Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы модулярной арифметики. Практикум
.pdf
Практическая работа 9
ac = qc*B = 44*13 = 572.
Сравниваем ac и A.
ac > A (572 > 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q2 = qc = 44.
Повторяем расчет.
qc = (q1 + q2)/2 = (1 + 44)/2 = 45(нечетное)/2=
= (45 – 1)/2 = 44/2 = 22.
aс = qc*B = 22*13 = 286.
Сравниваем ac и A.
ac > A (286 > 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q2 = qc = 22.
Повторяем расчет.
qc = (q1 + q2)/2 = (1 + 22)/2 = 23(нечетное)/2 =
= (23 – 1)/2 = 22/2 = 11.
ac = qc*B = 11*13 = 143.
Сравниваем ac и A.
ac > A (143 > 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q2 = qc = 11.
Повторяем расчет.
qc = (q1 + q2)/2 = (1 + 11)/2 = 12/2 = 6.
ac = qc*B = 6*13 = 78.
Сравниваем ac и A.
ac < A (78 < 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q1 = qc = 6.
Повторяем расчет.
qc = (q1 + q2)/2 = (6 + 11)/2 = 17(нечетное)/2 =
= (17 – 1)/2 = 16/2 = 8
ac = qc*B = 8*13 = 104.
Сравниваем ac и A.
ac > A (104 > 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q2 = qc = 8.
- 91 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Повторяем расчет.
qc = (q1 + q2)/2 = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7.
ac = qc*B = 7*13 = 91.
Сравниваем ac и A.
ac > A (91 > 88).
Выполняем сужение диапазона поиска Q
q2 = qc = 7.
Повторяем расчет (несмотря на то, что q2 – q1 = 1, необходима
дополнительная итерация стабилизации q1 и q2).
qc = (q1 + q2)/2 = (6 + 7)/2 = 13(нечетное)/2 = (13 – 1)/2 = 12/2 = 6.
= qc*B = 6*13 = 78.
a
c
Сравниваем a
и A.
c
< A (78 < 88).
a
c
Выполняем сужение диапазона поиска Q
= qc = 6.
q
1
Наблюдаем стабилизацию q
= 6 – верный ответ.
Q = q
1
и q2, поэтому прекращаем расчет.
1
Рассчитываем остаток R.
R = A – B*Q = 88 – 13*6 = 88 – 78 = 10 – верный ответ.
В примере для наглядности все промежуточные расчеты выполнялись в ПСС. При компьютерной или аппаратной реализации, разумеется, промежуточные расчеты выполняются в СОК.
Заметим, что рассмотренные алгоритмы деления с остатком
применимы и для быстрого деления чисел в двоичной системе
счисления без использования СОК.
Задания для практической работы
Выполнить операцию деления с остатком числел A = (a
, a4, a5) и B = (b1, b2, b3, b4, b5) в СОК по заданным основаниям
a
3
, p2, p3, p4, p5 двумя способами:
p
1
pp2p3p4p
1 7 19 23 43 59 3 12 14 40 2 4 15 4 6 5
2 3 13 37 41 71 0 0 5 37 17 1 10 34 36 16
3 2 17 31 43 61 1 7 20 34 50 0 5 11 19 59
4 5 17 37 47 71 1 3 4 2 10 2 3 25 0 15
5
aa2a3a4a
5
bb2b3b4b
- 92 -
, a2,
1
5
Практическая работа 9
pp2p3p4p
5
aa2a3a4a
bb2b3b4b
5
5 2 13 37 47 61 0 8 10 34 25 1 8 13 26 52
6 3 13 29 41 71 0 1 4 33 65 0 9 16 2 3
7 2 17 37 53 71 1 7 19 28 1 0 11 16 34 38
8 5 11 29 53 59 1 6 9 44 47 3 7 12 14 24
9 2 13 37 41 67 1 7 35 2 47 1 3 14 9 34
10 2 11 37 41 67 0 7 36 36 20 1 2 31 21 31
