Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация. Псевдообращение. Итерации и рекурсии. Учебное пособие
.pdf
Для аппроксимации 𝑓′′предлагается использовать формулу
Φ(𝑓, ℎΦ) =
2
ℎ
Φ
. (12.25)
Здесь погрешность также имеет порядок 𝑂(ℎ) для достаточно малых
ℎΦ, но необходимо чаще вычислять значение функции. Кроме того, опреде-
ление ℎΦсущественно увеличивает вычислительные затраты.
При решении задач с использованием формулы (11.12) выражение (12.23)(12.25) переносятся без изменений на многомерный случай. При этом конечноразностные интервалы ℎ𝑖строятся независимо друг от друга по (12.23). Однако построение этих интервалов на каждом шаге основного процесса по
(12.23) авторы [42] считают нецелесообразным. Предлагается использовать
𝑓(𝑥 + ℎΦ) − 2𝑓 (𝑥) + 𝑓(𝑥 − ℎΦ)
эту процедуру один раз – в начальной точке 𝑥
(0)
. Обозначим через^ℎ𝑖оцен-
ку оптимального абсолютно конечно–разностного интервала, вычисленную в
(0)
𝑥
, а через 𝛿𝑖– набор относительных интервалов, которые определяют как
^
ℎ
𝑖
𝛿𝑖=
1 + 𝜏𝑖|𝑥
, (12.26)
(0)
|
где 𝜏𝑖– параметр, удовлетворяющий условию 0 ≤ 𝜏𝑖≤ 1; обычно 𝜏𝑖полагают
равным единице.
Тогда на 𝑘-ой итерации конечно-разностные интервалы вычисляются
по формуле
ℎ𝑖= 𝛿𝑖(1 + 𝜏𝑖|𝑥
(𝑘)
|). (12.27)
𝑖
Обычно оптимальные значения относительных интервалов устойчивее
абсолютных, но в тех редких случаях, когда из-за ℎ𝑖возникают трудности,
предусматривается возможность повторных обращений к формуле (12.23).
В работе [53] предложен алгоритм минимизации суммарного влияния
ошибок аппроксимация производных за счёт балансировки 𝑂(ℎ) и 𝑂
Δ𝛾
ℎ
и с учётом достоверных разрядов прикомпьютерных вычислений. Если 𝑓(𝑥)
имеет 𝑡 достоверных десятичных разрядов, то целесообразно стремиться к
тому, чтобы 𝑓 (𝑥 + ℎ𝑖𝑒𝑖) отличалось от 𝑓(𝑥) правой половиной этих разрядов.
131
Для правой конечно-разностной формулы (11.12) рекомендуемая длина
шага
ℎ𝑖=√𝜂𝑓max {|𝑥𝑖|, 𝑏𝑥𝑖}sign(𝑥𝑖), (12.28)
где 𝑏𝑥𝑖– характерный размер 𝑥𝑖, задаваемой пользователем.
Соответствующие элементы 𝑔(𝑥) и ^𝑔(𝑥) будут приблизительно совпа-
дать в их первых
𝑡
десятичных разрядах. Величина 𝑏𝑥𝑖характеризует па-
2
раметры масштабирования и задаётся, когда ожидается, что величины 𝑥
будут сильно различаться. Предлагаемое значение по умолчанию 𝑏𝑥𝑖= 1,
𝑖 = 1, ..., 𝑛.
При использовании формулы центральных разностей (11.13) длина шага вычисляется как
1
ℎ𝑖= 𝜂
3
max {|𝑥𝑖|, 𝑏𝑥𝑖}sign(𝑥𝑖). (12.29)
𝑓
Обычно аппроксимация градиента по правым разностям оказывается
вполне достаточной и в два раза дешевле, чем аппроксимация по центральным разностям, так как последняя требует больших вычислений значений
функции. Однако точность аппроксимации по формуле (11.12) ограничена и
в некоторых редких случаях целесообразнее использовать формулу (11.13).
При этом желательно, чтобы переключение в программах с (11.12) на (11.13)
и наоборот происходило автоматически. Этот переход производится в том
случае, когда на какой-либо итерации использование аппроксимации градиента по правой конечно-разностной формуле не приводит к достаточному
убыванию функции.
