Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Микрооптика. Учебное пособие
.pdf
() ( ) ( ) ,
R
J
R
J
J
R
R
J
J
KK KK
12
R
(43)
при этом модуль волнового вектора определен как
22.n
K
v
(44)
0
где λ – длина волны света в веществе.
В случае изотропных сред нормальные составляющие для отраженной и падающей волны равны по величине и противоположны по
направлению:
KK
nn
.() ()
Это допускает лучевую трактовку про-
1
хождения границы раздела двух изотропных сред в приближении геометрической оптики, как показано на рис. 2.
При падении пучка света с интенсивностью
n
с показателем преломления
на плоскую границу раздела с изотроп-
1
ной однородной средой с показателем преломления
ражается, а часть
1)
угол отражения
2)
частота электромагнитных колебаний не меняется и произведение
sin( )n
одинаково как для падающего (индекс 1), так и для преломлен-
J
преломляется. При этом:
2T
равен углу падения
из изотропной среды
1
n
часть его
2
;
1
от-
ного (индекс 2) лучей, т. е. выполняется закон Снеллиуса [см. выражения (16) и (17)];
падающий, отраженный и преломленный лучи лежат в одной
3)
плоскости с нормалью к границе раздела (для изотропных сред).
интенсивность как отраженного
4)
зависит как от его поляризации, так и от угла падения θ
,
так и прошедшего
.
1
света
T
Эти зависимости устанавливаются соотношениями Френеля.
Известно, что электромагнитное поле можно представить линейной
комбинацией двух типов волн, для которых: 1) вектор напряженности
электрического поля E перпендикулярен плоскости падения, т. е. лежит
в плоскости границы раздела; эта волна обозначается TE и называется
поперечной электрической волной (или волной с перпендикулярной поляризацией); 2) вектор напряженности магнитного
поля H перпендикулярен плоскости падения; эта волна обозначается TM и называется поперечной магнитной волной (или волной с параллельной поляризацией).
41
При прохождении электромагнитной волны через границу раздела
R
охарактеризовать это прохождение можно, определив коэффициенты
отражения (r) и пропускания (t). Эти коэффициенты (по амплитуде) за-
висят от угла падения
и поляризации.
1
Для волны TE
cos cos sin ( )
nn
112 2 12
r
TE
cos cos sin( )
nn
112 2 12
2cos
n
t
TE
nn
11
cos cos
112 2
(46)
.
(45)
;
Для волны TM
cos cos tg ( )
nn
r
TM
2112 12
cos cos sin ( )
nn
2112 12
2cos
n
t
TM
cos cos
nn
2112
11
(48)
.
(47)
;
Коэффициенты отражения по интенсивности получаются из выра-
жений (45)–(48):
2
sin ( )
Rr
перп
Rr
парал
2
TE
2
TM
12
2
sin ( )
12
2
tg ( )
12
2
tg ( )
12
;
(49)
.
(50)
Из анализа этих зависимостей можно сделать следующие выводы.
1. Для волны TM при
12
/2
коэффициент отражения
= 0.
1
Угол, при котором выполняется это условие, называется углом Брюстера [см. выражение (37)].
2. При отражении от поверхности оптически менее плотной среды
()nn
21
существует предельный угол падения
n
C
1
arcsin .
42
2
n
1
,C
для которого R = 1:
(51)
Для углов
1 C
при любой поляризации коэффициент отражения
по интенсивности равен единице: электромагнитная волна испытывает
полное отражение от границы раздела. Поэтому
называется углом
C
полного внутреннего отражения.
3. Поскольку
и
вещественны и вещественны функции (45)–(48),
1
2
следовательно, фаза каждой компоненты отраженной и прошедшей
волны либо равна фазе соответствующей компоненты падающей волны,
либо отличается от нее на π (если r или t отрицательны).
Рассмотрение особенностей эффекта полного внутреннего отраже-
ния (ПВО) показывает, что если луч падает на поверхность раздела под
,C
углом, большим критического
то он не отражается точно в точке
падения, а проникает на некоторое расстояние во вторую среду и снова
выходит в первую, но на расстоянии D вдоль поверхности раздела под
углом, равным углу отражения, как показано на рис. 11.
Рис. 11. Особенности прохождения света при эффекте полного
внутреннего отражения
При этом амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает
по мере удаления от границы раздела с показателем затухания:
2
2
2
sin .
Следовательно, при углах падения, при которых
1
n
2
(52)
n
1
121
,sin /nn
пре-
ломленная волна представляет собой поверхностную волну, амплитуда
которой экспоненциально затухает по нормали к поверхности раздела.
43
Расстояние D связано с соотношением
x
x
x
nD
2
.