11 5 11 37 41 67 4 4 18 31 8 0 9 1 36 40
12 7 17 37 43 61 0 4 2 4 34 1 14 3 29 34
13 7 11 31 41 61 2 2 26 8 53 3 8 28 19 10
14 2 19 23 41 59 0 11 16 6 1 0 9 21 13 56
15 2 11 37 41 61 1 5 28 0 9 0 9 4 26 21
16 2 17 37 41 67 1 0 21 29 20 0 14 0 7 38
17 2 17 31 43 67 0 7 17 20 32 0 12 0 16 17
18 7 19 31 47 71 5 11 13 14 40 2 0 14 6 8
19 2 17 31 41 71 0 15 6 20 24 1 14 29 14 29
20 5 13 23 53 71 4 6 5 23 38 3 2 7 48 1
21 5 17 23 47 67 4 9 15 26 7 0 9 11 42 63
22 2 17 29 41 59 0 14 5 16 3 0 15 27 0 0
23 5 13 23 53 61 3 7 15 47 45 4 4 22 35 27
24 2 11 37 53 71 0 6 18 48 2 0 4 8 50 9
25 2 19 29 47 59 0 17 27 42 12 1 9 19 32 15
26 2 17 37 41 67 1 8 14 36 30 0 4 36 35 23
27 3 13 31 43 71 0 2 21 8 35 2 10 8 4 45
28
2 13 23 47 59 0 12 18 26 35 1 5 9 22 22
29 2 19 29 41 61 1 1 9 5 32 1 14 12 30 45
30 5 17 29 41 61 3 4 1 11 40 1 12 23 25 54
31 2 13 37 41 67 0 5 31 27 0 1 6 8 25 47
32 3 17 31 47 61 1 1 24 32 21 2 14 15 38 52
33 3 13 37 47 71 0 8 34 4 48 1 4 8 23 64
34 3 19 23 47 67 0 7 8 21 53 0 10 3 7 60
35 5 17 29 47 59 0 12 16 15 24 3 8 19 31 41
36 2 19 37 47 71 1 11 18 9 52 0 10 14 5 57
37 7 11 23 53 61 2 9 5 25 23 3 4 13 52 30
38 7 17 29 41 71 3 10 9 28 64 6 13 1 37 54
39 2 11 23 47 71 1 9 7 1 16 1 5 17 3 8
40 3 19 29 53 67 0 1 28 10 34 0 17 4 37 59
5
- 93 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
pp2p3p4p
5
aa2a3a4a
5
bb2b3b4b
41 3 17 29 43 67 2 8 16 10 10 2 3 7 19 58
42 5 11 31 43 59 1 8 25 23 40 3 1 26 2 32
43 5 17 23 53 71 1 9 19 3 5 4 6 20 22 8
44 7 17 29 43 67 1 15 7 32 39 1 3 6 37 3
45 2 19 29 43 71 1 2 8 28 2 1 3 3 10 61
46 3 19 29 43 59 2 14 12 19 1 2 2 8 41 24
47 3 17 23 41 67 0 5 15 1 42 1 10 19 32 35
48 2 19 37 47 59 0 6 0 24 55 0 13 34 9 57
49 2 13 37 47 71 1 11 4 35 15 0 1 34 1 59
50 7 17 37 53 67 0 0 7 34 28 4 3 16 29 26
51 3 19 23 43 61 1 0 14 31 6 0 7 17 27 4
52 2 11 31 43 67 0 9 29 21 49 0 9 11 40 32
53 2 17 29 47 67 0 9 23 26 18 1 10 7 18 21
54 7 11 31 43 71 4 7 24 11 6 5 4 4 37 10
55 3 17 37 43 71 0 13 10 4 64 0 8 3 19 70
56 3 17 23 43 61 1 5 15 32 30 0 8 18 11 54
57 5 11 37 53 61 3 6 9 41 3 2 1 9 4 5
58 3 13 23 41 71 1 6 3 14 15 0 2 4 1 9
59 3 17 23 47 67 1 1 10 12 43 1 5 6 30 64
60 2 19 31 43 67 1 12 8 32 37 0 4 9 27 36
61 3 11 29 53 61 2 3 11 26 43 2 6 14 22 32
62 3 17 29 47 59 0 9 13 29 0 1 14 16 6 14
63 7 19 37 41 71 3 14 35 6 53 5 12 36 28 68
3 13 37 41 67 2 11 0 0 61 1 3 32 22 35
64
65 3 13 37 47 71 1 5 1 3 53 0 3 29 35 7
66 2 13 29 43 61 1 2 8 12 28 1 3 27 9 25
67 2 13 37 47 61 1 11 24 42 10 0 4 28 20 55
68 5 19 37 43 71 4 12 31 13 53 3 14 6 40 58
69 5 17 29 47 59 3 10 7 39 7 3 16 17 36 38
70 5 13 29 41 61 0 3 18 19 49 1 4 11 0 49
71 7 13 29 47 67 3 2 5 23 19 6 9 24 33 60
72 7 17 37 43 71 6 15 23 31 66 3 6 35 37 2
73 7 17 23 41 71 5 16 14 1 69 6 11 8 23 57
74 5 17 37 53 71 2 5 5 3 65 2 16 28 34 43
75 5 13 37 47 61 1 8 32 25 17 2 10 3 6 55
