Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование химико-технологических процессов. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
и
,0)
1
(
1
i
n
i
i
y
x
ba
или nɑ + b
n
i
i
n
i
i
y
x
11
1
.
Отсюда можно записать нормальную систему для определения
параметров a и b:
nɑ + b
n
i
i
n
i
i
y
x
11
1
,
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
y
x
b
x
a
11
2
1
11
.
1.5. Показательная функция
Показательная функция имеет вид: y = ɑ. bx .
Используется логарифмическое преобразование функции y=ɑbx
к виду
lny = ln(ɑbx ) = xlnb + lnɑ,
выражающему lny как линейную функцию от x при параметрах
lnɑ и lnb.
Определение этих параметров связывается здесь с отысканием
по способу наименьших квадратов минимума суммы вида
U =
2
1
)lnlnln(
i
n
i
i
yabx
.
Условия
0
lnUa
и
0
ln
b
U
приводят к нормальной системе,
которая по структуре своей аналогична системе, полученной в первом случае для линейной функции:
lnb
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxax lnln
111
2
;
lnb
n
i
i
n
i
i
yanx
11
ln
.
12
Найденные из этой системы значения lnɑ и lnb позволяют легко
с помощью таблиц логарифмов или калькулятора определить значе-
ния ɑ и b.
1.6. Примеры решения типовых задач
Пример 1. Данные о цене на нефть х (усл.ед) и индексе акций
нефтяных компаний у (усл.ед) приведены в таблице:
хi
17,3
17,0
18,3
18,8
19,2
18,5
yi
537
534
550
555
560
552
Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу y=ɑх + b методом
наименьших квадратов.
Решение.
Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые
вычисления:
n
xi
yi
x
i
2
xiyi
1
17,3
537
299,29
9290,1
2
17,0
534
289,00
9078,0
3
18,3
550
334,89
10065,0
4
18,8
555
353,44
10434,0
5
19,2
560
368,64
10752,0
6
18,5
552
342,25
10212,0
∑
109,1
3288
1987,51
59831,1
Составим систему уравнений:
1987,51ɑ + 109,1 b = 59 831,1;
109,1 ɑ + 6 b = 3288.
Откуда ɑ=11,946, b=330,78, т. е. y = 11,94 x + 330,78.
13
Пример 2. Найти квадратичную зависимость для следующих
данных. Предприятие, производящее сельскохозяйственную технику,
провело опрос дилеров и получило следующие сведения о спросе Q
на свою продукцию в зависимости от цены P:
P = х, млн. руб
1,7
1,9
2,0
2,1
Q = y, тыс. штук
27
25
19
9
Решение.
Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые
вычисления:
п
xi
yi
x
i
2
x
i
3
x
i
4
xi yi
x
i
2
yi
1
1,7
27
2,89
4,913
8,3521
45,9
78,03
2
1,9
25
3,61
6,859
13,0321
47,5
90,25
3
2,0
19
4,00
8,000
16,0000
38,0
76,00
4
2,1
9
4,41
9,261
19,4481
18,9
39,69
∑
7,7
80
14,91
29,033
56,8323
150,3
283,97
Система линейных уравнений для определения величин ɑ, b, с
примет вид
56,8323ɑ + 29,0330 b + 14,9100с = 283,97;
29,0330 ɑ + 14,9100 b + 7,7000с = 150,30;
14,9100 ɑ + 7,7000 b + 4 с = 80,00.
Решив систему, получим значения ɑ, b, с. Функция спроса будет
иметь вид
Q = 0,02 Р2 – 16.64 Р – 6,67.
Пример 3. Имеются следующие данные о величине пробега ав-
томобиля х (тыс.км) и расходе масла y (л/тыс.км):
хi
50
70
90
110
130
yi 0,2
0,5
0,8
1,1
1,3
Полагая, что между переменными х и у существует линейная
зависимость, найти эмпирическую формулу у=ɑх + b методом
наименьших квадратов:
Решение.
Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые
вычисления:
14
n
xi yi x
i
2
xiyi 1
50
0,2
2500
10 2 70
0,5
4900
35 3 90
0,8
8100
72 4 110
1,1
12100
121 5 130
1,3
16900
169
∑
450
3,9
44500
407
Система нормальных уравнений имеет вид:
44500ɑ + 450b = 407;
450ɑ + 5b = 3,9.
Ее решения: ɑ=0,014, b = –0,48. Таким образом, линейная зависимость имеет вид:
y= 0,014x – 0,48
Пример 4. Имеются следующие данные о расходах на рекламу x
( тыс. усл.ед.) и сбыте продукции y (тыс. ед.):
хi 1 2 3 4
5
yi 1,6
4,0
7,4
12,0
18,0
Предполагая, что между переменными x и y существует квадратичная зависимость вида y = ɑx2 + bx + c, найти значения параметров
ɑ, b, c методом наименьших квадратов.
Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые
вычисления:
n
x
i
y
i
x
i
2
x
i
3
x
i
4
xiy
i
x
i2 yi
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1,6
4,0
7,4
12,0
18,0
1
4
9
16
25
1
8
27
64
125
1
16
81
256
625
1,6
8,0
22,2
48,0
90,0
1,6
16,0
66,6
196,0
450,0
∑
15
43,0
55
225
979
169,8
680,2
Система нормальных уравнений имеет вид:
979ɑ + 225b + 55с = 680,2,
225 ɑ + 55b + 15 с = 169,8,
55 ɑ + 15 b + 5 с = 49,0.
Её решения: ɑ=0,3, b=0,48, c=5,06. Искомая зависимость имеет вид:
y= 0,3x2 + 0,48x +5,06.
15
Пример 5. Имеется четыре измерения пары переменных (х, у),
результаты которых приведены в таблице:
xi 1 2 3 4 y
i
0,2
0,3
1,0
1,2
Методом наименьших квадратов построить линейную зависимость
у = ɑх + b. Сравнить полученную зависимость с зависимостью
у =
2
8
1
х
.
Решение.
Аналогично примерам 1,3 найдем уравнение линейной рег-
рессии:
у = 0,37х – 0,25.
Сравним величины U =
2
1
)(
n
i
i
yy
для найденной линейной
зависимости и зависимости у=
2
8
1
х
. Промежуточные вычисления
представим в таблице:
n
xi yi
2
8
1
х
0,37хi – 0,25
(
2
8
1
i
х
- yi)
2
(0,37xi – 0,25 – уi)
2
1
2
3
4
1
2
3
4
0,2
0,3
1,0
1,2
0,125
0,5
1,125
2
0,12
0,49
0,76
1,23
0,005625
0,040000
0,015625
0,640000
0,0064
0,0361
0,0576
0,0009
∑ - -
-
-
0,701250
0,1010
Как видно, U
лин
< Uкв, следовательно, линейная зависимость предпо-
чтительнее.
1.7. Задания для работы в аудитории
I. Имеются следующие данные о величинах x и y. Предполагая,
что между x и y существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу у =ɑх + b методом наименьших квадратов.
16
Задача 1.
х – цена на товар (усл.ед.); у – уровень продаж (тыс.ед.):
xi
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
yi
200
160
120
90
80
Задача 2.
х – уровень потребления электроэнергии на предприятии (млн.кВт . ч);
у – себестоимость единицы продукции:
xi
30
40
50
60
70
yi
18
20
21
24
25
II. По экспериментальным данным построить методом
наименьших квадратов линейную зависимость у=
ɑ
х + b. Сравнить
полученную зависимость с альтернативной и определить, какая из
них лучше соответствует экспериментальным данным.
Задача 3:
xi 2 2,5
3
3,5
4
yi
4,2
5,5
6,9
8
9,5
Альтернативная зависимость y=2x + 0,1x2.
Задача 4:
xi 1 2 3 4
5
yi
1,0
1,4
1,7
2,0
2,2
Альтернативная зависимость y=х.
Задача 5:
xi
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
yi
0,50
0,30
0,25
0,18
0,12
Альтернативная зависимость y=2-х.
1.8 Подбор эмпирических формул
по выборочным данным
Зависимость плотности тока (А/дм2) – хi от концентрации ПАВ
(мл/л) в электролитах никелирования – уi:
xi
yi 1 5 2 4 4 3,5
17
Требуется подобрать тип зависимости, используя метод
наименьших квадратов, исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений. Сделать чертеж одной из наиболее подходящих зависимостей, нанести на график исходные данные.
1. Линейная зависимость: у=ax+b.
Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ и
b зависимости:
у = ɑx + b;
ii
iiii
ybnxa
yxxbxa
2
i= y
расч
– y
i. .
i
xi
yi
x
i
2
xiyi
y
iрасч
i
i
2
1 1 5 1 5
4,79
0,21
0,0441
2 2 4 4 8
4,33
-0,33
0,1089
3 4 3,5
16
14
3,41
0,09
0,0081
7
12,5
21
27
0,1611
5,1237
27721
ba
ba
ɑ –0,46; b 5,25;
y = – 0,46х + 5,25.
Вычисляем y
iрасч
:
x1= 1; y
1расч
=-0,461+5,25=4,79;
x1= 2; y
2 расч
=-0,462+5,25=4,33;
x1= 4; y
3 расч
=-0,464+5,25=3,41.
