Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

(𝐴+𝐴)𝑇= 𝐴+𝐴, (II)

𝐴𝐴+𝐴 = 𝐴, (III)

𝐴+𝐴𝐴+= 𝐴+. (IV)

Для любой прямоугольной матрицы 𝐴 произвольного ранга существует единственная псевдообратная матрица 𝐴+.

Непосредственно по определению проверяется, что:

1. Если 𝐴 = 𝛼 ∈ R — скаляр, то

⎧ ⎨

0, 𝛼 = 0,

𝛼+=

⎩

𝛼−1, 𝛼 = 0.

(6.1)

2. Если 𝐴 = 0 ∈ R

𝑚×𝑛

— нулевая матрица, то

0+= 0𝑇∈ R

3. Если 𝐴 = diag {𝛼1, ··· , 𝛼𝑛} ∈ R чисел 𝛼𝑖имеется 𝑛 − 𝑟 нулей), то

𝐴+= diag𝛼

4. Если 𝐴 = 𝑏 ∈ R

𝑚×1

— ненулевая матрица-столбец, то

𝑏+= (𝑏𝑇𝑏)−1𝑏𝑇, 𝑏+𝑏 = 1, (6.4)

𝑚



где |𝑏|2= 𝑏𝑇𝑏 =

5. Если 𝐴 = 𝑐𝑇∈ R

𝑖=1

1×𝑛 1

(𝑏𝑖)2.

— ненулевая матрица-строка, то

𝑛×𝑚

. (6.2)

𝑛×𝑛

— диагональная матрица (среди

𝑟

, ..., 𝛼



. (6.3)

𝑛

6. Если 𝐴 = 𝑏𝑐𝑇∈ R строку), то

(𝑐𝑇)+= 𝑐(𝑐𝑇𝑐)−1, 𝑐𝑐+= 1. (6.5)

𝑚×𝑛

— диадная матрица (произведение столбца на

𝑇

𝐴+= (𝑐𝑇)+𝑏+=

𝐴

|𝑏|2|𝑐|

. (6.6)

7. Если 𝐴 ∈ R

𝑛×𝑛

— невырожденная матрица, то

𝑛

𝐴+= 𝐴−1. (6.7)

8. Если 𝐵 ∈ R

𝑛×𝑟

— матрица полного столбцового ранга, то

𝑟

𝐵+= (𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇, 𝐵+𝐵 = 𝐼𝑟, (6.8)

𝐼𝑟— единичная матрица размера 𝑟 × 𝑟.

9. Если 𝐶 ∈ R

𝑟×𝑛

— матрица полного строчного ранга, то

𝑟

𝐶+= 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1, 𝐶𝐶+= 𝐼𝑟. (6.9)

10. Если 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ R

𝑚×𝑛

, 𝐵 ∈ R

𝑟

матрицы 𝐴), то

𝐴+= 𝐶+𝐵+= 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1(𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇= 𝐶𝑇(𝐵𝑇𝐴𝐶𝑇)−1𝐵𝑇. (6.10)

11. Если 𝐴 =



𝐴

. 0



— блочная матрица, то

𝑚×𝑟

, 𝐶 ∈ R

𝑟

𝑟×𝑛

(скелетное разложение

𝑟

12. Если 𝐴 =

⎛

𝐴

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

. 0

. 𝐴

⎞

⎟ ⎟ ⎠

, то

𝐴+=

⎛

⎜

𝐴+=

⎜ ⎝

⎛

𝐴

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝐴

. . .

. 0

. 𝐴

⎞

⎟ ⎟

. (6.11)

⎠

⎞

⎟ ⎟

. (6.12)

⎠

+ 2

13. Если 𝐴 =

⎛

⎜ ⎜ ⎝

𝐴

. . .

𝐴

⎞

⎟ ⎟

, 𝐴1∈ R

⎠

𝑟×𝑟

, rg𝐴 = rg𝐴1= 𝑟, то

𝑟

14. Если 𝐴 =

15. Если 𝐴 =

𝐴+= (𝐴



𝐴

. 𝐴

⎛

𝐴

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝐴

. 𝐴

𝐴22= 𝐴21𝐴

𝑇



, 𝐴1∈ R

𝐴+=

⎞

⎟ ⎟ ⎠

−1

𝐴12, 𝐴 =

𝐴1+ 𝐴

𝑟×𝑟 𝑟

⎛

⎞

𝑇

𝐴

⎜

⎟

⎜

⎟

𝑇

⎠

(𝐴1𝐴

⎝

. . .

