Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и измерения в телекоммуникационных системах. Учебное пособие
.pdf
Инструментальная (аппаратурная) погрешность – составляющая по-
грешности измерений, обусловленная погрешностями применяемых средств измерений.
Энергетическая погрешность – составляющая погрешности измерений,
обусловленная потреблением средством измерения мощности от объекта исследования.
Погрешность, порожденная выходом неинформативных параметров ис-
следуемого сигнала за пределы, допускаемые характеристиками средств измерения.
Внешняя погрешность – погрешность, обусловленная внешними по отношению к прибору влияниями, т.е. условиями, в которых проводятся измерения.
Субъективная (личная) погрешность – погрешность, возникающая вследствие неправильного выбора модели (классификации), несовершенства органов
чувств оператора, а также его небрежности или недостаточного внимания в процессе измерений и фиксации их результатов.
3. КЛАСС ТОЧНОСТИ
Классом точности средства измерений называют обобщенную характеристику средства измерений, определяемую пределами основных и дополнительных
погрешностей (а также другими свойствами средств измерений, влияющими на
точность), значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды
средств измерений.
Пределы допустимой основной погрешности – это наибольшая основная
погрешность средства измерений, при которой средство измерений по техническим требованиям может быть допущено к применению.
Значение приведенной погрешности
, выраженное в процентах, использу-
0
ется для обозначения класса точности таких СИ.
Однако полагать, например, что вольтметр точности 1,0 обеспечивает во
всем диапазоне измерений получение результатов с погрешностью ±1% – грубейшая ошибка. В действительности текущее значение относительной погрешности
(х) = Δ0/х, т.е. растет обратно пропорционально х и изменяется по гиперболе
(рис. 3).
Таким образом, относительная погрешность – (x) равна классу прибора
0
лишь на последней отметке шкалы (при x = L). При x = 0,1L она в 10 раз больше
, а при дальнейшем уменьшении х стремится к бесконечности.
0
При уменьшении измеряемой величины x до значения абсолютной погрешности нуля Δ
(x) = Δ0/x = Δ
относительная погрешность результата измерения достигает –
0
= 1 = 100%. Такое значение измеряемой величины, когда
0/Δ0
х = Δ0 и (x) = 100%, называется порогом чувствительности СИ.
11
Отсюда полный диапазон DП измеряемых величин для любого преобразова-
x
LD00
0
З
DР
DП
(x) = D0/x
100%
теля ограничивается снизу порогом чувствительности, а сверху – пределом измерений. Так как в области малых значений х погрешность измерений очень велика,
то рабочий диапазон DР ограничивают снизу таким значением х, где относительная погрешность измерений δ(x) не превосходит ещё некоторого заранее заданного значения δЗ, равного, например, 4, 10 или 20%. Таким образом, рабочий диапазон назначается достаточно произвольно и составляет только некоторую часть
полного диапазона СИ. В начальной же части шкалы измерения недопустимы, в
чём и заключается отрицательное влияние аддитивной погрешности, не позволяющее использовать один и тот же преобразователь для измерения как больших,
так и малых измеряемых величин.
Рисунок 3 - Относительная погрешность результата измерения
4. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ И ИХ УЧЕТ
Исключение систематических погрешностей – одна из главных задач при
планировании, подготовке, проведении измерений и обработке их результатов.
Универсальных способов борьбы с систематическими погрешностями нет.
Наиболее характерные ситуации, встречающиеся на практике.
1. Установка нуля, предварительная калибровка – реальные условия из-
мерений позволяют устранить источник погрешностей до начала измерений.
2. Метод теоретического анализа – сводится к усложнению модели за
счёт учёта ранее неучтенных факторов. Например, наличие сопротивления проводов, внутреннего сопротивления источника и т.п. (рис. 4). Таким образом, систематическую погрешность можно рассчитать на основании известных характеристик используемых приборов или особенностей метода измерения, т.е. по формулам.
12
U
ВЫХ
= E – IR
i
R
E
I
A
RR
U
I
вых
А
R
E
R
А
А
R
R
i
E
U
ВЫХ
W
Rx
W
RЭ
Магазин
сопротивлений
N N SS
Рисунок 4 - Применение метода теоретического анализа
3. Метод введения поправок и поправочных множителей – если проис-
хождение погрешности известно и её значение (абсолютная величина и знак) достаточно точно определены. Поправка – это значение физической величины, одноименной с измеряемой, прибавляемое к полученному при измерении значению
для исключения систематической погрешности (поправка численно равна абсолютной систематической погрешности, но имеет обратный знак). Поправочный
множитель – число, на которое с той же целью умножают результат измерения.
4. Метод замещения – измеряемую величину замещают мерой и по разни-
це показаний прибора и значений меры определяют поправку (рис. 5). Если такой
меры нет, то метод не применим.
жды так, чтобы известная по природе, но не известная по размеру погрешность
входила в результаты измерений с противоположными знаками. Погрешность исключается при вычислении среднего значения.
