Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии. Учебное пособие
.pdf
⎡
1 1 ... 1
⎢
⎢
1 1 ... 1
15. Докажите 𝐽
𝑚×𝑛
=
⎢
⎢
⎢
⎣
.
.
.
1 1 ... 1
16. Докажите 𝐾2=
17. Докажите
.
.
.
1 −1
−1 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
.
.
⎥
.
⎦
, 𝐽
, 𝐾
+
𝑚×𝑛
+
2
=
=
1
𝐾2.
4
1
𝑚 − 𝑛
𝐽
𝑛×𝑚
.
.
𝑚
.
. 𝐼
𝐼
.
.
. ...
𝑚
18. Докажите
⎡
𝐼
⎢
⎢
... ... ... ... ...
⎣
𝑚
1 1 ... 1 1
19. Вычислите
⎛
−1 0 1 2
⎜
⎜
−1 1 0 −1
⎜
⎜
⎜
0 −1 1 3
⎜
⎜
0 1 −1 −3
⎜
⎜
⎜
1 −1 0 1
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎦
+
.
.
.𝐼
𝑚
+
=
𝑚 + 1
+
=
1
⎛
1
𝐼
𝑛
𝑚
.
.
. 𝐼
.
.
. ...
𝑚
⎡
𝑚 −1 ... −1
⎢
⎢
−1 𝑚 ... −1
⎢
⎢
⎢
⎣
.
.
.
.
.
.
.
.
−1 −1 ... 𝑚
𝑇
.
.
.𝐼
𝑚
.
⎤
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⎥
⎥
1
⎥
.
⎥
.
.
⎥
.
⎦
1
⎞
−15 18 3 −3 18 15
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
=
1
102
⎜
⎜
8 13 −5 5 −13 −8
⎜
⎜
⎜
7 5 2 −2 −5 −7
⎝
6 −3 9 9 3 −6
1 0 −1 2
20. Вычислите
⎛
1 0 0 0 0
⎜
⎜
0 1 0 0 0
⎜
⎜
⎜
83 −47 1 0 0
⎜
⎜
−55 94 0 1 0
⎝
62 −71 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
=
171
⎛
1 0 0 0 0
⎜
⎜
0 1 0 0 0
⎜
⎜
⎜
−83 47 1 0 0
⎜
⎜
55 −94 0 1 0
⎝
−62 71 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Часть 3. Содержательные задачи
Задача 1. Водный инспектор получил задание поставить опознава-
тельный знак на самом глубоком месте некоего водоёма. Площадь водоёма
представляет собой систему координат. Известно, что дно водоёма на всей
его площади может быть описано функцией
𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥
2
+ 2𝑥1𝑥2+ 𝑏𝑥
1
2
− 2𝑥1− 3𝑥2,
2
указывающей глубину в метрах над уровнем моря. Найдите координаты места, в котором инспектору необходимо поставить этот опознавательный знак.
Вариант 𝑎 𝑏 Вариант 𝑎 𝑏 Вариант 𝑎 𝑏 Вариант 𝑎 𝑏
1 1 2 6 2 1 11 3 1 16 4 1
2 1 3 7 2 2 12 3 2 17 4 2
3 1 4 8 2 3 13 3 3 18 4 3
4 1 5 9 2 4 14 3 4 19 4 4
5 1 6 10 2 5 15 3 5 20 5 1
Задача 2. Перед государственной инспекцией безопасности дорожного
движения была поставлена задача соединить две автомагистрали. Местность
представляет собой систему координат. Известно, что одна автомобильная
магистраль приближённо представляет собой параболу 𝑎𝑥
2
−𝑥2= 0, а другая
1
прямую 𝑥1− 𝑥2+ 𝑎 = 0. Определите такое соединение автомагистралей, при
котором государство понесёт наименьшие затраты.
Вариант 𝑎 Вариант 𝑎 Вариант 𝑎 Вариант 𝑎
1 0 6 -3 11 -4 16 4,5
2 1 7 -2 12 2,5 17 -4,5
3 -1 8 5 13 -0,5 18 2,25
4 2 9 5,5 14 0,5 19 -2,25
5 3 10 -1,5 15 5 20 -0,75
172
Задача 3. При изучении объёмных фигур по геометрии преподаватель
в качестве домашнего задания задал своим ученикам собрать усечённую пирамиду с квадратным основанием (𝑥1и 𝑥2– рёбра квадратов оснований) так,
чтобы её объём был максимальный, а высота пирамиды составила 𝑐 см. Для
этого нужно найти максимум функции
𝑓(𝑥1, 𝑥2) =
𝑐 (𝑥1+ 𝑥2+√𝑥1𝑥2) .
3
Найдите соответствующие длины рёбер квадратов оснований.