𝐴

, 𝐴11∈ R

⎛

⎜ ⎜ ⎝

𝑇

𝐴2)

−1



𝐴

𝑇

. 𝐴



𝑇

. (6.13)

, rg𝐴 = rg𝐴1= 𝑟, то

𝑇

+ 𝐴2𝐴

𝑟×𝑟

, rg𝐴 = rg𝐴11= 𝑟, то

𝑟

𝑇

)−1. (6.14)

⎞

𝐴

. . .

⎟ ⎟ ⎠

𝐴

−1 11



𝐴

. 𝐴



, (6.15)

⎛

⎜ ⎜ ⎝

𝐴

. . .

𝐴

𝑇

⎞

⎟ ⎟ ⎠

(𝐴11𝐴

Соотношения (6.1-6.3) очевидны. Для обоснования (6.4) проверим опре-

деляющие соотношения:

(𝑏+𝑏)𝑇= 1 = 𝑏+𝑏, 𝑏𝑏+𝑏 = 𝑏 · 1, 𝑏+𝑏𝑏+= 1 ·𝑏+.



𝐴+=

𝑇

+ 𝐴12𝐴

(𝑏𝑏+)𝑇=

𝐴

𝑇

)−1𝐴11(𝐴



. 𝐴

𝑏𝑏 |𝑏|

𝐴

⎛



𝑇



𝑇

⎜ ⎜

𝐴

⎝

𝐴11+ 𝐴

𝑇

𝑏𝑏

= 𝑏𝑏+,

|𝑏|

𝐴

. . .

𝐴

⎞

⎟ ⎟ ⎠

𝑇

𝐴21)

−1



𝐴

𝑇

. 𝐴

𝑇



Аналогично обосновываются (6.5) и (6.6); (6.7) очевидно. Для обосно-

вания (6.8) проверим определяющие соотношения:

(𝐵𝐵+)𝑇= (𝐵(𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇)𝑇= 𝐵(𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇= 𝐵𝐵+,

(𝐵+𝐵)𝑇= ((𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇𝐵)𝑇= 𝐼𝑟= 𝐵+𝐵,

𝐵𝐵+𝐵 = 𝐵𝐼𝑟, 𝐵+𝐵𝐵+= 𝐼𝑟𝐵+.

Аналогично обосновываются (6.9) и (6.10); (6.11) и (6.12) очевидны. Соотношения (6.13) и (6.14) непосредственно следуют из (6.8) и (6.9). Для обоснования (6.15) заметим, что в силу сделанных предположений, соотношение

𝐴 =

⎛

⎜ ⎜ ⎝

𝐴

. . .

𝐴

⎞

⎟ ⎟ ⎠

𝐴

−1 11



𝐴

. 𝐴



является скелетным разложением, а потому результат следует из (6.10), (6.13) и (6.14).

§ 7. Свойства псевдообратных матриц

1. (𝐴+)+= 𝐴

Здесь и далее доказательства свойств псевдообратных матриц опираются на непосредственную проверку определяющих соотношений (I-IV) МураПенроуза или на использование скелетного разложения (6.10).

Положим 𝐴+= 𝐵; тогда определяющие соотношения для 𝐴+как псевдообратной к 𝐴 определяет 𝐴 как псевдообратную к 𝐵:

(𝐴𝐵)𝑇= 𝐴𝐵, (𝐵𝐴)𝑇= 𝐵𝐴, 𝐴𝐵𝐴 = 𝐴, 𝐵𝐴𝐵 = 𝐵.

Тем самым 𝐴 = 𝐵+= (𝐴+)+.

