Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы информатики в электроэнергетике. Учебное пособие
.pdf
водниковой элементной базе. Это позволяет создавать электрические
схемы для решения задач алгебры логики, что служит основой современной вычислительной техники.
ЛОГИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
В алгебре логики существует всего пять операций, из них наиболее
широко используются три:
инверсия (операция НЕ);
конъюнкция (операция И);
дизъюнкция (операция ИЛИ).
Как и в обычной алгебре, эти операции обладают разным математическим приоритетом, т. е. порядком применения в сложных логических выражениях (составных высказываниях). Приоритет (порядок)
применения логических операций соответствует порядку приведенного
выше списка (сначала – инверсия, затем – конъюнкция и т. д.). Кроме
этого наивысшим (выше, чем у операции «инверсия
») приоритетом
обладают скобки.
Для каждой логической операции можно построить таблицу истинности, связывающую аргументы операции и ее результат. Кроме того,
для приведенных выше трех операций существует графическое обозначение на логических схемах (рис. 5).
a б в
Рис. 5. Обозначение операций на логических схемах:
а – инверсия; б – конъюнкция; в – дизъюнкция
Инверсия – операция, выражаемая словом НЕ. Также называется
отрицанием. Основное обозначение – черта над высказыванием. Иногда используются другие символы, наприме𠫬» или «!». Таблица истинности операции НЕ приведена в табл. 6. Графическое обозначение
на схемах показано на рис. 5, а.
41
Таблица 6
Таблица истинности
операции НЕ
А
0 1
1 0
A
Помимо отдельного блока (инвертора), в логических схемах часто
используются элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ, где отрицание «встроено»
в выход логического блока (рис. 6). Это обусловлено относительной
легкостью реализации подобной инверсии в электрических схемах.
a б
Обозначение на схемах логических
Рис. 6.
операций И-НЕ (
а) и ИЛИ-НЕ (б)
Конъюнкция – операция, выражаемая связкой «И», также называ-
емая логическим умножением. Основное обозначение – знак «∩». Может также обозначаться знаком «умножить» или знаком «&» (или, как
умножение в обычной алгебре, не обозначаться). Таблица истинности
логического умножения приведена в табл. 7. Графическое обозначение
на схемах – на рис. 5, б.
Таблица 7
Таблицы истинности операций И и ИЛИ
AB
A B
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
42
AB
Дизъюнкция – операция, выражаемая связкой «ИЛИ» (в не ис-
A
A
AB
A
A
A
ключающем смысле этого слова), также называемая логическим сложением. Обозначается знаком «
∪» или плюсом. Таблица истинности
логического сложения приведена в табл. 7. Графическое обозначение
на схемах показано на рис. 5, в.
Импликация и эквивалентность (логическая равнозначность) –
логические операции, достаточно редко используемые при составлении логических выражений и схем. Операция импликации по смыслу
наиболее приближена к союзам «если..., то…» и обозначается знаком
«→». Операция эквивалентности используется для сравнения двух логических переменных (выражений) и обозначается знаком «≡». Таблицы истинности этих операций приведены в табл
Таблицы истинности операций «Импликация»
и «Эквивалентность»
. 8.
Таблица 8
B
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
B
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
В этом разделе приводятся основные законы алгебры логики, при
помощи которых преобразуются логические выражения. Во многом
эти законы напоминают законы обычной алгебры (в частности, справедливы переместительный и сочетательный законы).
Аксиомы:
11
00A;
0
1
;
A
;
A
.
43
Свойство идемпотентности (закон повторения):
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA;
AA.
Закон исключения третьего:
1
A
.
Закон непротиворечивости:
0AA.
Закон двойного отрицания:
AA
.
Закон коммутативности (переместительный закон):
BBA;
BBA.
Закон ассоциативности (сочетательный закон):
()ABC A BC ;
()ABC A BC .
Закон дистрибутивности (распределительный закон умножения):
()ABC AB AC;
()()ABC AB AC .
Закон поглощения:
AB A;
()AAB A.
Закон склеивания:
AB A B
()
AB AB;
;
()()
BAB A.
44
Законы Де-Моргана (законы инверсии):
X
X
X
XY
X
AB AB;
AB A B.
Следует обратить особое внимание на законы поглощения, склеивания и инверсии, так как они не действуют для обычной алгебры и
непривычны для человека, ранее алгебру логики не изучавшего.
Ниже приведен пример использования законов алгебры логики для
упрощения сложного логического выражения:
YXYXY XYXYXY XY XY XY
() ()()()()
()
XY XY
.
При упрощении приведенного выше выражения последовательно
были применены: закон инверсии (свертка большого отрицания), еще
раз закон инверсии для преобразования произведений
Y и
в суммы, затем закон склеивания применительно к скобкам
()()
YXY и в конце – раскрытие скобок (распределительный
закон) и закон непротиворечивости для исключения произведе-
XX
ния
.
ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ
ДЛЯ СЛОЖНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Количество строк в таблице определяется из выражения 2n, где n –
количество простых высказываний (логических переменных). Иногда в
некоторых публикациях по алгебре логики учитывается также строка
заголовка таблицы (т. е. количество строк будет
21)
.
n
Количество столбцов в таблице можно определить из выражения:
n + количество логических операций, где n, так же как и в случае со
строками, – количество логических переменных. Столбцы логических
переменных наполняются всеми возможными сочетаниями значений
этих переменных (0 или 1). Затем в зависимости от значений логических переменных вычисляются результаты отдельных логических
действий и
результат логического выражения в целом.
45
Пример построения таблицы истинности для выражения
E
A
()
ABC
Пример построения таблицы истинности для сложного логического
приведен в табл. 9.
Таблица 9
выражения
A B C
0 001 00
0 011 11
0 101 11
0 111 11
1 000 00
1 010 10
1 100 10
1 110 10
BC
E
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ
Логические схемы строятся с использованием только общепринятых обозначений логических элементов. Кроме этого есть еще ряд правил.
Входы логических элементов всегда изображаются слева, вы-
ход – справа.
Входов может быть больше двух, выход всегда один.
Выход логического элемента может быть инверсным (операции
И-НЕ и ИЛИ-НЕ).
Один и тот же сигнал (логическая переменная) может быть по-
дан на входы разных элементов (входы можно соединять).
Выходы логических элементов соединять между собой нельзя.
46
Связи между логическими элементами (провода) должны следо-
E
вать параллельно краям схемы.
Пример логической схемы для выражения
()
ABC
приведен
на рис. 7.
Рис. 7. Пример логической схемы
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА
ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ
Переключательные схемы (рис. 8) широко используются в электроэнергетике для автоматического управления и для защиты оборудования. Под переключательной схемой понимают схематическое изображение устройства, состоящего из следующих элементов.
Переключатели – элементы любого конструктивного исполне-
ния, принципиально имеющие два состояния (замкнутое и разомкнутое) и возможность управления изменением состояния.
Проводники, соединяющие переключатели в определенную
схему.
Входы и выходы схемы (контакты, на которые подается напря-
жение). Они называются полюсами.
Положения соответствующих переключателей можно обозначить
логическими переменными X1, X2, X3. Если несколько переключателей
обозначаются одной и той же переменной, это означает, что они имеют
общее управление (включаются и выключаются одновременно).
47
Рис. 8. Пример переключательной схемы
Можно считать, что состояние 1 (истина) будет, если между полюсами схемы будет протекать ток (замкнуты все контакты одной из двух
параллельных ветвей), и состояние 0 будет в противном случае (ток
между полюсами не протекает). Анализ переключательных схем сводится к определению логического выражения ее проводимости в зависимости от логических переменных, обозначающих
входящие в схему
переключатели, и упрощению полученного выражения.
Последовательное соединение контактов (переключателей) описывается операцией И, поскольку для протекания тока в цепи с несколькими последовательными контактами они все должны быть включены.
Пример для двух контактов приведен на рис. 9, a. Логическое выражение проводимости такой схемы:
YXX.
12
Параллельное соединение контактов описывается операцией ИЛИ,
так как для протекания тока достаточно, чтобы замкнулся хотя бы
один из параллельных контактов. Пример для двух контактов приведен
на рис. 9, a. Логическое выражение проводимости такой схемы:
YX X.
12
а б
. Последовательное и параллельное соединение
Рис. 9
контактов переключателей
48
Исходя из сказанного выше можно записать логическое выражение, описывающее работу схемы, показанной на рис. 8:
123 1 3 2
()Yxxx xx x. (5)
После получения логического выражения, описывающего работу
схемы, его, как правило, стараются максимально упростить, чтобы сократить количество переключателей. Для выражения (5):
Y xx x xx xx x x x x xx
12313121233 12
() ()xx x xx xx x
12 3 12 12 3
. (6)
Таким образом, вместо шести переключателей для описания логики работы схемы, показанной на рис. 8, достаточно оставить три.
Переключательная схема на рис. 8 может быть реализована на логических элементах (рис. 10). Упрощение выражения, описывающего
логику работы схемы, показанной на рис. 9, при помощи выражения (6) позволит использовать меньшее количество логических элементов (в
данном случае – два вместо пяти). Логическая схема для вы-
ражения (6) показана на рис. 11.
Рис. 10. Логическая схема, эквивалентная переключа-
тельной схеме на рис. 8
49
Рис. 11. Логическая схема по упрощенному
выражению (6), эквивалентная переключа тельной схеме на рис. 8
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Проанализировать заданную переключательную схему, упростить ее, оценить экономию логических элементов, полученную в результате упрощения исходной схемы.
2. Получить логическое выражение, соответствующее заданной
схеме.
3. Построить таблицу истинности полученного логического выражения.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]