§ 13. Линейный метод наименьших квадратов:
рекуррентные процедуры
Как указано в предисловии к главе, линейная задача о наименьших
квадратах состоит в отыскании набора параметров 𝑥1, ..., 𝑥𝑛из условия: найти
min
𝑥∈R
𝑓(𝑥) =
𝑛
1
2
𝑚
𝑢=1
𝑏𝑢−
132
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖𝑎𝑖(𝜉𝑢)
2
. (13.1)
Введём обозначения:
𝐴 = 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
=
⎛
⎜
⎜
⎜
𝑥 = 𝑥
⟨𝑚,𝑛⟩
=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
В этих векторно-матричных обозначениях соотношение (13.1) запишется в следующем виде: найти
min
𝑥∈R
⎛
𝑎1(𝜉1) ... 𝑎𝑛(𝜉1)
⎜
.
⎜
.
. 𝑎𝑖(𝜉𝑢)
⎝
𝑎1(𝜉𝑚) ... 𝑎𝑛(𝜉𝑚)
⎞
𝑥
1
⎟
.
.
⎟
.
⎟
⎟
∈ R𝑛, 𝑏 = 𝑏
⎟
𝑥
𝑖
⎟
.
⎟
.
.
⎠
𝑥
𝑛
1
𝑓(𝑥) =
𝑛
‖𝑏 − 𝐴𝑥‖2=
2
⟨𝑚⟩
⎞
⎟
.
⎟
.
.
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
=
⎜
⎜
⎜
⎝
∈ R
𝑏
1
.
.
.
𝑏
𝑢
.
.
.
𝑏
𝑚
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
𝑚×𝑛
,
∈ R𝑚.
1
𝜀, (13.2)
2
где 𝜀 = ‖𝑏 − 𝐴𝑥‖2– невязка уравнения
𝐴𝑥 = 𝑏. (13.3)
В редких случаях матрица 𝐴 уравнения (13.3) оказывается квадратной
и невырожденной; в этом случае его единственное решение
𝑥 = 𝐴−1𝑏 (13.4)
является и решением задачи (13.2) (или, что то же, (13.1)) с нулевой невязкой.
Чаще встречаются случаи, когда матрица 𝐴 ∈ R
𝑚×𝑛
является матрицей
общего вида, но оказывается выполненным условие совместности уравнения
(13.3), имеющее вид:
𝐴𝐴+𝑏 = 𝑏, (13.5)
133
где 𝐴+∈ R
𝑛×𝑚
– пвсевдообратная к матрице 𝐴; в этом случае общее решение
уравнения записывается в виде:
𝑥 = 𝐴+𝑏 + (𝐼 − 𝐴+𝐴)𝑦, (13.6)
где 𝐼 ∈ R
𝑛×𝑛
– единичная матрица, 𝑦 ∈ R𝑛– произвольный вектор; любой
вектор вида (13.6) является и решением задачи (13.2) с нулевой невязкой.
Это решение единственно, если выполняется наряду с (13.5) условие
𝐴+𝐴 = 𝐼, (13.7)
и записывается в виде:
𝑥 = 𝐴+𝑏. (13.8)
В других случаях выбор единственного решения из (13.6) подчиняется
тем или иным дополнительным требованиям; таково, например, требование:
найти
𝑥=𝐴+𝑏+(𝐼−𝐴+𝐴)𝑦
min
‖𝑥‖. (13.9)
Решение задачи (13.3), (13.9) называется нормальным; оно также записывается в виде (13.8).
Наиболее реальны случаи, когда матрица имеет общий вид и условие
(13.5) не выполняется, так что решение уравнения (13.3) не существует. Замечателен тот факт, что и в этих случаях соотношение (13.6) даёт решение
задачи (13.2), а соотношение (13.3) – решение задачи (13.2), (13.9); для уравнения (13.3) они называются соответственно псевдорешением и нормальным
пвсевдорешением.
В предисловии к главе указано, что необходимость в рекуррентных
процедурах решения задачи о наименьших квадратах возникает, по крайней
мере, в связи со следующими ситуациями: увеличивается число слагаемых
во внутренней (стоящей в квадратных скобках) сумме соотношения (13.1);
увеличивается число слагаемых во внешней сумме соотношения (13.1). Рассмотрим подробнее эти ситуации.
