Практическая работа 11
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
39 2 11 23 47 71 1 8 22 33 9
40 3 19 29 53 67 2 12 12 36 31
41 3 17 29 43 67 2 15 23 31 33
42 5 11 31 43 59 2 6 25 14 26
43 5 17 23 53 71 4 6 2 52 5
44 7 17 29 43 67 0 1 20 41 10
45 2 19 29 43 71 0 0 24 19 28
46 3 19 29 43 59 0 12 18 11 52
47 3 17 23 41 67 2 14 17 18 19
48 2 19 37 47 59 0 9 9 25 47
49 2 13 37 47 71 0 2 35 31 41
50 7 17 37 53 67 5 9 0 19 9
51 3 19 23 43 61 2 3 2 0 59
52 2 11 31 43 67 0 7 21 20 54
53 2 17 29 47 67 1 11 19 25 14
54 7 11 31 43 71 0 0 16 9 52
55 3 17 37 43 71 2 0 34 33 42
56 3 17 23 43 61 0 10 9 19 56
57 5 11 37 53 61 2 6 30 16 20
58 3 13 23 41 71 2 8 7 36 48
59 3 17 23 47 67 2 7 17 9 44
60 2 19 31 43 67 0 15 13 42 20
61 3 11 29 53 61 1 9 11 23 13
62 3 17 29 47 59 0 14 22 40 21
63 7 19 37 41 71 3 14 20 9 28
64 3 13 37 41 67 1 1 2 38 63
65 3 13 37 47 71 2 8 14 46 56
66 2 13 29 43 61 1 6 28 3 23
67 2 13 37 47 61 0 7 29 33 22
68 5 19 37 43 71 1 17 5 3 35
69 5 17 29 47 59 1 8 19 0 58
70 5 13 29 41 61 0 5 22 34 5
71 7 13 29 47 67 3 0 1 28 2
72 7 17 37 43 71 5 12 26 13 22
73 7 17 23 41
71 2 2 11 9 59
74 5 17 37 53 71 3 9 15 8 38
a
5
- 105 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
75 5 13 37 47 61 1 8 19 35 16
76 5 13 31 53 61 2 10 27 4 10
77 7 11 29 47 59 3 2 5 10 26
78 2 13 31 41 67 1 11 7 11 56
79 3 11 23 43 61 1 4 17 15 60
80 5 17 31 43 71 1 8 26 34 16
81 2 11 37 47 67 0 2 29 17 1
82 3 17 37 43 61 2 10 2 40 28
83 3 19 31 47 61 2 9 3 29 11
84 2 11 31 41 67 1 5 0 7 55
85 7 17 31 47 71 1 6 8 23 46
86 3 19 29 53 59 0 12 4 49 12
87 3 13 23 47 67 0 6 12 16 52
88 5 17 37 47 71 3 6 7 36 32
89 2 17 29 43 61 1 12 6 20 26
90 2 19 29 41 71 1 7 13 10 36
91 5 17 29 53 61 1 3 22 35 51
92 7 13 29 43 71 6 8 11 28 22
93 5 11 37 53 59 3 1 8 30 23
94 5 13 31 53 59 1 12 7 38 38
95 3 19 23 41 59 0 12 13 18 54
96 2 19 37 43 61 0 9 3 27 19
97 7 13 23 47 61 2 9 0 22 40
98 2 11 23 53 71 1 2 19 46 58
99 5 19 23 43 71 3 0 9 14 58
100 2 19 31 41 71 0 15 24 30 12
a
5
Контрольные вопросы
1. Как представить целые отрицательные числа в СОК?
2. Какими свойствами обладают отрицательные числа в СОК?.
- 106 -
Практическая работа 12
Цель занятия: изучение методов представления комплекс-
ных чисел в СОК.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате осво-
ения темы, формируемые компетенции или их части: ПК-1, ПК-7.