76 5 13 31 53 61 0 7 13 13 43 0 3 26 26 9
5
- 94 -
Практическая работа 9
pp2p3p4p
77 7 11 29 47 59 0 0 8 26 37 0 1 20 23 36
78 2 13 31 41 67 0 10 24 12 9 1 7 28 20 5
79 3 11 23 43 61 0 9 14 24 47 1 4 15 34 45
80 5 17 31 43 71 1 1 16 35 4 2 5 24 8 69
81 2 11 37 47 67 1 4 3 40 30 1 4 25 0 50
82 3 17 37 43 61 1 8 5 39 18 2 2 12 17 33
83 3 19 31 47 61 0 8 15 36 21 0 12 9 18 54
84 2 11 31 41 67 1 4 19 22 12 0 10 30 39 63
85 7 17 31 47 71 1 7 29 44 27 5 11 1 44 37
86 3 19 29 53 59 0 15 12 6 31 0 16 23 15 13
87 3 13 23 47 67 0 2 16 0 47 1 1 19 7 1
88 5 17 37 47 71 1 5 10 32 4 1 7 4 18 25
89 2 17 29 43 61 0 14 3 13 5 0 11 0 17 38
90 2 19 29 41 71 0 2 22 16 36 0 13 13 39 53
91 5 17 29 53 61 0 1 14 47 50 4 2 10 15 28
92 7 13 29 43 71 5 1 1 21 40 6 5 27 0 43
93 5 11 37 53 59 3 2 13 45 12 4 10 26 35 3
94 5 13 31 53 59 3 9 16 15 7 3 8 26 10 56
95 3 19 23 41 59 0 2 22 18 40 1 11 19 30 12
96 2 19 37 43 61 1 7 1 23 37 0 6 30 2 11
97 7 13 23 47 61 4 8 17 1 21 6 7 20 14 53
98 2 11 23 53 71 1 1 9 27 9 0 3 11 16 40
99 5 19 23 43 71 4 9 0 4 11 1 3 13 0 20
100
2 19 31 41 71 1 1 0 24 66 1 9 13 34 49
5
aa2a3a4a
bb2b3b4b
5
5
Контрольные вопросы
1. Объясните замену операции деления умножением на обратный мультипликативный элемент.
2. В чем особенность случая деления нацело СОК-чисел?
3. Что такое формальное деление чисел в СОК?
4. Что такое масштабирование числа в СОК?
5. Почему операция деления в СОК в общем случае некорректна?
6. Как найти остаток от деления СОК-чисел?
7. Опишите алгоритм корректного деления СОК-чисел.
- 95 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Цель занятия: изучение методов обнаружения и исправле-
ния ошибок в СОК-числах.
Знания и умения, приобретаемые студентом в результате освоения темы, формируемые компетенции или их части: ПК-1,
ПК-7.
В результате освоения темы обучающийся должен
• знать: принципы и методы обнаружение и исправления
ошибок в СОК-представлении числа.
• уметь: обнаруживать и исправлять ошибки в СОК-числах.
• владеть: знаниями, умениями и навыками обнаружения
и исправления ошибок в СОК-числах.
Теоретическая часть
Помимо естественного параллелизма, СОК обладает так называемой избыточностью. Это означает, что если диапазон СОК
в несколько раз превышает реально необходимый для проведения расчетов, то в случае возникновения ошибки в одном из
разрядов СОК-числа, например в результате выполнения арифметических операций или даже простого хранения в ОЗУ, этот
ошибочный разряд можно детектировать и исправить.
Не будем глубоко погружаться в теорию помехоустойчивого
кодирования. Обратим внимание на тот факт, что в СОК, содержащей n оснований, из СОК-числа A можно получить n эквивалентных ему СОК-чисел, просто временно вычеркивая по одному разряду из исходного числа A.
Пример (для СОК с основаниями p
Диапазон СОК: P=105.