2. (𝛼𝐴)+= 𝛼+𝐴

Если 𝛼 = 0, то 𝛼𝐴 = 0, 𝛼+= 0, 0+= 0 в силу (6.1)-(6.2), поэтому

(𝛼𝐴)+= 0+= 0 = 0 · 𝐴+= 𝛼+𝐴+. Если 𝛼 = 0, то с учётом 𝛼+= 𝛼−1(6.1),

определяющие соотношения для (𝛼𝐴)+снова являются переформулировкой определяющих соотношений для 𝐴+.

3. (𝐴𝑇)+= (𝐴+)

𝑇

Проверяя определяющие соотношения для (𝐴𝑇)+, убеждаемся, что все они получаются транспонированием определяющих соотношений для 𝐴+, например:

(𝐴+𝐴)𝑇= 𝐴+𝐴 ⇒ (𝐴𝑇(𝐴+)𝑇)𝑇= 𝐴𝑇(𝐴+)𝑇,

𝐴𝐴+𝐴 = 𝐴 ⇒ 𝐴𝑇(𝐴+)𝑇𝐴𝑇= 𝐴𝑇,

откуда и заключаем, что (𝐴𝑇)+= (𝐴+)𝑇.

4. 𝐴𝑇= 𝐴 ⇒ (𝐴+)𝑇= 𝐴+, 𝐴𝐴+= 𝐴+𝐴

В силу предыдущего свойства (𝐴+)𝑇= (𝐴𝑇)+= 𝐴+, если 𝐴𝑇= 𝐴.

5. 𝐴𝑇= 𝐴, 𝐴 ≥ 0 ⇒ 𝐴+≥ 0

Применяя определение неотрицательно определенной матрицы 𝐴 при

𝑥 = 𝐴+𝑦 и произвольном 𝑦, свойство 4 и определяющее соотношение (IV), получим

0 ≤ 𝑥𝑇𝐴𝑥 = 𝑦𝑇(𝐴+)𝑇𝐴𝐴+𝑦 = 𝑦𝑇𝐴+𝐴𝐴+𝑦 = 𝑦𝑇𝐴+𝑦,

что и означает неотрицательную определенность 𝐴+.

6. 𝐴𝑇= 𝐴, 𝐴 ≥ 0, 𝐴 = 𝐶𝑇𝐶 ⇒ 𝐴+= 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−2𝐶

При доказательстве данного свойства имеется в виду, что 𝐴 ∈ R и 𝑟 < 𝑛 (иначе 𝐴 невырождена и 𝐴+= 𝐴−1); 𝐶 ∈ R

𝑟×𝑛

– любая матрица,

𝑟

удовлетворяющая разложению 𝐴 = 𝐶𝑇𝐶; в этом случае 𝐶𝐶𝑇∈ R

𝑟×𝑟 𝑟

𝑛×𝑛 𝑟

невы-

рождена, а разложение может рассматриваться как скелетное, в силу чего

𝐴+= 𝐶+(𝐶𝑇)+= 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1((𝐶𝑇)𝑇𝐶𝑇)−1(𝐶𝑇)𝑇= 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−2𝐶.

7. 𝑃𝑇= 𝑃 , 𝑃2= 𝑃 ⇒ 𝑃 = 𝑃

Непосредственная проверка определяющих соотношений с учётом требований к 𝑃 даёт: для соотношения (I) (𝑃𝑃 )𝑇= (𝑃2)𝑇= 𝑃𝑇= 𝑃 = 𝑃 𝑃 ; для соотношения (III) 𝑃𝑃 𝑃 = 𝑃2𝑃 = 𝑃 𝑃 = 𝑃2= 𝑃 .

Соотношения (II) и (IV) проверяются аналогично.

8. 𝐴𝑇= 𝐴𝑇𝐴𝐴+= 𝐴+𝐴𝐴

𝑇

В силу определяющих соотношений

𝐴𝑇= (𝐴𝐴+𝐴)𝑇= 𝐴𝑇(𝐴𝐴+)𝑇= 𝐴𝑇𝐴𝐴+= (𝐴+𝐴)𝑇𝐴𝑇= 𝐴+𝐴𝐴𝑇.