В результате освоения темы обучающийся должен
• знать: как представить мнимую единицу в СОК, мето-
дику перевода комплексных чисел в СОК, восстановления комплексного числа из СОК, свойства комплексных
чисел в СОК.
• уметь: производить арифметические операции над ком-
плексными числами в СОК.
• владеть: знаниями, умениями и навыками представле-
ния комплексных чисел в СОК.
Теоретическая часть
Понятие комплексного числа и комплексной арифметики основано на введении так называемой «мнимой единицы», то есть
такого числа, квадрат которого равен –1. Покажем, что в модулярной арифметике возможен такой выбор оснований, в которых существуют эквиваленты «мнимых единиц».
Пусть задана СОК своими основаниями p
= 37. Рабочий диапазон этой СОК P = 2*5*17*37 = 6290.
p
4
Представим число –1 в этой СОК.
–1=(2–1, 5–1, 17–1, 37–1) = (1, 4, 16, 36).
Заметим, что все числа-разряды у «–1» есть полные квадраты
чисел 1, 2, 4, 6 соответственно. То есть квадрат числа (1,2,4,6)
соответствует –1, что означает, что число (1, 2, 4, 6) – это аналог
«мнимой единицы».
Разумеется, возможен и другой выбор оснований СОК, в которой выполнима операция целочисленного извлечения корня
квадратного из P–1, где P – рабочий диапазон СОК по каждому
из оснований СОК.
= 2, p1 = 5, p3 = 17,
0
- 107 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Выразим два комплексных числа z1 = 3 + 2i и z2 = 8 + 7i
в «комплексной» СОК с основаниями p1 = 5, p2 = 17, p3 = 37
и мнимой единицей (2,4,6).
z1 = 3 + 2i = (3, 3, 3) + (2, 2, 2)*(2, 4, 6) = (2, 11, 15).
z2 = 8 + 7i = (3, 8, 8) + (2, 7, 7)*(2, 4, 6) = (2, 2, 13).
Вычислим сумму, разность и произведение z1 и z2 по правилам сложения, вычитания и перемножения комплексных чисел.
Результаты сразу переведем в СОК.
z1+z2 = (3 + 2i) + (8 + 7i) = 11 + 9i =
= (1, 11, 11) + (4, 9, 9)*(2, 4, 6) = (4, 13, 28).
z1 – z2 = (3 + 2i) – (8 + 7i) = –5 – 5i =
= (0, 12, 32) – (0, 5, 5)*(2, 4, 6) = (0, 9, 2).
z1*z2 = (3 + 2i)*(8 + 7i) = (3*8 – 2*7) + (3*7 + 2*8)i = 10+37i =
= (0, 10, 10) + (2, 3, 0)*(2, 4, 6) = (4, 5, 10).
С другой стороны, если выполнить сложение, вычитание и
умножение поразрядно в СОК, получим:
z1 + z2 = (2, 11, 15) + (2, 2, 13) = (4, 13, 28) – верно.
z1 – z2 = (2, 11, 15) – (2, 2, 13) = (0, 9, 2) – верно.
z1*z2 = (2, 11, 15)*(2, 2, 13) = (4, 5, 10) – верно.
Заметим, что по каждому из оснований СОК, кроме p0 = 2,
мнимая единица может иметь по два значения остатка, что дает
нам целый ассортимент мнимых единиц.
Действительно, например, в «комплексной» СОК с основаниями p1 = 5, p2 = 17, p3 = 37 мнимыми единицами будут: (2, 4, 6),
(2, 4, 31), (2, 13, 6), (2, 13, 31), (3, 4, 6), (3, 4, 31), (3, 13, 6), (3, 13, 31).
Перейдем теперь к вопросу восстановления алгебраической формы комплексного числа z = a + bi из его остаточного СОК-представления. Технически, для этого достаточно выполнить операцию деления с остатком числа z = (a1, a2, …) на
остаточное представление мнимой единицы. Получившееся при
этом неполное частное – это мнимая часть комплексного числа
z = a + bi, а остаток от деления – это действительная часть.