134
Предварительно, для удобства дальнейших формулировок, уточним обозначения векторов и матрицы в (13.2): найти
min
⟨𝑚,𝑛⟩∈R𝑛
𝑥
Пусть число слагаемых во внутренней сумме увеличилось на единицу
так, что она приняла вид
𝑛+1
𝑖=1
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
𝑖
𝑎𝑖(𝜉𝑢) =
и решается задача: найти
min
⟨𝑚,𝑛+1⟩∈R𝑛+1
𝑥
причём матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝐴
=𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩|𝑎⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑎
1
‖𝑏
⟨𝑚⟩
⟨𝑚,𝑛⟩𝑥⟨𝑚,𝑛⟩‖2
− 𝐴
2
𝑛+1
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
𝑖
𝑖=1
1
‖𝑏
⟨𝑚⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩𝑥⟨𝑚,𝑛+1⟩‖2
− 𝐴
𝑎𝑖(𝜉𝑢) + 𝑥
2
связана с матрицей 𝐴
=
⟨𝑚,𝑛⟩
1
⟨𝑚,𝑛⟩
𝜀
. (13.10)
2
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑛+1
=
1
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝜀
𝑎
𝑛+1(𝜉𝑢
, (13.11)
2
из (13.10) соотношением
, где дополнительный столбец имеет вид
= (𝑎
𝑛+1(𝜉1
), ..., 𝑎
𝑛+1(𝜉𝑚
))𝑇,
),
𝑇
, где
а вектор 𝑥
⟨𝑚,𝑛+1⟩
имеет структуру 𝑥
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
(𝑛)
=𝑥
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
1
=𝑥
, ..., 𝑥
⟨𝑚,𝑛+1⟩𝑇
(𝑛)
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑛
|𝑥
𝑇
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑛+1
.
В соответствии с (13.8) решение задачи (13.11), (13.9) запишется в
виде:
+
⟨𝑚⟩
𝑏
+
⟨𝑚⟩
𝑏
. (13.12)
или
⎛
⎜
⎜
⎝
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
(𝑛)
···
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
𝑛+1
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
⎞
⎟
⎟
⎠
= 𝐴
=𝐴
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛⟩|𝑎⟨𝑚,𝑛+1⟩
Известный алгоритм Гревиля рекуррентного псевдообращения матриц,
записываемый «по наращиванию столбцов», определяет следующее выраже-
135
ние этого решения через решение 𝑥
⟨𝑚,𝑛⟩
задачи (13.10), (13.9):
где вектор 𝑙
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑙
𝑇
Первому варианту этой формулы соответствует, например, случай, ко-
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
(𝑛)
𝑇
определяется в виде
= 𝑥
⎧
⎪
⎪
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⎪
𝑐
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
если 𝑐
⎪
⎪
⎨
в остальных случаях
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⎪
𝑎
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑘
+
=
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑇
𝐴
𝑘
= 1 + ‖𝐴
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
𝑛+1
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑐
⟨𝑚,𝑛+1⟩‖2
‖𝑐
=𝐼 − 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛+1⟩
+
⟨𝑚,𝑛⟩
= 𝑙
− 𝐴
𝑇
𝑇
𝐴
+
⟨𝑚,𝑛+1⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
𝑇
+
𝑎
,
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
+
⟨𝑚,𝑛⟩
,
⟨𝑚,𝑛+1⟩‖2
𝑎
⟨𝑚⟩
𝑏
, (13.13)
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑥
+
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑛+1
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑎
, (13.14)
= 0;
.
(13.15)
гда матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
∈ R
случай, когда матрица 𝐴
случае выражение для 𝑙
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑙
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑇
=
Пусть теперь число слагаемых во внутренней сумме увеличилось на 𝑝
так, что она приняла вид
𝑛+𝑝
𝑖=1
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
𝑖
𝑎𝑖(𝜉𝑢) =
и решается задача: найти
𝑚×𝑛
, то есть rg𝐴
𝑛
⟨𝑚,𝑛⟩
∈ R
𝑇
упрощается:
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑎
1 + 𝑎
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑛
𝑥
𝑖=1
𝑚×𝑛
, то есть rg𝐴
𝑚
𝑇
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
𝑇
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑖
𝑎𝑖(𝜉𝑢) +
⟨𝑚,𝑛⟩
= 𝑛, а второму варианту –
𝑇
𝑛+𝑝
𝑖=𝑛+1
⟨𝑚,𝑛⟩
𝑇
−1
= 𝑚; в последнем
−1
. (13.16)
⟨𝑚,𝑛+1⟩
𝑎
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
𝑖
𝑎𝑖(𝜉𝑢),
min
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩∈R𝑛+𝑝
𝑥
1
‖𝑏
⟨𝑚⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩𝑥⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩‖2
− 𝐴
2
136
=
1
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝜀
2
, (13.17)
причём матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
связана с матрицей 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
из (13.10) соотношением
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐴
=𝐴
где дополнительный блок имеет вид:
⎛
𝑎
𝑛+1(𝜉1
⎜
⎜
=
⎝
=𝑥
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
1
.