Пусть A = 13 = (1, 3, 6).
Породим из числа A три новых СОК-числа, равных A.
A
= 13 = (3, 6) – вычеркнуто основание p1 = 3.
1
A
= 13 = (1, 6) – вычеркнуто основание p2 = 5.
2
A
= 13 = (1, 3) – вычеркнуто основание p3 = 7.
3
= 3, p2 = 5, p3 = 7).
1
- 96 -
Практическая работа 10
Заметим, что максимальное сужение рабочего диапазона наблюдается при вычеркивании основания p
диапазон P
= 3*5 = 15.
3
= 7. В этом случае
3
Что будет, если для любого A из диапазона [0; 14] произойдет
искажение любого из разрядов исходной СОК (p
Число A исказится, но сравнив теперь между собой A
= 3, p2 = 5, p3 = 7)?
1
, A2, A3 на
1
равенство, обнаружится их рассогласование, однозначно указывающее на факт ошибки.
Пример (для СОК с основаниями p
= 3, p2 = 5, p3 = 7).
1
Диапазон СОК: P = 105.
Пусть A = 13 = (1, 3, 6).
Предположим, что произошла ошибка в третьем разряде и
теперь A = (1, 3, 3).
Порождаем из числа A новые СОК-числа сокращенных диапазонов.
A
= (3, 3) = 3 – вычеркнуто основание p1 = 3
1
A
= (1, 3) = 10 – вычеркнуто основание p2 = 5
2
A
= (1, 3) = 13 – вычеркнуто основание p3 = 7
3
Все три числа A
(остались p
(остались p
(остались p
, A2, A3 отличаются друг от друга в своем
1
= 5, p3 = 7).
2
= 3, p3 = 7).
1
= 3, p2 = 5).
1
ПСС-представлении. То есть, в исходном числе A содержится
ошибка.
Для локализации, то есть определения конкретного разряда
СОК-числа, содержащего ошибку, нужно вычеркивать основания СОК парами или даже тройками так, чтобы набрав статистику совпадающих эквивалентов числа A, определить его правильное значение и далее, восстановить правильное значение
ошибочного разряда, просто пересчитав его.
Пример (для СОК с основаниями p
= 11, p2 = 13, p3 = 17, p4 = 19).
1
Диапазон СОК: P = 11*13*17*19 = 46189.
Пусть A = 20 = (9, 7, 3, 1).
Предположим, что произошла ошибка в третьем разряде и
теперь A = (9, 7, 5, 1).
- 97 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
Порождаем из числа A новые СОК-числа сокращенных диа-
пазонов.
A
= (9, 7) = 20 – остались основания p1 = 11, p2 = 13.
12
A
= (9, 5) = 141 – остались основания p1 = 11, p3 = 17.
13
A
= (9, 1) = 20 – остались основания p1 = 11, p4 = 19.
14
A
= (7, 5) = 124 – остались основания p2 = 13, p3 = 17.
23
A
= (7,1) = 20 – остались основания p2 = 13, p4 = 19.
24
A
= (5, 1) = 39 – остались основания p3 = 17, p4 = 19.
34
Хорошо видно, что A
= A14 = A24 = 20 – это и есть истинное
12
значение числа A. Все остальные проекции числа A отличаются
друг от друга. Единственное, что есть общего у A
, A23 и A34 –
13
это третий разряд, собственно и содержащий ошибку.
Пересчитаем значение A = 20 по модулю p
a
= A mod p3 = 20 mod 17 = 3.
3
= 17.
3
Итого, A = (9, 7, 3, 1) = 20.
Разумеется, есть и более другие способы обнаружения и ис-
правления ошибок в СОК.
Задания для практической работы
1. Найти и исправить одиночную ошибку СОК-числа A(a
a
, a3, a4, a5) по заданным основаниям p1, p2, p3, p4, p5.
