Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии. Учебное пособие
.pdf
2.3. Найдите оптимумы функции 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥3+ 𝑎𝑥2𝑦 + 𝑏𝑥 +
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 Вариант 𝑎 𝑏 𝑐
1 -5/4 -5/2 -11/2 11 -2 -2 -17/8
2 -5/4 5/2 1/2 12 -2 2 7/8
3 -5/4 -10 -22 13 -2 -8 -17/2
4 -5/4 10 2 14 -2 8 7/2
5 -5/4 -5 -11 15 -2 -4 -17/4
6 -5/4 5 1 16 -2 4 7/4
7 -5/4 -5/2 -19/3 17 -2 -2 -7/3
8 -5/4 5/2 -1/3 18 -2 2 2/3
9 -5/4 -15/2 -19 19 -2 -6 -7
10 -5/4 15/2 -1 20 -2 6 2
1
𝑦3+ 𝑐𝑦.
3
Задача 3. Многомерная оптимизация, задачи с ограничениями-равенствами.
3.1. Найдите оптимумы функции 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 𝑏𝑦
2
при условии 4𝑥2+ 𝑐𝑦2= 9.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 Вариант 𝑎 𝑏 𝑐
1 1 1 3 11 5 8 6
2 3 4 5 12 5 3 2
3 1 1 2 13 9 3 1
4 1 2 6 14 9 7 3
5 1 1 1 15 3 6 7
6 3 2 2 16 7 4 2
7 5 4 3 17 13 4 1
8 3 5 6 18 7 11 6
9 7 9 5 19 9 5 2
10 5 2 1 20 7 13 7
161
3.2. Найдите оптимумы функции 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑦
при условии 𝑥2+ 𝑦2= 𝑐2.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 Вариант 𝑎 𝑏 𝑐
1 3 2 2 11 1 8 1
2 7 3 3 12 4 5 1
3 1 2 5 13 5 3 4
4 7 2 1 14 2 5 3
5 3 4 2 15 2 1 2
6 3 1 3 16 2 3 4
7 4 3 4 17 2 7 1
8 1 4 5 18 8 1 2
9 5 2 2 19 1 3 5
10 3 5 1 20 3 7 3
3
3.3. Найдите оптимумы функции 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑦
2
при условии 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑦3− 3𝑐𝑥𝑦 = 𝑑.
Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Вариант 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
1 9 2 9 -16 11 -1 2 1 -4
2 -36 1 9 8 12 -4 1 2 -16
3 -9 2 9 16 13 -18 4 9 4
4 7 7 7 16 14 9 16 9 -2
5 3 2 3 -4 15 14 4 7 4
6 12 1 6 -16 16 -7 16 7 -2
7 1 2 1 4 17 28 1 7 8
8 4 1 2 16 18 1 2 1 12
9 -7 2 7 -16 19 1 16 2 12
10 36 1 9 -8 20 1 1 1 3
162
Задача 4. Многомерная оптимизация, задачи со смешанными
ограничениями.
Вариант 1. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎨
𝑞1(𝑥) = −𝑥
⎩
𝑞2(𝑥) = −𝑥1− 𝑥2+ 1 ≥ 0.
2
1
− 𝑥
Вариант 2. Найдите min 𝑓(𝑥) = 4𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = −4𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = ln 𝑥2≥ 0,
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = −𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
− 4𝑥
1
Вариант 3. Найдите min 𝑓(𝑥) = 3𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 7 −𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 3 −𝑥1≥ 0,
2
1
2
+ 𝑥2при условии
1
2
+ 9 ≥ 0,
2
2
1
2
1
− 𝑥
2
+ 4𝑥
2
2
+ 8 ≥ 0,
2
2
+ 4𝑥
2
2
≥ 0,
2
при условии
− 𝑥1при условии
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
Вариант 4. Найдите min 𝑓(𝑥) = −ln 𝑥1+ 𝑥2при условии
⎧
⎪
𝑞1(𝑥) = −𝑥1+ 𝑥2+ 2 ≥ 0,
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −𝑥1− 𝑥
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0.
Вариант 5. Найдите min 𝑓(𝑥) = 2𝑥
2
+ 4 ≥ 0,
2
2
+ 2𝑥
1
2
− 2𝑥1при условии
2
⎧
⎪
𝑞1(𝑥) = −𝑥
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −4𝑥1+ 3𝑥2+ 8 ≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞3(𝑥) = ln 𝑥1≥ 0.