9. (𝐴𝑇𝐴)+= 𝐴+(𝐴𝑇)+, (𝐴𝐴𝑇)+= (𝐴𝑇)+𝐴

Проверим определяющие соотношения для (𝐴𝑇𝐴):

𝐴𝑇𝐴𝐴+(𝐴𝑇)+𝐴𝑇𝐴 = 𝐴𝑇𝐴𝐴+(𝐴+)𝑇𝐴𝑇𝐴 = 𝐴𝑇(𝐴𝐴+)𝑇𝐴 = 𝐴𝑇𝐴𝐴+𝐴 = 𝐴𝑇𝐴,

𝐴𝑇𝐴𝐴+(𝐴𝑇)+= 𝐴𝑇(𝐴𝑇)+= 𝐴𝑇(𝐴+)𝑇= (𝐴+𝐴)𝑇= 𝐴+𝐴

– симметрична (остальные проверяются аналогично). Второе равенство доказывается аналогично.

10. 𝐴+= 𝐴+(𝐴+)𝑇𝐴𝑇= 𝐴𝑇(𝐴+)𝑇𝐴+= (𝐴𝑇𝐴)+𝐴𝑇= 𝐴𝑇(𝐴𝐴𝑇)

Два первых равенства доказываются аналогично доказательства свойства 8 с использованием определяющих соотношений, например:

𝐴+= 𝐴+𝐴𝐴+= (𝐴+𝐴)𝑇𝐴+= 𝐴𝑇(𝐴+)𝑇𝐴+.

Для проверки равенства (III) используем (II), а также свойства 3 и 9:

𝐴+= 𝐴+(𝐴+)𝑇𝐴𝑇= 𝐴+(𝐴𝑇)+𝐴𝑇= (𝐴𝑇𝐴)+𝐴𝑇. Четвёртое равенство доказывается аналогично.

11. (𝐴𝐴+)+= 𝐴𝐴+, (𝐴+𝐴)+= 𝐴+𝐴

Равенства доказываются непосредственной проверкой определяющих соотношений для 𝐴𝐴+, 𝐴+𝐴, например:

(𝐴𝐴+𝐴𝐴+)𝑇= (𝐴𝐴+)𝑇= 𝐴𝐴+= 𝐴𝐴+𝐴𝐴+, 𝐴𝐴+𝐴𝐴+𝐴𝐴+= 𝐴𝐴+.

12. (𝐴𝐴+)2= 𝐴𝐴+,

(𝐴+𝐴)2= 𝐴+𝐴,

(𝐼 − 𝐴𝐴+)2= 𝐼 − 𝐴𝐴+,

(𝐼 − 𝐴+𝐴)2= 𝐼 − 𝐴+𝐴.

Равенства следуют непосредственно из определяющих соотношений для

𝐴+, например:

(𝐴𝐴+)2= 𝐴𝐴+𝐴𝐴+= 𝐴𝐴+, (𝐼 − 𝐴+𝐴)2= (𝐼 − 𝐴+𝐴)(𝐼 − 𝐴+𝐴) =

= 𝐼 − 𝐴+𝐴 − 𝐴+𝐴 + 𝐴+𝐴𝐴+𝐴 = 𝐼 − 𝐴+𝐴 − 𝐴+𝐴 + 𝐴+𝐴 = 𝐼 − 𝐴+𝐴.

13. 𝐴 = 𝑈𝐵𝑉𝑇, 𝑈𝑇𝑈 = 𝐼, 𝑉𝑇𝑉 = 𝐼, 𝐴+= 𝑉 𝐵+𝑈𝑇; rg𝐴 = 𝑟,



𝐵10

𝐵 =

0 0

Непосредственная проверка определяющих соотношений с учётом требований к 𝐴, 𝑈 , 𝑉 даёт:

для (I) (𝑈𝐵𝑉𝑇𝑉 𝐵+𝑈𝑇)𝑇= (𝑈𝐵𝐵+𝑈𝑇)𝑇= 𝑈(𝐵𝐵+)𝑇𝑈𝑇= 𝑈𝐵𝐵+𝑈𝑇,

для (II) (𝑉 𝐵+𝑈𝑇𝑈𝐵𝑉𝑇)𝑇= (𝑉 𝐵+𝐵𝑉𝑇)𝑇= 𝑉 (𝐵+𝐵)𝑇𝑉𝑇= 𝑉 𝐵+𝐵𝑉𝑇,

для (III) 𝑈𝐵𝑉𝑇𝑉 𝐵+𝑈𝑇𝑈𝐵𝑉𝑇= 𝑈𝐵𝐵+𝐵𝑉𝑇= 𝑈𝐵𝑉𝑇,

для (IV) 𝑉 𝐵+𝑈𝑇𝑈𝐵𝑉𝑇𝑉 𝐵+𝑈𝑇= 𝑉 𝐵+𝐵𝐵+𝑈𝑇= 𝑉 𝐵+𝑈𝑇.