2
p
1 7 19 23 43 59 4 17 15 9 7
2 3 13 37 41 71 2 7 30 37 47
3 2 17 31 43 61 0 10 13 35 20
4 5 17 37 47 71 0 0 36 21 14
5 2 13 37 47 61 0 9 33 17 26
6 3 13 29 41 71 0 10 28 19 26
7 2 17 37 53 71 1 16 27 17 27
8 5 11 29 53 59 3 10 28 29 14
9 2 13 37 41 67 0 5 16 1 17
10 2 11 37 41 67 0 4 3 35 25
11 5 11 37 41 67 2 10 1 39 50
12 7 17 37 43 61 3 0 27 27 5
13 7 11 31 41 61 0 0 27 26 59
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
- 98 -
,
1
a
5
Практическая работа 10
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
14 2 19 23 41 59 1 5 22 37 19
15 2 11 37 41 61 0 7 14 2 53
16 2 17 37 41 67 1 9 29 34 19
17 2 17 31 43 67 0 0 5 33 26
18 7 19 31 47 71 4 17 11 45 50
19 2 17 31 41 71 1 10 20 34 5
20 5 13 23 53 71 4 5 20 23 24
21 5 17 23 47 67 1 6 2 18 34
22 2 17 29 41 59 1 6 6 15 15
23 5 13 23 53 61 0 0 11 11 1
24 2 11 37 53 71 1 9 31 10 5
25 2 19 29 47 59 1 16 19 8 18
26 2 17 37 41 67 2 0 17 21 52
27 3 13 31 43 71 0 5 0 39 6
28 2 13 23 47 59 1 12 18 14 30
29 2 19 29 41 61 1 18 28 22 43
30 5 17 29 41 61 4 12 6 35 31
31 2 13 37 41 67 1 0 5 37 16
32 3 17 31 47 61 0 1 14 28 44
33 3 13 37 47 71 2 0 33 25 18
34 3 19 23 47 67 2 17 20 10 48
35 5 17 29 47 59 2 13 9 6 11
36 2 19 37 47 71 2 6 9 33 11
37 7 11 23 53 61 3 7 15 51 32
38 7 17 29 41 71 5 15 19 3 2
39 2 11 23 47 71 1 6 10 2 55
40 3 19 29 53 67 1 1 15 11 54
41 3 17 29 43 67 2 7 13 22 37
42 5 11 31 43 59 4 11 3 21 43
43 5 17 23 53 71 3 6 1 27 16
44 7 17 29 43 67 1 4 3 11 6
45 2 19 29 43 71 0 8 22 30 20
46 3 19 29 43 59 0 7 15 21 18
47 3 17 23 41 67 2 6 6 34 12
48 2 19 37 47
59 1 8 14 28 29
49 2 13 37 47 71 1 5 14 6 10
a
5
- 99 -
Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных
p
p
p
p
2
3
p
4
5
a
a
a
2
a
3
4
50 7 17 37 53 67 6 1 5 35 8
51 3 19 23 43 61 2 11 16 23 54
52 2 11 31 43 67 1 2 7 8 23
53 2 17 29 47 67 0 7 9 26 57
54 7 11 31 43 71 1 7 3 39 21
55 3 17 37 43 71 1 6 19 9 20
56 3 17 23 43 61 2 15 12 36 21
57 5 11 37 53 61 0 4 35 18 50
58 3 13 23 41 71 2 3 22 2 39
59 3 17 23 47 67 2 3 4 10 64
60 2 19 31 43 67 1 18 11 20 61
61 3 11 29 53 61 1 3 9 16 14
62 3 17 29 47 59 1 16 8 20 21
63 7 19 37 41 71 4 13 6 34 23
64 3 13 37 41 67 1 7 15 11 60
65 3 13 37 47 71 0 2 26 13 40
66 2 13 29 43 61 0 2 6 39 41
67 2 13 37 47 61 1 6 6 0 21
68 5 19 37 43 71 2 10 14 37 4
69 5 17 29 47 59 0 14 21 38 2
70 5 13 29 41 61 2 1 7 13 33
71 7 13 29 47 67 1 9 27 23 45
72 7 17 37 43 71 5 13 20 26 1
73 7 17 23 41 71 2 11 13 37 16
74 5 17 37 53 71 2 15 32 14 0
75 5 13 37 47 61 4 5 1 38 47
76 5 13 31 53 61 0 6 13 12 36
77 7 11 29 47 59 2 7 22 38 23
78 2 13 31 41 67 0 12 30 13 58
79 3 11 23 43 61 1 6 21 15 46
80 5 17 31 43 71 0 3 3 39 4
81 2 11 37 47 67 0 8 16 32 15
82 3 17 37 43 61 0 12 2 7 3
83 3 19 31 47 61 2 17 21 19 46
84 2 11 31 41
67 1 10 27 16 55
85 7 17 31 47 71 6 3 3 21 9
a
5
- 100 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]