2
1
− 2𝑥
2
+ 7 ≥ 0,
2
163
Вариант 6. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 4𝑥1+ 3𝑥2≤ 10,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −𝑥1− 𝑥
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
+ 2𝑥
1
2
− 𝑥2при условии
2
2
≥ −2,
2
Вариант 7. Найдите min 𝑓(𝑥) = 3𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 𝑥1− 2𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −𝑥
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1+ 2𝑥2− 3𝑥3− 4 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ℎ2(𝑥) = 𝑥1+ 4𝑥2− 𝑥3+ 3 = 0.
2
2
2
+ 4𝑥3≥ 0,
2
2
− 𝑥
3
Вариант 8. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 𝑥1− 𝑥2+ 2 ≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −𝑥
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
+ 𝑥2− 1 ≥ 0,
1
+ 𝑥
2
+ 6𝑥
2
2
1
+ 5𝑥1≥ 0,
2
2
1
− 4𝑥1+ 4 при условии
+ 𝑥
2
2
при условии
3
Вариант 9. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 𝑥1≤ 2,
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
1
164
2
− 4𝑥1+ 𝑥
1
2
+ 𝑥
2
≤ 7,
2
− 3𝑥2при условии
2
Вариант 10. Найдите min 𝑓(𝑥) = 2𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 2𝑥1+ 𝑥2≤ 3,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = −𝑥1− 2𝑥
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
+ 2𝑥
1
2
2
2
2
≥ −1,
− 𝑥1при условии
Вариант 11. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 5 −𝑥2≤ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 7 −𝑥
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
1
Вариант 12. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 2𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 𝑥2≤ 5,
⎪
⎪
𝑞3(𝑥) = 𝑥1≥ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞4(𝑥) = 𝑥2≥ 0.
2
+ 3𝑥
1
2
− 4𝑥1+ 2𝑥
1
2
− 3𝑥
2
1
≥ 0,
2
− 2𝑥1+ 2𝑥
2
≤ 8,
2
2
− 3𝑥2при условии
2
2
− 𝑥2при условии
2
Вариант 13. Найдите min 𝑓(𝑥) = 2𝑥1+ 3𝑥
⎧
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3= 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ℎ2(𝑥) = 2𝑥1− 3𝑥2− 𝑥3= 0,
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 𝑥1− 2𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞2(𝑥) = −3𝑥
2
+ 𝑥3≥ 0,
2
2
+ 𝑥2− 5𝑥
1
165
2
3
2
+ 4𝑥
2
≥ 0.
2
при условии
3
Вариант 14. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1− 𝑥2− 2𝑥3+ 4 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ℎ2(𝑥) = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 1 = 0,
2
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥3+ 9 при условии
2
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 2𝑥1− 𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞2(𝑥) = −3𝑥
2
− 𝑥
2
2
− 𝑥2− 𝑥
1
Вариант 15. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 20 −3𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 22 −𝑥
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1− 2𝑥2− 3𝑥3− 4 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ℎ2(𝑥) = 2𝑥1− 𝑥2− 𝑥3− 4 = 0.
2
3
2
− 𝑥
2
− 𝑥
Вариант 16. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 20 −3𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 22 −𝑥
2
3
2
− 𝑥
2
− 𝑥
2
+ 3 ≥ 0,
3
2
+ 20 ≥ 0.
3
2
+ 2𝑥
1
2
≥ 0,
3
2
− 𝑥1≥ 0,
2
2
2
+ 𝑥
1
2
2
≥ 0,
3
2
− 𝑥1≥ 0,
2
2
+ 3𝑥3при условии
2
+ 2𝑥3при условии
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1− 2𝑥2− 3𝑥3− 4 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ℎ2(𝑥) = 2𝑥1− 𝑥2− 𝑥3− 4 = 0.
Вариант 17. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 1 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ℎ2(𝑥) = 𝑥1− 𝑥2− 2𝑥3+ 3 = 0,
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = −3𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞2(𝑥) = −2𝑥
2
− 𝑥2− 𝑥
1
− 𝑥
166
2
2
2
1
2
+ 𝑥
1
− 𝑥
2
+ 𝑥3+ 4 при условии
2
2
+ 20 ≥ 0,
3
2
+ 30 ≥ 0.
3
Вариант 18. Найдите min 𝑓(𝑥) = 2𝑥
⎧
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = −𝑥1− 𝑥2− 𝑥3− 𝑥4+ 4 ≤ 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑞2(𝑥) = 𝑥1− 2𝑥2− 𝑥3− 2𝑥4≥ 0,
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 5𝑥1− 5𝑥2− 9𝑥3− 𝑥4= 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ℎ2(𝑥) = 𝑥1+ 𝑥2− 𝑥3− 𝑥4= 0.
