Основы гидравлики и теплотехники. Учебное пособие для СПО

t

V

ср

t

V

ср

Переменный, установившийся (квазистационарный) поток движения жидкости. Квазистационарным установившимся потоком движения жидкости является поток, скорость в котором меняется в установленном порядке от времени (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Квазистационарный поток движения жидкости

Неустановившийся (нестационарный) поток движение жидкости. Неустановившимся потоком движение жидкости является поток, скорость в котором зависит только от времени (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Нестационарный поток движение жидкости

Элементарная струйка. Понятие об элементарной струйке жидкости дает возможность рассматривать группу струек, движущихся совместно. Элементарна струйка (линяя тока), рис. 2.13 может быть представлена как кривая, проходящая мгновенно совместно с такими же частицами, скорость которых направлены по касательной к этой кривой.

51

При этом установившееся движение можно представить, как совокупность

V

(t)

V

(t) V(t)

V

(t)

)(1t

V

)(2t

V

)(3t

V

)(4t

Линия тока

Траектория движения

элементарных струек (линий тока), движущихся с равными скоростями частиц, скользящими одна по другой. Линии тока в этом случае можно рассматривать как отдельные линии потока, к которым стремятся элементарные струйки при бесконечном уменьшении площадей их сечения. Такая совокупность движущихся струек образует поток жидкости.

Рис. 2.13. Линия тока и траектория движения частицы

Траектория частицы не является линией тока. В частном случае (стационарный режим движения) линия тока совпадает с траекторией и описывается функцией траектории.

Произведение площади элементарной струйки потока жидкости dω на величину локальной скорости движения U представляет некоторое количество жидкости. Это количество жидкости называется объемным элементарным расходом

dQ = Udω = const. (2.42)

Определение расхода всего потока жидкости затрудняется незнанием закона распределения скоростей по сечению.

52

В этом случае можно записать:

a b

c

П

см

= (a+b+c)

П=(А+B+C)

C

B

R

П

см

dQ =∫ωUdω. (2.43)

Предполагая толкование средней скорости потока как выражение:

Vср=∫Udω/ω=Q/ω. (2.44)

Исходя из выражения (2.44.) можно записать:

Q=ωVср. (2.45)

В отдельных случаях секундный расход жидкости измеряют в весовых единицах, в кгс/сек. Такой расход называют весовым:

G=ρωVср. (2.46)

Часть периметра поперечного сечения, образованного твердыми стенками, входящее в контакт с потоком жидкости, называется смоченным периметром. Следовательно, при напорном движении смоченный периметр меньше полного периметра поперечного сечения.

Рис. 2.14. Смоченный периметр

53

Гидравлический радиус представляют собой отношение площади

см

гэкв

П

=Rd



44

dxdydzdtu

x

dxdydtu

xx

)(







dydzdtu

x



y

Точка

0

x z

y

1

2

4

3

1

i

2i 3

4

i

x

0

поперечного сечения потока к его смоченному периметру Псм:

R=ω/Псм, (2.47)

где ω – площадь поперечного сечения; Псм – смоченный периметр.

Эквивалентный диаметр используется, как правило, в вентиляционной технике. Эквивалентный диаметр равен четырем гидравлическим радиусам.

. (2.48)

2.4.2 Уравнение неразрывности

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости или газа, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени. Это значит, что при течении жидкости должны быть соблюдены условия «неразрывности». Жидкость или газ должны двигаться в соответствующих каналах как сплошная среда без разрывов. Сформулируем это условие. Отнесм поток жидкости к системе координат x, y, z (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Расчетная схема

54

В потоке выберем точку М с координатами x, y, z. Изолируем

dxdydzdt

x

u

dydzdtu

x







dxdydzdt

x

u

dxdydzdt

x

u

dydzdtudydzdtu

x

xx















dxdydzdt

z

u

dxdydzdt

y

u

dxdydzdt

x

u

z

y

x















 

dxdydzdt

z

u

y

u

x

u

z

y

x

 



 

















.

,

.

неподвижный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy и dz. Составляющие скорости течения жидкости в точке М равны: ux – вдоль оси x, u y – вдоль оси y, uz – вдоль оси z. Через площадку параллелепипеда dydz, в течение времени dt, внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости, равная ρuxdydzdt.

Из объема параллелепипеда в течение времени dt через площадку dydz, с координатами x + dx, y, z вытекает масса жидкости, равная

. (2.49)

Следовательно, при течении жидкости с составляющей скорости ux масса жидкости в объеме dxdydz изменяется на величину

(2.50)

При прохождении жидкости через другие грани параллелепипеда масса жидкости в объеме dxdydz можно записать:

(2.51)

Суммарное изменение массы жидкости в объеме dxdydz равно:

. (2.52)

счет изменения плотности ρ за период времени dt. В общем случае плотность

Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может произойти только за

55

жидкости или газа является функцией координат x, y, z и времени t, или ρ = f(x,

 

0















z

u

y

u

x

u

t

z

y

x





 

0











z

u

y

u

x

u

z

y

x



0











z

u

y

u

x

u

y, z, t). Плотность жидкости в объеме, ограниченном dxdydz, может меняться как (∂ρ/∂t)dx, а масса жидкости в элементарном объеме за период времени dt на (∂ρ/∂t)dtdxdydz.