Вариант 𝑎 Вариант 𝑎 Вариант 𝑎 Вариант 𝑎
1 15 6 38 11 56 16 17
2 18 7 90 12 72 17 27
3 25 8 45 13 64 18 31
4 21 9 10 14 30 19 53
5 54 10 74 15 40 20 89
Задача 4. Эллиптический параболоид имеет структуру
𝑓(𝑥) = (𝑥1− 𝑝)2+ (𝑥2− 𝑞)2.
1
Определите точку минимума параболоида численно и сравните достоверность
полученного результата с аналитически вычисленным оптимумом.
Вариант 𝑝 𝑞 Вариант 𝑝 𝑞
1 2 3 11 11 5
2 -1 4 12 9 2
3 6 7 13 1 5
4 3 2 14 -6 0
5 -5 3 15 4 4
6 4 5 16 9 3
7 1 3 17 -2 4
8 7 2 18 -1 3
9 2 2 19 -3 5
10 -7 4 20 6 -2
173
Задача 5. На околоземной орбите находится спутник.
Уравнение орбиты (𝑥 − 𝑎)2+ (𝑦 − 𝑏)2+ (𝑧 − 𝑐)2− 100𝑑2= 0. Со спутником
должна состыковаться ракета. Найдите точку стыковки, если спутник может
свободно перемещаться по орбите, а траектория ракеты описывается системой
⎧
⎨
𝑎𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0,
⎩
𝑐𝑥 + 𝑏𝑑𝑦 + (𝑎 + 𝑏)𝑧 + 𝑎 = 0.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥
(0)
0
1 0,5 1 10 4 0,5 1 0,5
2 2 1 4,5 3,5 2 5 3
3 3 4 0,5 2 0,5 1,5 2,5
4 2 1 3 5 2 -0,5 2
5 7 -5 5 2,5 11 5 3
6 5 2,5 3,5 3 2 4 4,5
7 0,5 2 0,5 2,5 5 5,5 2
8 -0,5 1,5 3 2 2,5 4 5,5
9 2,5 2 2 3,5 26 5 3
(0)
𝑥
1
(0)
𝑥
2
10 2,5 2 1 1,5 4 -0,5 1,5
11 0,5 1 -0,5 0,5 2 1,5 5
12 1,5 2 3 2 2 3 2,5
13 3 5,5 2 2,5 -5 0,5 1
14 10 5 1 6 1 0,5 1,5
15 2 1 -0,5 -5 2,5 2 5
16 1 3 4 4 2 11 2,5
17 3 7 11 3 2 5 1
18 2 9 10 1 1 5,5 1,5
19 6 4 4 1 10 1 -0,5
20 7 6 11 2 1 1,5 3,5
174
Задача 6. Кривая спроса описывается функцией −exp(𝑥0) + 𝑎𝑏𝑥1= 0.
Кривая предложения – 𝑐𝑥0+ 𝑑𝑥1+ 𝑐𝑑 = 0. Найдите оптимальную цену.
Вар. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥
(0)
0
(0)
𝑥
Вар. 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥
1
(0)
0
1 1,5 2 3 2 2 3 11 2,5 2 2 3,5 26 5
2 3 5,5 2 2,5 -5 0,5 12 2,5 10 3,5 4 1 8
3 2 3 1 2,5 -6 11 13 2 11 1,5 1 5 3
4 2 1 -0,5 -5 16 15 14 4 2 -1 2 7,5 1
5 1 3 4 4 1 0,5 15 2 1 2 3,5 4 1,5
6 3 7 11 3 5 3 16 2 1,5 -5 0,5 4,5 4
7 2 2 3 4 16 15 17 -5 5 10 2 1 7
8 -9 2,5 7 3 3 15 18 1 6 -0,5 -1 2 4,5
9 0,5 2 0,5 2,5 5 5,5 19 7 11 3 2 5 1
10 -0,5 1,5 3 2 2,5 4 20 9 10 1 1 5,5 1,5
Задача 7. Для построения графика корневого годографа необходимо
(0)
𝑥
1
найти точки пересечения с мнимой осью. Решите систему уравнений
⎧
⎨
𝑈(𝑤) = 𝑎𝑤2+ 𝑏𝑘 = 0,
⎩
𝑉 (𝑤) = 𝑐𝑤 − 𝑤3= 0.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥
(0)
0
(0)
𝑥
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥
1
(0)
0
1 2 3 4 2 10 11 2 10 6 4,5 1,5