С другой стороны, так как в заданной комплексной СОК может
быть много комплексных единиц, то и алгебраических форм
z = a + bi тоже получится много. К сожалению, правильные из
них будут не все.
- 108 -
Практическая работа 12
Пример.
Переведем комплексное число z = 2 + 3i в «комплексную»
СОК с основаниями p
= 5, p2 = 17, p3 = 37 и мнимой единицей
1
(2, 4, 6).
z = 2 + 3i = (2, 2, 2) + (3, 3, 3)*(2, 4, 6) = (3, 14, 20)
Для мнимой единицы (2,13,6) получим другое представление
z = 2 + 3i.
z = 2 + 3i = (2, 2, 2) + (3, 3, 3)*(2, 13, 6) = (3, 7, 20).
Восстановим из «комплексной» СОК с основаниями p
= 17, p3 = 37 и мнимой единицей (2, 4, 6) число z = (3, 14, 20).
p
2
1
Для упрощения выкладок переведем z = (3, 14, 20) и мнимую
единицу i = (2, 4, 6) в десятичную систему счисления.
z = (3, 14, 20) = 1833.
i = (2, 4, 6) = 2707.
Выполняем деление 1833 на 2707 с остатком:
Неполное частное – 0, то есть мнимая часть b = 0.
Остаток – 1833, то есть действительная часть a = 1833.
Увы, ответ не совпадает с исходным числом z = 2 + 3i, то есть
неправильный.
Восстановим теперь из «комплексной» СОК с основаниями p1 = 5,
p2 = 17, p3 = 37 и мнимой единицей (2, 13, 6) число z = (3, 7, 20).
Для упрощения выкладок переведем z и i в десятичную си-
стему счисления.
z = (3, 7, 20) = 908
i = (2, 13, 6) = 302.
Делим с остатком 908 на 302.
Неполное частное – 3, то есть мнимая часть b = 3.
Остаток – 2, то есть действительная часть a = 2.
Ответ правильный: z = 2 + 3i.
= 5,
Задания для практической работы
1. Перевести комплексные числа Z = a + bi в СОК по осно-
ваниям p
, p2, p3, p4, p5.
1
- 109 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
p
p
p
2
p
3
4
p
5
a b
1 5 17 257 1601 8101 87 29
2 2 17 101 1601 5477 22 47
3 2 17 401 1601 4357 39 70
4 5 17 577 1297 7057 2 98
5 5 17 577 3137 8837 48 26
6 5 37 101 3137 7057 86 1
7 2 37 101 1601 5477 15 30
8 5 37 101 2917 8837 20 69
9 5 17 401 2917 5477 42 32
10 2 37 101 1601 8101 82 45
11 2 17 401 2917 5477 53 52
12 2 17 577 2917 5477 89 43
13 2 37 677 1601 5477 16 20
14 2 37 577 1297 8837 38 14
15 5 37 101 1601 8101 84 6
16 2 17 401 1297 5477 82 44
17 5 37 101 3137 8837 100 85
18 5 17 257 1601 8101 57 84
19 5 37 101 3137 4357 76 13
20 5 37 577 2917 5477 5 76
21 5 17 401 3137 7057 38 21
22 5 37 677 1297 8101 95 72
23 5 37 401 2917 4357 52 40
24 2 37 401 3137 5477 81 77
25 5 17 101 1297 8837 12 75
26 2 17 101 2917 8837 50 56
27 2 17 677 3137 8837 96 46
28 5 17 101 3137 7057 90 89
29 2 17 577 1297 8837 50 89
30 2 17 401 2917 8837 65 16
31 5 37 197 1297 7057 27 4
32 5 17 257 2917 8837 30 98
33 2 37 101 1601 5477 10 11
34 5 37 677 1601 7057 84 57
35 5 17 401 2917 7057 34 15
36 5 17 577 1601 7057 90 91
- 110 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]