Для сохранения условий неразрывности жидкости должно быть соблюдено условие:

. (2.53)

Уравнение (2.53) в гидромеханике называют уравнением «неразрывности».

Если течение установившееся, то ∂ρ/∂t =0, в этом случае уравнение «неразрывности» можно представить следующим образом:

. (2.54)

В том случае, если жидкость несжимаемая ρ = const, тогда уравнение (2.54) примет вид:

. (2.55)

Рассмотрим уравнение «неразрывности» (сохранения массы движущейся жидкости) для случая течения элементарной струйки при установившемся движении. Схема течение массы жидкости в элементарной струйке представлена на рис. 2.16. Пусть сечение 1-1 трубки тока имеет площадь dω1, и в этом сечении скорость жидкости u1, а ее плотность ρ1. Площадь сечения 2-2 трубки тока равна dω2, скорость сечения жидкости u2 и ее плотность ρ2. Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через

56

сечение 1-1 в трубку тока в единицу времени поступает масса жидкости, равная

1

2

3

33



du

22



du

11



du

1 2 3

1

2

1

3

1

4

1

x

z

y

0

-dP

x

|

dP

x

u

x

dx

x

u

x





ρ1u1ω1. Через сечение 2-2 вытекает в единицу времени масса жидкости, равная ρ 2u 2ω. В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1, 2-2 и 3-3 остается постоянной, следовательно, условие «неразрывности» потока в трубке тока будет: ρu1dω1 = ρu2dω2= ρu3dω3= const, т.е. вдоль трубки тока произведение ρudω остается постоянным.

.

Рис. 2.16. Схема течения в элементарной струйке

2.4.3. Основные дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости

Рис. 2.17. Расчетная схема

57

Рассмотрим элементарный объем в потоке жидкости (рис. 2.17). Запишем

zz

yy

xx

RmJ



z

u

y

u

x

u

t

u

dt

du

J

z

u

y

u

x

u

t

u

dt

du

J

z

u

y

u

x

u

t

u

dt

du

J

z

y

z

x

zz

z

y

z

y

x

yy

y

x

z

x

y

x

xx

x

















































dxdydzm

dxdydz

z

p

dP

dxdydz

y

p

dP

dxdydz

x

p

dP

z

y

x













,

второй закон Ньютона для выделенной массы жидкости в проекции на оси xyz.

. (2.56)

где Jx, Jy, Jz – проекции ускорения; m – масса выделенного объема; Rx, Ry, Rz, – сумма сил действующих на выделенный объем.

Проекцию ускорения можно выразить как

. (2.57)

Масса выделенного объема составляет:

. (2.58)

Проекции сил давления на соответствующие оси координат можно

представить в виде:

. (2.59)

58

Массовые силы в проекциях на оси координат составят:

dxdydzZdF

dxdydzYdF

dxdydzXdF

z

y

x





z

u

y

u

x

u

t

u

Z

z

p

z

u

y

u

x

u

t

u

Y

y

p

z

u

y

u

x

u

t

u

X

x

p

z

y

z

x

z

y

z

y

x

y

x

z

x

y

x































































1

z

y

z

x

z

y

z

y

x

y

x

z

x

y

x

F

z

u

y

u

x

u

t

u

Z

z

p

F

z

u

y

u

x

u

t

u

Y

y

p

F

z

u

y

u

x

u

t

u

X

x

p

































































1

, (2.60)

где X, Y, Z – проекции ускорений на соответствующие оси координат.

Подставляя рассмотренные составляющие в систему уравнений (2.56),

получим

. (2.61)

Данная система уравнений описывает движение идеальной жидкости.

В полученную систему уравнений входит пять неизвестных составляющих – ux, uy, uz, p и ρ. Для решения указанной системы уравнений необходимо уравнение «неразрывности» и уравнение «состояния» (характеристическое уравнение).

2.4.4. Уравнение движения вязкой жидкости

Уравнения движения вязкой жидкости можно описать вышеприведенной системой уравнений (2.61) с введением в нее сил вязкости.

59

, (2.62)

где Fx, Fy, Fz – проекции сил вязкости на координатные оси, отнесенные к



 





 





































 





 





































 





 



































2

1

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

t

u

Z

z

p

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

t

u

Y

y

p

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

t

u

X

x

p

zzz

z

y

z

x

z

yyy

y

z

y

x

y

xxx

x

z

x

y

x













0











t

u

t

u

t

u

z

y

x

единице массы.

В окончательном виде уравнение (2.62) имеет вид:

(2.63)

2.4.5. Решение основного дифференциального уравнения движения невязкой жидкости в случае установившегося движения

равны нулю, т.е.

В случае установившегося движения производные скорости во времени

60

. (2.64)