(53)
При полном внутреннем отражении отраженная волна приобретает
ie
фазовый сдвиг
,
зависящий от угла падения. Эта зависимость мо-
жет быть определена по выражению
22
sin
2arctg .
121
cos
1
n
(54)
Как показано на рис. 11, полное внутреннее отражение плоской
волны на границе раздела двух диэлектрических сред сопровождается
теми же эффектами, что и отражение от идеальной металлической плос-
кости, смещенной на некоторое расстояние
рассматриваемых сред, причем
Параметр D можно связать с
является функцией угла падения.
0
простым соотношением
0
от поверхности раздела
0
2sin.Dx
01
(55)
Фазовый сдвиг Δφ, связанный с разностью хода δ = AM + MB =
2cos ,x
=
01
равен:
2cos2.kn x kn x
10110
(56)
К этому сдвигу необходимо добавить скачок фазы, равный π, который появляется при отражении от металлической поверхности. В результате суммарное изменение фазы можно выразить как
2.x
0
(57)
Эффект полного внутреннего отражения используется для направленной передачи оптического излучения по диэлектрическим волноводам [1, 2, 6, 13–17].
Рассмотрим распространение излучения по простейшему планарному волноводу, представляющему собой оптически прозрачный
44
диэлектрический слой толщиной d с показателем преломления
,n
1
рас-
положенный между двумя диэлектрическими полупространствами с показателями преломления
.n
Причем:
2
11 2 2
.nn
(58)
Распространение светового луча в таком волноводе показано на рис. 12.
Распространяться будут только лучи, которые падают под углом
превышающим некоторый критический угол
.C
Если
A
– наиболь-
2
ший угол падения лучей, испытывающих полное внутреннее отражение,
то, как следует из рис. 12:
sin sin cos ,
где
n
– показатель преломления окружающей среды;
0
nnn
0111
преломления сердцевины;
ческий угол
определяется выражением (51).
C
AC
– критическое значение угла
C
(59)
n
– показатель
1
.
Крити-
2
,
Рис. 12. Распространение излучения по простейшему
планарному волноводу
Используя выражения (51) и (59), а также равенство
22
cos 1 sin ,
CC
45
получим:
A
Величина
sin 2 ( ) .
nnnnnn
012112
sin
n
0
A
называется числовой апертурой (NA) волновода.
1/2
22
1/2
(60)
Для достижения высокой эффективности ввода волновод необходимо освещать источником с числовой апертурой, не превышающей
числовой апертуры волновода.
Например, у волновода с
n
= 1,5 и
1
приблизительно равна 0,17. Когда
–nn
= 0,01 числовая апертура
12
n
= 1, это соответствует конусу
0
входа световых лучей с половинным углом, равным 10°.
Из-за ограниченности диапазона углов распространения лучей
вдоль волокна ввод излучения источника света в волновод представляет
непростую задачу. Например, в случае использования светодиода как
источника излучения, в волновод можно ввести только малую часть
мощности излучения светодиода. Если предположить, что светодиод
яв-
ляется ламбертовским источником, то нетрудно видеть, что мощность,
излучаемая в конус с половинным углом
,A
пропорциональна
2
sin .A
Поэтому если сердцевина, по крайней мере, не меньше светодиода, то
эффективность ввода излучения светодиода в волновод равна
2
sin .A
(Она меньше, если светодиод больше сердцевины.). Для волновода из
предыдущего примера эффективность ввода составляет примерно 3 %.
Плоскую волну можно описать как совокупность лучей, перпендикулярных волновому фронту. Любая такая совокупность лучей может
быть направлена на торец волновода. Если угол падения на торец
меньше угла входа волновода, совокупность лучей (или, что эквива
лентно, плоская волна) проходит внутрь и будет распространяться
вдоль волновода. Лучи будут распространяться вдоль ломаных линий,
как показано на рис. 12, отражаясь поочередно от каждой из поверхностей волновода. Обычно разность фаз между отраженными лучами не
постоянна. В некоторых точках вдоль оси может происходить интерференционное сложение, в других – гашение. Вследствие
этого интенсив-
ность в общем случае меняется вдоль оси.
-
46
Однако некоторые совокупности лучей обладают специфическими
особенностями: в результате усиливающейся интерференции соседних
параллельных друг другу лучей формируется картина, которая характеризует постоянством распределения интенсивности вдоль волновода.
Важность таких выделенных совокупностей лучей поясняет рис. 13,
на котором показано поперечное сечение плоского волновода, не ограниченного в направлении, перпендикулярном плоскости листа.
Рис. 13. Распространение «особенных» лучей
в планарном волноводе
Два изображенных луча пересекают поверхность раздела двух сред
под углом θ
. Пунктирные линии
2
АА
и
,ВВ
перпендикулярные лучам,
представляют волновые фронты. Оптическая разность хода между
двумя лучами определяется как
2cos.ОРХ nd
12
(61)
Отметим, что полученный результат совпадает с выражением, справедливым для интерферометра Фабри – Перо.