14. det 𝑄 = 0 ⇒ (𝑄𝐴)+𝑄𝐴 = 𝐴+𝐴, 𝐴𝑄(𝐴𝑄)+= 𝐴𝐴+;

𝑄 ∈ R

𝑟×𝑚

, 𝐴 = 𝐵𝐶, 𝑄𝐵 ∈ R

𝑟 𝑛×𝑟

, 𝐴 = 𝐵𝐶, 𝐶𝑄 ∈ R

𝑟

Если 𝐴 = 𝐵𝐶 – скелетное разложение для 𝐴, то^𝐴 = 𝑄𝐴 = 𝑄𝐵𝐶 =



, 𝐵1∈ R



𝑟×𝑟

⇒ 𝐴+= 𝑉

𝑟

𝑟×𝑟

⇒ (𝑄𝐴)+𝑄𝐴 = 𝐶+𝐶,

𝑟

𝑟×𝑟

⇒ 𝐴𝑄(𝐴𝑄)+= 𝐵𝐵

𝑟

−1

𝐵

0 0



𝑈𝑇.

=^𝐵𝐶 – скелетное разложение для^𝐴 (умножение матрицы на невырожденную не меняет ранга исходной); поэтому выражения

𝐴+𝐴 = 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1(𝐵𝑇𝐵)−1𝐵𝑇𝐵𝐶 = 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1𝐶,

𝐴

𝐴 = 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1(𝐵𝑇𝑄𝑇𝑄𝐵)−1𝐵𝑇𝑄𝑇𝑄𝐵𝐶 = 𝐶𝑇(𝐶𝐶𝑇)−1𝐶

совпадают. Аналогично доказывается второе равенство.

15. 𝐴 ∈ R

𝑚×𝑛

, 𝑈 ∈ R

𝑟

𝑚×(𝑚−𝑟) 𝑚−𝑟

, 𝑉 ∈ R

𝑚×(𝑛−𝑟) 𝑛−𝑟

, 𝐴𝑇𝑈 = 0, 𝐴𝑉 = 0

⇒ 𝐼 − 𝐴+𝐴 = 𝑉 𝑉+, 𝐼 − 𝐴𝐴+= 𝑈𝑈+,

⎛

𝐴

. 𝑈

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝑉

𝑇

. 0

⎞

⎟ ⎟ ⎠

−1

⎛

𝐴

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝑈

. (𝑉𝑇)

. 0

⎞

⎟ ⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎜ ⎝

𝐴

. . . . . . . . .

(𝑈𝑇𝑈)−1𝑈

𝑇

. 𝑉 (𝑉𝑇𝑉 )

. 0

−1

⎞

⎟ ⎟ ⎠

Как известно, для любой матрицы 𝐻 матрица 𝐻𝐻+ортогонально проектирует на образ 𝐻, матрица 𝐼 − 𝐻+𝐻 ортогонально проектирует на ядро 𝐻, а матрица 𝐼 − 𝐻𝐻+ортогонально проектирует на ядро 𝐻𝑇, причём эти ортогональные проекторы единственны.

Так как по условию 𝐴𝑉 = 0, то образ 𝑉 совпадает с ядром 𝐴. Матрица

𝑉 𝑉+ортогонально проектирует на образ 𝑉 , а значит – на ядро 𝐴. Поэтому

𝑉 𝑉+совпадает с 𝐼 − 𝐴+𝐴, чем доказано первое равенство.

Так как по условию 𝐴𝑇𝑈 = 0, то образ 𝑈 совпадает с ядром 𝐴𝑇. Матрица 𝑈𝑈𝑇ортогонально проектирует на образ 𝑈, а значит – на ядро 𝐴𝑇. Поэтому 𝑈 𝑈𝑇совпадает с 𝐼 − 𝐴𝐴+, чем доказано второе равенство.