Вариант 19. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 𝑥1− 𝑥2− 2𝑥3+ 3 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ℎ2(𝑥) = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 1 = 0,
2
1
2
+ 𝑥
1
+ 𝑥
2
2
2
2
2
3
+ 𝑥
2
при условии
4
+ 𝑥
+ 𝑥3+ 10 при условии
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = −2𝑥1− 𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞2(𝑥) = −3𝑥
2
1
2
2
− 𝑥2− 𝑥
Вариант 20. Найдите min 𝑓(𝑥) = 𝑥
⎧
⎪
⎪
ℎ1(𝑥) = 3 −𝑥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
ℎ2(𝑥) = 1 −𝑥
⎪
⎪
𝑞1(𝑥) = 𝑥1− 𝑥2= 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑞2(𝑥) = 𝑥2− 𝑥3− 2 = 0.
2
− 𝑥
1
2
≥ 0,
1
− 𝑥
2
+ 𝑥
1
2
2
− 𝑥
2
+ 30 ≥ 0,
3
2
+ 20 ≥ 0.
3
2
+ 𝑥3+ 1 при условии
2
2
≥ 0,
3
167
Часть 2. Псевдообращение
1. Докажите формулы Фробениуса блочных определителей
𝐴 𝐵
det 𝐴 = 0 ⇒ det
= det 𝐴 ·det 𝐻, 𝐻 = 𝐷 − 𝐶𝐴−1𝐵,
𝐶 𝐷
𝐴 𝐵
det 𝐷 = 0 ⇒ det
= det 𝐾 · det 𝐷, 𝐾 = 𝐴 − 𝐵𝐷−1𝐶.
𝐶 𝐷
2. Докажите формулы Фробениуса блочных матриц
−1
𝐴 𝐵
det 𝐴 = 0 ⇒ det
=
𝐶 𝐷
⎡
𝐴−1+ 𝐴−1𝐵𝐻−1𝐶𝐴
−1
.
.
. −𝐴−1𝐵𝐻
⎢
⎢
=
⎣
... ... ...
−𝐻−1𝐶𝐴
−1
.
.
. 𝐻
−1
−1
𝐴 𝐵
det 𝐷 = 0 ⇒ det
=
𝐶 𝐷
⎡
𝐾
−1
.
.
. −𝐾−1𝐵𝐷
−1
⎢
⎢
=
⎣
−𝐷−1𝐶𝐾
... ... ...
−1
.
.
. 𝐷−1+ 𝐷−1𝐶𝐾−1𝐵𝐷
−1
−1
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
,
,
−1
𝐴 𝐵
det 𝐴 = 0, det 𝐷 = 0 ⇒ det
=
𝐶 𝐷
⎡
⎢
⎢
=
⎣
−𝐻−1𝐶𝐴
⎡
⎢
⎢
=
⎣
𝐾
−1
.
.
. −𝐾−1𝐵𝐷
... ... ...
.
.
. 𝐻
.
.
. −𝐴−1𝐵𝐻
𝐾
−1
−1
... ... ...
−𝐷−1𝐶𝐾
−1
.
.
. 𝐻
−1
−1
−1
−1
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
=
,
det 𝐴 = 0, det 𝐵 = 0, det 𝑐 = 0, det 𝐷 = 0 ⇒
168
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
−1
=
𝐾
𝐶
−1
−1
𝐿
𝐻
−1
, 𝐶 = 𝐵 − 𝐴𝐶−1𝐷, 𝐿 = 𝐶 − 𝐷𝐵−1𝐴.
−1
3. Докажите формулы обращения некоторых матричных сумм
(𝐴 + 𝑈𝑀𝑉 )−1= 𝐴−1− 𝐴−1(𝐼 + 𝑈𝑀 𝑉 𝐴−1)−1𝑈𝑀𝑉 𝐴−1,
= 𝐴−1− 𝐴−1𝑈(𝐼 + 𝑀𝑉 𝐴−1𝑈)−1𝑀𝑉 𝐴−1,
= 𝐴−1− 𝐴−1𝑈𝑀(𝐼 + 𝑉 𝐴−1𝑈𝑀)−1𝑉 𝐴−1,
= 𝐴−1− 𝐴−1𝑈𝑀𝑉 (+ + 𝐴−1𝑀𝑉 )−1𝐴−1,
= 𝐴−1− 𝐴−1𝑈𝑀𝑉 𝐴−1(𝐼 + 𝑈𝑀 𝑉 𝐴−1)−1.
4. Докажите
(𝐴𝑇𝐴)+= 𝐴+(𝐴𝐴𝑇)+𝐴 = 𝐴𝑇(𝐴𝐴𝑇)+(𝐴𝑇)+.