.
.
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
𝑛
𝑎
𝑛+1(𝜉𝑚
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
(𝑛)
⎞
⎟
⎟
⎠
а вектор 𝑥
где
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝐴
имеет структуру
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
⎛
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
(𝑛)
=
⎜
⎜
⎝
⟨𝑚,𝑛⟩
.
.
.
, 𝑥
.
.
. 𝐴
) ... 𝑎
) ... 𝑎
𝑇
.
.
. 𝑥
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
(𝑝)
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝑛+𝑝(𝜉1
.
.
.
𝑛+𝑝(𝜉𝑚
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
(𝑝)
⎛
⎜
⎜
=
⎝
,
⎞
)
⎟
⎟
⎠
)
𝑇
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
𝑛+1
.
.
.
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
𝑛+𝑝
,
,
⎞
⎟
⎟
.
⎠
В соответствии с (13.8) решение задачи (13.17), (13.9) запишется в
виде:
или
⎛
⎜
⎜
⎝
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑛)
.......
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑝)
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
⎞
⎟
⎟
⎠
=𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩+𝑏⟨𝑚⟩
= 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩|𝐴⟨𝑚,(𝑝)⟩
+
⟨𝑚⟩
𝑏
. (13.18)
Известная формула Клайна псевдообращения блочных матриц определяет следующее выражение этого решения через решение задачи (13.10),
(13.9):
где матрица 𝐿
𝑥
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑝)
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
(𝑛)
= 𝑥
⟨𝑚,𝑛⟩
определяется в виде:
= 𝐿
− 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩𝑏⟨𝑚⟩
+
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝐴
, (13.19)
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑝)
, (13.20)
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐿
= 𝐶
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
+
+𝐼 − 𝐶
137
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
+
𝐶
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
×
причём
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐶
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
×𝐾
=𝐼 − 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐾
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
= (𝐼 +𝐴
×𝐴
+
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝐴
+
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝐴
+
𝐴
+
𝐴
𝑇
𝐴
⟨𝑚,(𝑝)⟩
⟨𝑚,(𝑝)⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
,
+
𝐼 − 𝐶
𝐼 − 𝐶
𝐼 − 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,(𝑝)⟩𝐶⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
+
𝐶
+
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐶
+
,
𝑇
×
)−1. (13.21)
⟨𝑚,(𝑝)⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
𝑇
𝐴
в ряде случаев упрощается. Так, если матрица
𝑇
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
−1
× 𝐴
⟨𝑚,(𝑝)⟩
𝐴
= 0 и
⟨𝑚,(𝑝)⟩
−1
𝑇
𝐴
×
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
−1
𝑇
(13.22)
= 𝑚, то 𝐶
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐿
Выражение для 𝐿
𝑚×𝑛
∈ R
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
, то есть rg𝐴
𝑚
=𝐼 + 𝐴
(это выражение непосредственно обобщает (13.16)).
Если матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
∈ R
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐿
𝑚×(𝑛+𝑝)
𝑛+𝑝
= 𝐶
, то есть rg𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
+
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
= 𝑛 + 𝑝, то
(13.23)
(это выражение непосредственно обобщает первый вариант формулы (13.15)).
Если матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐿
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
=𝐴
∈ R
𝑚×(𝑛+𝑝)
𝑚
⟨𝑚,(𝑝)⟩
, то есть rg𝐴
𝑇
𝐶
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
−1
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝐶
= 𝑚, то
𝑇
(13.24)
(аналогов этой формулы ранее не было).
Следует отметить, что при использовании в (13.19), (13.20) формулы
(13.23) для 𝐿
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
справедливо соотношение
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝜀
= 𝜀
⟨𝑚,𝑛⟩
− ‖𝐶
138
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑝)
‖2, (13.25)
а при использовании формулы (13.24) – соотношение
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝜀
= 𝜀
⟨𝑚,𝑛⟩
−𝐴
⟨𝑚,(𝑝)⟩
⟨𝑚,𝑛+𝑝⟩
𝑥
(𝑝)
𝑇
𝐼 − 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
+
⟨𝑚⟩
𝑏
. (13.26)
Вычитаемые в этих соотношениях, как и в (13.14), (13.20), трактуются
как «корректирующие члены» при увеличении числа слагаемых во внутренней сумме выражения (13.1).