Для доказательства третьего равенства проверим сначала, что

⎛

𝐴

. 𝑈

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝑉

𝑇

. 0

⎞

⎟ ⎟ ⎠

⎛

𝐴

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

𝑈

. (𝑉𝑇)

. 0

Действительно,

1) 𝐴𝐴++ 𝑈𝑈+= 𝐼 в силу второго равенства;

2) 𝐴(𝑉𝑇)+= (𝐴𝑉+)𝑇= 𝐴(𝑉+(𝑉+)𝑇𝑉𝑇)𝑇= 𝐴𝑉 𝑉+(𝑉+)𝑇= 0 в силу

𝐴𝑉 = 0 (здесь использовано свойство 10);

3) 𝑉𝑇𝐴+= 𝑉𝑇𝐴+𝐴𝐴 = 𝑉𝑇(𝐴+𝐴)𝑇𝐴+= 𝑉𝑇𝐴𝑇(𝐴+)𝑇𝐴+= 0 в силу

𝑉𝑇𝐴𝑇= 0;

4) 𝑉𝑇(𝑉𝑇)+= 𝑉𝑇(𝑉+)𝑇= (𝑉+𝑉 )𝑇= 𝐼, так как 𝑉 – матрица полного

столбцового ранга (см. (6.8)).

Теперь проверим, что

⎞

⎟ ⎟ ⎠

⎛

𝐼

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

. 0

. 𝐼

⎞

⎟ ⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎜ ⎝

Действительно,

1) 𝐴+𝐴 + (𝑉+)𝑇𝑉𝑇= 𝐴+𝐴 + (𝑉 𝑉+)𝑇= 𝐴+𝐴 + 𝑉 𝑉+= 𝐼 в силу первого

равенства;

2) 𝐴+𝑈 = 𝐴+𝐴𝐴+𝑈 = 𝐴+(𝐴𝐴+)𝑇𝑈 = 𝐴+(𝐴+)𝑇𝐴𝑇𝑈 = 0 в силу

𝐴𝑇𝑈 = 0;

3) 𝑈+𝐴 = 𝑈+(𝑈+)𝑇𝑈𝑇𝐴 = 0 в силу 𝑈𝑇𝐴 = 0 (здесь использовано

свойство 10);

4) 𝑈+𝑈 = 𝐼, так как 𝑈 – матрица полного столбцового ранга.

𝐴

. (𝑉𝑇)

. . . . . . . . .

𝑈

. 0

⎞

⎛

⎟

⎜

⎟

⎜

⎠

. . . . . . . . .

⎝

𝑉

𝐴

𝑇

. 𝑈

. 0

⎞

⎟ ⎟ ⎠

⎛

𝐼

⎜ ⎜

. . . . . . . . .

⎝

. 0

. 𝐼

⎞

⎟ ⎟ ⎠

§ 8. Рекуррентные алгоритмы псевдообращения

Алгоритм Фаддеева

Пусть 𝐴 ∈ R

𝑚×𝑛

. Тогда матрица 𝐴+∈ R

𝑟

помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. Φ1= 𝐼, 𝜙1= tr(𝐴𝑇𝐴).

Пусть после шага 𝑘 − 1 получены матрицы Φ

Шаг 𝑘. Φ𝑘= 𝜙

𝐼 − 𝐴𝑇𝐴Φ

𝑘−1

tr(𝐴𝑇𝐴Φ𝑘)

𝜙𝑘=

, 𝑘 = 2, . . . , 𝑙,

𝑘

где 𝑙 – наибольшее число, для которого 𝜙𝑙= 0.

Шаг 𝑙. 𝜙

−1

Φ𝑙𝐴𝑇= 𝐴+, 𝑟 = rg𝐴 = 𝑙.