2. Квадратичная зависимость: y = ax2 + bx + с.
Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ, b
и c данной зависимости:
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxcxbxa
1
2
1
2
1
3
1
4
;
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxcxbxa
111
2
1
3
;
n
i
i
n
i
i
n
i
i
ycnxbxa
111
2
;
i= y
расч
– yi .
;
;
;
;
18
i
xi
yi
xi yi
x
i
2
x
i
2
yi
x
i
3
x
i
4
y
iрасч
i
i
2
1 1 5 5 1 5 1 1 5 0 0
2 2 4 8 4
16
8
16
4 0 0
3 4 3,5
14
16
56
64
256
3,5
0 0 7 12,5
27
21
77
73
273
0
5,123721
2772173
772173273
cba
cba
cba
ɑ = 0,25; b = –1,75; c = 6,5;
y = 0,25x2 – 0,75x + 6,5.
Вычисляем y
iрасч
:
x1=1; y
1расч
=0,25 12 – 1,75 1 + 6,5 =5;
x2=2; y
2расч
=0,25 22 - 1,75 2 + 6,5 =4;
x3=4; y
3расч
=0,25 42 - 1,75 4 + 6,5 =3,5.
3. Дробно-линейная зависимость: y = ɑ +
x
b
.
Запишем нормальную систему для определения параметров ɑ и
b данной зависимости:
i
i
i
i
i
i
x
y
x
b
x
a
y
x
bna
2
11
1
i= y
расч
– yi .
i
xi
yi
x
i
2
1/xi
1/x
i
2
yi /xi
y
iрасч
i
i
2
1 1 5 1 1 1 5
5 0 0
2 2 4 4 0,5
0,25
2
4 0 0 3 4
3,5
16
0,25
0,0625
0,875
3,5
0
0
7
12,5
21
1,75
1,3125
7,875
0
875,73125,175,1
5,1275,13
ba
ba
а = 3; b = 2;
y = 3 +
x
2
.
;
;
;
;
;
;
;
19
Вычисляем y
iрасч
:
x1=1; y
1расч
=3 +
1
2
= 5;
x2=2; y
2расч
=3 +
2
2
= 4;
x3=4; y
3расч
=3 +
4
2
=3,5.
4. Показательная зависимость: y = ɑ bx.
Запишем нормальную систему для определения параметров
ɑ и b данной зависимости:
ii
iiii
ynaxb
yxxaxb
lnlnln
lnlnln
2
i = y
расч
– yi .
i
xi
yi
x
i
2
lnyi
xi lnyi
y
iрасч
i
i
2
1 1 5 1 1,61
1,61
4,86
0,14
0,0196
2 2 4 4 1,39
2,78
4,37
-0,37
0,1369
3 4 3,5
16
1,25
5
3,54
-0,04
0,0016
7
12,5
21
4,25
9,39
0,1581
25,4ln3ln7
397,9ln7ln21
ab
ab
lnb = –0,11; b = e
-0,11
0,9;
lna =1,68; a = e
1,68
5,4;
y = 5,40,9x.
Вычисляем y
iрасч
:
x1=1; y
1расч
=5,4 0,914,86;
x2=2; y
2расч
= 5,4 0,924,37;
x3=4; y
3расч
=5,4 0,943,54.
Суммы квадратов отклонений расчетных данных от теоретических данных для найденных зависимостей:
i
Зависимость
i
2
1
y=-0,46х+5,25
0,1611
2
y=0,25x2-0,75x+6,5
0
3
y=3 +
x
2
0
4
y=5,40,9x
0,1581
;
;
;
;
20
ВЫВОД: Наилучшим образом подходит дробно-линейная зави-
симость
(y = 3 +
x
2
)
и квадратичная зависимость
(y = 0,25x2 – 0,75x + 6,5).
Сделаем чертеж одной из наиболее подходящих зависимостей,
нанесем на график исходные данные.
1.9. Индивидуальные расчетные задания
В ходе исследования получены следующие данные:
Теплота растворения некоторой соли от температуры окружающей среды (х – теплота растворения некоторой соли –
ΔН, кДж/моль; y – температура окружающей среды – Т,о С).
Требуется подобрать тип зависимости, используя метод
наименьших квадратов, исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений. Сделать чертеж одной из наиболее подходящих зависимостей, нанести на график исходные данные.
№1
xi
yi
-1 0 1 2 2
1.5
№4
xi
yi
-1
-1 1 3
0.5
2
№2
xi
yi
-1
-2 1 4 3 2
№5
xi
yi
-2
-4
-1
-1 1 5
№3
xi
yi
-1 3 1
-1 2 0
№6
xi
yi
-1 0 1 2 2
1.5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]