2 5,5 2 0,5 3 4,5 12 1,5 1,5 5 16 5
3 3 3 -0,5 1,5 0,5 13 4 3 2 1 2,5
4 4,5 1 2,5 16 3 14 -0,5 15 3,4 5 2
5 7,5 2 2,5 2 5 15 3 4 4 1 0,5
6 3,5 4 2 7 3,5 16 7 11 3 5 3
7 1 2,5 4 5 0,5 17 2 3 4 16 15
8 15 4,5 4,5 4 3 18 2 4,5 2 -1 2
(0)
𝑥
1
9 3 7 7 3,5 5,5 19 1 1,3 1 2 3,5
10 16 9,5 8 16 3 20 4 7,8 1,5 -5 0,5
175
Задача 8. Река Ока впадает в реку Волга. Русло Волги описывается
1
функцией 𝑎(|𝑥0+ 𝑏|)
2
+ 𝑐𝑥1= 0. Русло Оки описывается функцией 𝑎 exp(𝑥0)+
+𝑐𝑥1= 0. Найдите координаты точки впадения Оки в Волгу.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥
(0)
0
(0)
𝑥
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥
1
1 2 3 4 2 10 11 4,4 10 3,4 10 1,5
2 5,5 2 0,5 3 4,5 12 5 2,5 3,5 3 2
3 2 11 1,5 1 5 13 0,5 2 0,5 2,5 5
4 4,5 2 -1 2 7,5 14 -0,5 1,5 3 2 2,5
5 2 1 2 3,5 4 15 2,5 2 2 3,5 26
6 3,5 4 2 4 3,5 16 5 3 4,8 3 6
7 1 2,5 8,5 2,5 0,5 17 2,4 7 2,9 5,1 7,5
8 2,5 4,5 6 4,5 3 18 3,4 4,5 2 -1 2
9 2,5 7 5,5 7 5,5 19 4,9 1,3 1 2 3,5
10 2 9,5 2 9,5 3 20 4,8 7,8 1,5 -5 0,5
Часть 4. Тестовые функции
(0)
0
(0)
𝑥
1
Далее приведены тестовые задачи, каждая из которых подходит для
безусловной минимизации, решения систем нелинейных уравнений и нелинейных задач о наименьших квадратах. Решения многих из этих задач могут
быть найдены при различных значениях 𝑛. Для каждой задачи указана точка
оптимума 𝑥*.
Расширенная функция Розенброка
𝑛
𝑛 – любое положительное число, кратное 2, для 𝑖 = 1, ...,
𝑓
(𝑥) = 10(𝑥2𝑖− 𝑥
2𝑖−1
2
), 𝑓2𝑖(𝑥) = 1 −𝑥
2𝑖−1
2𝑖−1
;
:
2
𝑥*= (1, 1, ..., 1, 1).
Расширенная обобщённая функция Пауэлла
𝑛
𝑛 – любое положительное число, кратное 4, для 𝑖 = 1, ...,
:
4
𝑓
4𝑖−3
𝑓
4𝑖−1
(𝑥) = 𝑥
(𝑥) = (𝑥
4𝑖−3
4𝑖−2
+ 10𝑥
4𝑖−2
, 𝑓
(𝑥) =√5(𝑥
4𝑖−2
− 2𝑥4𝑖)2, 𝑓4𝑖(𝑥) =√10(𝑥
4𝑖−1
4𝑖−3
− 𝑥4𝑖),
− 𝑥4𝑖)2;
𝑥*= (0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0, 0).
176
Функция Вуда
𝑛 = 4,
𝑓(𝑥) = 100(𝑥
2
− 𝑥2)2+ (1 −𝑥1)2+ 90(𝑥
1
+10, 1((1 −𝑥2)2+ (1 −𝑥4)2) + 19, 8(1 −𝑥2)(1 − 𝑥4);
𝑥*= (1, 1, 1, 1).
Функция Растригина
𝑛 – любое положительное число,
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑛 +
𝑖=1
где 𝐴 = 10 и 𝑥𝑖∈ (−5.12, 5.12);
𝑥*= (0, ..., 0).
Функция Де Ионга 1 (сфера)
𝑛 – любое положительное число,
𝑓(𝑥) =
𝑥*= (0, ..., 0).
2
𝑥
− 𝐴 cos(2𝜋𝑥𝑖),
𝑖
𝑛
2
𝑥
;
𝑖
𝑖=1
2
− 𝑥4)2+ (1 −𝑥
3
2
3
)+
Функция Грайвенка
𝑛 – любое положительное число,
𝑛
𝑓(𝑥) = 1 +
4000
𝑖=1
Функция Изома
𝑓(𝑥1, 𝑥2) = −cos(𝑥1) cos(𝑥2) exp(−(𝑥1− 𝜋)2+ (𝑥2− 𝜋)2),
𝑥𝑖∈ (−100, 100); 𝑥*= (−𝜋, 𝜋).