𝑙

Целочисленный алгоритм Фаддеева

Пусть 𝐴 ∈ Z

𝑚×𝑛 𝑟

, Q

𝑛×𝑚 𝑟

∋ 𝐴 =

, 𝜙 ∈ Z, Φ ∈ Z

𝜙

Тогда целочисленная матрица Φ и целое число 𝜙 могут быть определе-

𝑛×𝑚

может быть определена с

𝑟

и число 𝜙

𝑘−1

𝑛×𝑚 𝑟

𝑘−1

ны с помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. Φ1= 𝐼, 𝜙1= tr(𝐴𝑇𝐴).

Пусть после шага 𝑘 −1 получены целочисленная матрица Φ число 𝜙

Шаг 𝑘. Φ𝑘= 𝜙

𝑘−1



𝐼 − 𝐴𝑇𝐴Φ



𝑘−1

и целое

tr(𝐴𝑇𝐴Φ𝑘)

𝜙𝑘= div

, 𝑘 = 2, . . . , 𝑙,

𝑘

где 𝑙 - наибольшее число, для которого 𝜙𝑙= 0.

Шаг 𝑙. Φ𝑙𝐴𝑇= Φ, 𝜙𝑙= 𝜙, 𝑟 = rg𝐴 = 𝑙.

Здесь и далее символическое обозначение div определяет операцию деления нацело. В результате подачи на вход алгоритма целочисленной матрицы 𝐴 получим целочисленную псевдоприсоединённую матрицу Φ и целочис-

ленный псевдоопределитель 𝜙, доставляющие 𝐴+=

𝜙

Алгоритм Гревиля

Пусть 𝐴 ∈ R



𝐴𝑘=

𝑎

. 𝑎

Тогда матрица 𝐴+∈ R щего алгоритма.

Шаг 1. 𝐴

Пусть после шага 𝑘 − 1 получена матрица 𝐴

Шаг 𝑘. 𝐴

где 𝑓𝑘=

Шаг 𝑛. 𝐴

𝑚×𝑛

, 𝑎𝑘− 𝑘-й столбец матрицы 𝐴, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛,

𝑟

. . . .

. 𝑎

⎧ ⎪

⎪

⎨

𝑇

𝑎

𝑘

⎪

⎩

𝑑𝑘= 1 + |𝐴

(𝐴

=

𝑘

𝑛×𝑚 𝑟

+ 1

𝑘

𝐶

𝑘

|𝐶𝑘|

)𝑇𝐴

𝑘−1

𝑑

𝑘



𝐴

𝑘−1

. 𝑎

, 𝑘 = 2, . . . , 𝑛, 𝐴1= 𝑎1, 𝐴𝑛= 𝐴.

𝑘

может быть вычислена с помощью следую-

⎧ ⎪

⎨

0, 𝑎1= 0,

𝑇

, 𝐶𝑘= (𝐼 − 𝐴

𝑘−1

𝑇

𝑎

⎪

⎩

⎛

⎜ ⎜ ⎝

+ 𝑘−1

, 𝑎1= 0.

|𝑎1|

𝑘−1

⎞

⎟ ⎟ ⎠

𝐴

+ 𝑘−1

(𝐼 − 𝑎𝑘𝑓𝑘)

. . .

𝑓

𝑘

, 𝐶𝑘= 0,

+ 𝑘−1

𝑎𝑘|2, 𝑘 = 2, . . . , 𝑛.

= 𝐴+.

𝑛

)𝑎𝑘= 0,

Целочисленный алгоритм Гревиля

Пусть 𝐴 ∈ Z

𝑚×𝑛 𝑟

, Q

𝑛×𝑚 𝑟

∋ 𝐴+=

Тогда целочисленная матрица 𝑇 и целое число 𝑡 могут быть определены с помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. 𝑇1= 𝑎

Пусть после шага 𝑘 − 1 получены целочисленная матрица 𝑇 число 𝑡

𝑘−1

Шаг 𝑘. 𝑇𝑘=

⎛

⎜ ⎜ ⎜

div

⎝

𝑇

, 𝑡 ∈ Z, 𝑇 ∈ Z

𝑡

𝑇

, 𝑡1= |𝑎1|2, 𝑎1= 0.



𝑇

𝑘−1(𝑡𝑘

𝐼 − 𝑎𝑘𝐹𝑘)

𝑡

𝑘−1

. . .

𝐹

𝑘



⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

𝑛×𝑚 𝑟

и целое

𝑘−1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]