Разность фаз φ определяется разностью хода, она равна
2cos,nkd
12
где k – волновое число световой волны в вакууме. Кроме того, электромагнитная теория утверждает, что при отражении возникает дополнительный фазовый сдвиг Φ.
Полная разность фаз
между двумя лучами равна сумме сдвигов
t
фаз, связанных с разностью оптического пути и с отражением, что дает
2cos2.
nkd
11
t
47
(62)
Необходимо отметить, что Ф = 0, когда значение
,C
чению критического угла
Когда
меньше критического угла, лучи преломляются и направ-
2
ляемая мода не формируется. Когда
и Ф = 90° для скользящего падения.
= 2πm, лучи интерференци-
t
близко к зна-
2
онно складываются. Это выполняется только для определенных углов падения.
Световая волна, проникнув извне в сердцевину оптического волновода, испытывает многократное полное внутреннее отражение и распространяется по зигзагообразному пути. Количественное описание
этого процесса дает решение уравнений Максвелла. Результаты решения показывают следующее.
Распространяясь по оптическому волноводу
и многократно отражаясь от границ раздела, плоская волна накладывается сама на себя. Результирующая волна в волноводе представляет собой сумму полей первоначальной и отраженной волны. Ее интенсивность будет нарастать
только в том случае, если основная и отраженные волны складываются
по фазе. Это условие приводит к резонансному эффекту. Он
означает,
что в оптических волноводах могут распространяться только волны,
у которых распределение поля по сечению волновода имеет определенную структуру.
Волна, распределение поля в которой удовлетворяет условию резо-
нанса, называется волноводной модой.
Пары лучей, одинаково наклоненных к оси, как это показано на
рис. 13,
соответствуют волноводной моде, только если выполнено усло-
вие интерференционного сложения. Если возбуждается только одна
мода при правильном выборе угла падения, распределение поля внутри
волновода остается неизменным при распространении излучения вдоль
волновода.
Каждой из разрешенных для данного волновода мод в геометрическом приближении может быть поставлен в соответствии определенный
дискретный угол распространения и эффективный показатель прелом-
ления
,n
определяющий скорость движения волноводной моды
эфф
вдоль оптической оси. Поясним сказанное с помощью рис. 14 [1].
48
Пусть в световоде под углом φ к его оси распространяется плоская
волна с вектором распространения
,kkn
совпадающим с направле-
01
нием оптического луча. Коэффициент распространения света вдоль оси z
равен
01
cos ,
(63)
kkn
z
а вдоль оси x:
01
sin .
(64)
kkn
x
Рис. 14. Образование волноводных мод в планарном световоде
Собственная волноводная мода соответствует замкнутому в сердцевине свету. Для нее коэффициент распространения определяется из
условия формирования двух стоячих плоских волн
xе
и
,
е
а по-
x
тому χ принимает дискретные собственные значения. Коэффициент распространения β в направлении z также может принимать только дискретные значения. Следовательно, углы φ и θ = π/2 – φ дискретны.
Найдем собственные значения угла φ. Для образования стоячей
волны должны интерферировать между собой такие бегущие волны, которые в точке
с одной и той же координатой x имеют одинаковые фазы.
Это означает, что когда волна дважды отразилась от границ волновода
и вернулась к тому же значению х, ее фаза (с учетом сдвига фаз, свойственных условию полного внутреннего отражения) должна измениться
на величину, кратную 2π, т. е.
49
2sin
dnm
1
222,
0
(65)
где Φ определяется выражением (49), m = 0, 1, 2, …;
– длина волны
0
в вакууме.
Разрешенные значения φ =
и их дискретность определяются че-
m
рез m, соответственно
()
sin .
m
mdn
2
0
(66)
1
Существует максимальное значение m, вытекающее из условия пол-
ного внутреннего отражения. Максимальный угол
/2 ,
CC
при
котором происходит полное внутреннее отражение, можно определить
как
22
nnn
arccos arcsin arcsin 2 .
С
212
n
1
2
n
1
(67)
Параметр Δ называется удельной разницей показателей преломления и определяется через показатели преломления волновода и оболочек:
22
nn n
12 2
2
n
n
2
1
.
1
(68)
n
1
Таким образом,
2
dn
m
1
2.
0
(69)
В большинстве многомодовых волокон, используемых в оптических
системах связи, одновременно распространяется много мод. Рассмотрим кратко способ оценки числа распространяющихся в волокне мод
[18]. Большая часть оптической мощности переносится в сердцевине волокна с помощью мод высоких порядков. Приближенная формула,
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]