2
𝑥
𝑖
−
𝑛
𝑖=1
𝑥*= (0, ..., 0).
cos
𝑛 = 2 ,
𝑥
√
𝑖
, 𝑥𝑖∈ (−600, 600);
𝑖
177
Заключение
Для решения большого числа задач, описываемых общим понятием
«математическое программирование» эффективно используются различные
методы оптимизации, направленные на отыскание минимума (максимума)
широких классов целевых функций при наличии (или отсутствии) разнообразных ограничений, от структуры и вида которых зависит не только название методов, но и их математическое и логическое построение.
Общая задача нелинейной условной минимизации, сформулированная
в виде: найти min
векторный аргумент, 𝑋 ∈ R𝑛– некоторое множество, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) ∈
R – нелинейная скалярная функция векторного аргумента (целевая функция,
критерий оптимальности), 𝑓*– её минимум, 𝑥*– значение аргумента, доставляющее этот минимум, представлена в большом количестве работ. Классификации и исследованию частных задач и их разновидностей, разработке
методов и алгоритмов их решения посвящено также большое число работ,
которые по различным причинам не всегда доступны студенту или инженеру и не всегда пригодны для первого знакомства с предметом. Поэтому в
пособии изложены сведения по данным вопросам в виде не только удобном
для последующего использования, но и позволяющем читателю, впервые обратившемуся к задачам нелинейного программирования, сориентироваться в
этой области. В пособии приведён пример содержательной задачи из области
регулирования дорожного движения – нахождение оптимального времени
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥*) = 𝑓*, где 𝑥 = (𝑥1. . . 𝑥𝑛)𝑇∈ 𝑋 ⊂ R𝑛–
𝑥∈𝑋
цикла светофорного регулирования и оптимального распределения найденного времени по фазам регулирования. Для решения поставленной задачи
предложен численный алгоритм многомерной нелинейной оптимизации.
178
Обобщением понятия обратной, однозначно определённой для квадратной невырожденной матрицы является понятие псевдообратной матрицы, которая существует и единственна для любой матрицы с произвольным числом
строк, столбцов и произвольного ранга. Псевдообратная совпадает с обратной
для квадратной невырожденной матрицы.
Аппарат псевдообращения широко применяется при точном или приближённом исследовании и решении систем линейных алгебраических уравнений и приводящихся к ним разнообразных прикладных задач из таких областей как математическое программирование, математическая статистика,
математическое моделирование систем и управление ими и многих других.
Применения к нелинейным задачам опираются на различные схемы линеаризации.
Нелинейный метод наименьших квадратов служит для решения нелинейной задачи о наименьших квадратах, которая относится к классу задач
нелинейной оптимизации или нелинейного программирования, однако характеризуется в этом классе спецификой, оправдывающей её самостоятельное
исследование.
179
1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей
[Текст] / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. – Москва: Финансы и
статистика, 1985. – 487 с.
2. Алберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание [Текст]
/ А. Алберт. – Москва: Наука, 1977. – 224 с.
3. Алгоритмы: построение и анализ [Текст] / Т. Кормен [и др.]. – Москва:
Изд. дом. Вильямс, 2005. – 1296 с.
4. Балонин, Н.А. Методы ортогонализации и псевдоинверсии в алгебраических задачах теории автоматического управления [Текст] / Н.А. Балонин // Проектирование авиационных адаптивных систем и их элементов. – Ленинград: Издво ЛИАП, 1985. – С. 35-40.
5. Бард, Й. Нелинейное оценивание параметров [Текст] / Й. Бард. – Москва:
Статистика, 1979. – 349 с.
6. Барышев, В.Г. К управлению системами с многомерным параметром
[Текст] / В.Г. Барышев, С.Л. Блюмин, Л.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика. – 1977. – № 4. – С. 37-42.
7. Бейко, И.В. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации [Текст] /
И.В. Бейко, Б.Н. Бублик, П.Н. Зинько. – Киев: Головное издательство издательского объединения. Вища школа, 1983. – 512 с.
8. Беклемишев, Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры [Текст] /
Д.В. Беклемишев. – Москва: Наука, 1983. – 336 с.
9. Бертсекас, Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа
[Текст] / Д. Бертсекас. – Москва: Радио и связь, 1987. – 400 с.
10. Блюмин, С.Л. Обратные задачи динамики дискретно-аргументных систем
[Текст] / С.Л. Блюмин // Изв. АН. СССР. Техн. кибернет. – 1980. – № 6. – С. 98.
11. Блюмин, С.Л. Соотношение типа Кэли-Гамильтона в теории дискретноаргументных систем [Текст] / С.Л. Блюмин // Автоматика и телемеханика. – 1981.
– № 9. – С. 133-142.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]