Перейдём к рассмотрению другой из указанных выше ситуаций, обусловливающих необходимость в рекуррентных процедурах. Пусть увеличилось на единицу число слагаемых во внешней сумме соотношения (13.1), так
что она приняла вид:
𝑚+1
𝑢=1
𝑏𝑢−
𝑛
𝑖=1
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑥
𝑖
𝑎𝑖(𝜉𝑢)
2
,
и решается задача: найти
min
⟨𝑚+1,𝑛⟩∈R𝑛
𝑥
причём матрица 𝐴
⟨𝑚+1,𝑛⟩
⟨𝑚+1⟩
‖𝑏
2
связана с матрицей 𝐴
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚+1,𝑛⟩𝑥⟨𝑚+1,𝑛⟩‖2
− 𝐴
=
1
где дополнительная строка имеет вид:
⟨𝑚+1,𝑛⟩
а вектор 𝑏
⟨𝑚+1⟩
𝑎
имеет структуру:
⟨𝑚+1⟩
𝑏
= (𝑎1(𝜉
⟨𝑚⟩
=𝑏
⎛
⎜
⎜
⎝
𝑎
𝑚+1
𝑇
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
···
⟨𝑚+1,𝑛⟩
)...𝑎𝑛(𝜉
.
.
. 𝑏
⟨𝑚,𝑛⟩
⎞
⎟
⎟
⎠
𝑚+1
1
⟨𝑚+1,𝑛⟩
=
𝜀
, (13.27)
2
из (13.10) соотношением
,
)) ,
𝑚+1
𝑇
.
виде:
В соответствии с (13.8) решение задачи (13.27), (13.9) запишется в
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑥
= 𝐴
⟨𝑚+1,𝑛⟩
139
+
⟨𝑚+1⟩
𝑏
или
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑥
=
⎛
⎜
⎜
⎝
𝐴
···
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑎
⟨𝑚,𝑛⟩
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
+
⎜
⎜
⎝
𝑏
···
𝑏
𝑚+1
⟨𝑚⟩
⎞
⎟
⎟
. (13.28)
⎠
Алгоритм Гревиля рекуррентного псевдообращения матриц, записанный «по наращиванию строк», определяет следующее выражение этого решения через решение 𝑥
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑥
где вектор 𝑙
⟨𝑚+1,𝑛⟩
определяется в виде:
⎧
⎪
⎪
⟨𝑚+1,𝑛⟩
⎪
𝑐
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
если 𝑐
⎪
⎪
⎨
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑙
в остальных случаях
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⟨𝑚,𝑛⟩
⎪
𝐴
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑘
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
= 𝑥
+
=
⟨𝑚+1,𝑛⟩
+
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
𝑘
= 1 + ‖𝑎
задачи (13.10), (13.9):
⟨𝑚+1,𝑛⟩
+ 𝑙
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑐
⟨𝑚+1,𝑛⟩‖2
‖𝑐
= 𝑎
+
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑇
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑇
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑎
⟨𝑚+1,𝑛⟩𝐴⟨𝑚,𝑛⟩
,
𝑏
𝑚+1
𝐼 − 𝐴
𝑇
− 𝑎
,
+
‖2.
⟨𝑚+1,𝑛⟩𝑥⟨𝑚,𝑛⟩
+
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
, (13.29)
= 0;
(13.30)
Первому варианту этой формулы соответствует, например, случай, когда матрица 𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
случай, когда матрица 𝐴
случае выражение для 𝑙
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑙
∈ R
=
𝑚×𝑛
, то есть rg𝐴
𝑚
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚+1,𝑛⟩
∈ R
упрощается:
𝐴
1 + 𝑎
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑚×𝑛
𝑛
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
, то есть rg𝐴
−1
𝑇
𝐴
𝑇
𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
𝐴
⟨𝑚,𝑛⟩
= 𝑚, а второму варианту –
𝑎
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚,𝑛⟩
⟨𝑚+1,𝑛⟩
−1
𝑎
= 𝑛; в последнем
𝑇
⟨𝑚+1,𝑛⟩
𝑇
(13.31)
(это выражение является аналогом (13.16)).
Следует отметить определенное отличие структуры рекуррентного выражения (13.29) от рекуррентных выражений (13.13), (13.14). А именно,
в (13.29) «корректирующий член» пропорционален разности между добав-
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]