5. Докажите
6. Докажите
7. Докажите
𝐴𝑘𝐴+= 𝐴+𝐴𝑘, 𝐴𝑘(𝐴𝑘)+= (𝐴𝑘)+𝐴𝑘= 𝐴𝐴+= 𝐴+𝐴.
8. Докажите
𝑃𝑇= 𝑃, 𝑃2= 𝑃 ⇒ (𝑃 𝐴)+= (𝑃 𝐴)𝑇𝑃, (𝐴𝑃 )+= 𝑃 (𝐴𝑃 )+.
𝐴𝐴+= (𝐴𝐴𝑇)(𝐴𝐴𝑇)+= (𝐴𝐴𝑇)+(𝐴𝐴𝑇),
𝐴+𝐴 = (𝐴𝑇𝐴)(𝐴𝑇𝐴)+= (𝐴𝑇𝐴)+(𝐴𝑇𝐴).
𝐴𝐴+𝐴𝑘= 𝐴𝑘, 𝑘 > 0.
𝐴𝑇= 𝐴, 𝑘 > 0 ⇒ (𝐴𝑘)+= (𝐴+)𝑘,
9. Докажите
rg𝐴 = rg𝐴𝐴+𝐴 ≤ rg𝐴+, rg𝐴+= rg𝐴+𝐴𝐴+≤ rg𝐴 ⇒ rg𝐴 = rg𝐴+,
rg𝐴 = rg𝐴𝑇= rg𝐴𝐴𝑇= rg𝐴𝑇𝐴 = rg𝐴+= rg𝐴𝐴+= rg𝐴+𝐴 =
= tr𝐴+𝐴 = tr𝐴𝐴+= tr𝐴+𝐴,
𝐴𝑇𝐵 = 0, 𝐵𝐴𝑇= 0 ⇒ (𝐴 + 𝐵)+= 𝐴++ 𝐵+.
169
10. Докажите (𝐴𝐵)+= 𝐵+𝐴+, если:
или 𝐵 = 𝐴𝑇, или 𝐵 = 𝐴+,
или 𝐴𝑇𝐴 = 𝐼 или 𝐵𝐵𝑇= 𝐼,
или rg𝐴 = rg𝐵 = 𝑟, 𝐴 ∈ 𝑅
𝑚×𝑟
𝑟
, 𝐵 ∈ 𝑅
𝑟×𝑛
𝑟
.
11. Докажите (𝐴 ⊗ 𝐵)+= 𝐴+⊗ 𝐵+(тензорное произведение).
12. Докажите
⎡
⎤
+
𝐵
⎢
⎢
...
⎣
𝐶
.
.
. 𝐶
⎥
⎥
,
⎦
+
+
.
𝐴 =
𝐴 =
⎡
⎢
⎢
⎣
.
𝐵
.
. 𝐶
, 𝐵𝑇𝐶 = 0 ⇒ 𝐴+=
⎤
𝐵
⎥
⎥
, 𝐵𝐶𝑇= 0 ⇒ 𝐴+=
...
⎦
+
𝐵
𝐶
13. Докажите формулу Клайна псевдообращения блочных матриц
⎡
.
𝑈
.
. 𝑉
𝑈+− 𝑈+𝑉 𝐽
⎢
⎢
=
⎣
...
⎤
⎥
⎥
⎦
,
𝐽
где 𝐶 = (𝐼 − 𝑈𝑈+)𝑉,
𝐾 = 𝐼 + [𝑈+𝑉 (𝐼 − 𝐶+𝐶)]𝑇[𝑈+𝑉 (𝐼 − 𝐶+𝐶)]−1,
𝐽 = 𝐶+(𝐼 − 𝐶+𝐶)𝐾𝑉𝑇(𝑈+)𝑇𝑈+(𝐼 − 𝑉 𝐶+).
14. Докажите формулу псевдообращения некоторых матричных сумм
(𝑈𝑈𝑇+ 𝑉 𝑉𝑇)+= (𝐶𝐶𝑇)++ (𝐼 − (𝑉 𝐶+)𝑇)×
×(𝑈𝑈𝑇)+− (𝑈𝑈𝑇)+𝑉 (𝐼 − 𝐶+𝐶)𝐾𝑉𝑇(𝑈𝑈𝑇)
+
· (𝐼 − 𝑉 𝐶+),
где 𝐶 = (𝐼 − (𝑈𝑈𝑇)(𝑈𝑈𝑇)+)𝑉,
𝐾 = 𝐼 + (𝐼 − 𝐶+𝐶)𝑉 (𝑈 𝑈𝑇)+𝑉 (𝐼 − 𝐶+𝐶)−1.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]