ной с влиянием магнитного поля Земли (рис. 6). Первое измерение можно проводить, когда СИ находится в произвольном положении. Перед проведением второго измерения СИ поворачивают в горизонтальной плоскости на 180°. Если в первом случае магнитное поле Земли, складываясь с магнитным полем прибора, вызывает погрешность с положительным знаком, то при повороте на 180
поле Земли будет оказывать противоположное действие и вызовет погрешность,
равную по величине, но противоположного знака.
Рисунок 5 - Применение метода замещения
5. Метод компенсации погрешности по знаку – измерение проводят два-
Данный способ широко используется для исключения погрешности, связан-
0
магнитное
Рисунок 6 - Исключение погрешности, связанной с влиянием
магнитного поля Земли
13
Одной из причин систематической погрешности в стрелочном приборе яв-
МВР
МТР
МВР
МТР
2
21
0
AAA
A
1
A
2
A
0
ляется момент трения (рис. 7). К измеряемой величине подходят со стороны
меньших и больших значений, и результат получают как полусумму этих значений.
Рисунок 7 - Исключение погрешности, связанной с моментом трения
в стрелочном приборе
6. Метод образцовых сигналов – поочередно измеряют неизвестный и эта-
лонный сигнал того же порядка. Поправку находят из показаний прибора по эталонному сигналу.
7. Поверка средств измерений – установление органом государственной
метрологической службы (или другим официально уполномоченным органом, организацией) пригодности средства измерений к применению на основе экспериментально определенных метрологических характеристик и подтверждения их
соответствия установленным обязательным требованиям. Основной метрологической характеристикой, определяемой при поверке СИ, является его погрешность.
Она находится путём сравнений показаний поверяемого СИ и рабочего эталона.
8. Рандомизация – перевод систематической погрешности в случайную пу-
тём измерения неизвестной величины несколькими приборами и вычисления
среднего значения по всем измерениям, принимаемого за оценку истинного значения. Метод применяется, когда причины систематической погрешности ясны из
физических соображений, но её абсолютная величина и знак неизвестны, а имеются сведения лишь о пределах, в которых может находиться значение систематической погрешности.
9. Термостатирование и термоизоляция отдельных узлов или всего измери-
тельного прибора, проведение измерений в термостатированных помещениях (для
исключения температурной погрешности), применение экранов для защиты от
влияния электромагнитных полей, использование стабилизированных источников
питания, амортизация прибора, удаление его от источников возможного воздействия, от объектов измерений.
10. Проведение измерения несколькими различными методами, различными
приборами при различных условиях, если о систематических погрешностях ничего не известно, хотя в действительности они имеются, и их значения существенны.
14
Смысл всех методов борьбы с систематической погрешностью сводится к
0 A
i
x'
нахождению поправки и использованию её для уничтожения Δ
(поправка равна
сист
по величине и противоположна по знаку систематической погрешности).
5. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
В основе методов исключения влияния случайных погрешностей лежат ме-
тоды математической статистики, имеющие дело со случайными величинами. В
теории измерений для описания погрешности измерений используют интегральные или дифференциальные функции распределения.
Под интегральной функцией распределения результатов измерений пони-
мают вероятность того, что результат измерения А в i-м опыте окажется меньше
некоторого текущего значения x, т.е. F(x) = Р{Ai ≤ x}.
Если рассматривать результат отдельного наблюдения Ai как случайную
точку на оси 0x (рис. 8), то значение интегральной функции распределения точки
x' численно равно вероятности того, что случайная точка Ai в результате i-го
измерения займет некоторое положение левее точки x'. Эти вероятности, очевидно, различны для различных точек x'. При перемещении точки x' вправо вдоль
числовой оси вероятность того, что в результате измерения точка Ai расположится
левее x', не может уменьшиться. Следовательно, F(x) – функция неубывающая:
F(–∞) = 0, F(+∞) = 1.
Рисунок 8 - Результат наблюдения Ai на оси 0x
Пусть X2 X1 (рис. 9). Тогда:
PA X2 = A X1 либо X1 A X2 = PA X1 + PX1 A X2
или
PX1 A X2 = PA X2 – PA X1 ⇒ PX1 A X2 = F(X2) – F(X1).
Рисунок 9 - Распределение случайных величин на оси
Т.е. вероятность попадания случайной величины в заданный интервал опре-
деляется крутизной функции распределения на этом интервале и равна разности
F(X2) – F(X1) (рис. 10). Крутизна функции характеризуется производной.
15
()
()
dF x
fxdx
( ) ( ) ( )
( ) или ( )
P x A x x
dF x F x x F x
f x f x
dx x x
D
D
DD
( ) ( ) ( ) 1
x
F x f x dx f x dx
2
1
12
()
x
x
P x A x f x dx
X
1
X
2
P
3
F(D)
D
0
P1 ≈ P3 ≈ 0; P2 → наиболее вероятное событие
X
1
X
2
X
1
X
2
P
2
P
1
Рисунок 10 - Интегральная функция распределения
Поэтому более наглядным является описание свойств результатов наблюде-
ний и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:
.
Термин «плотность вероятности» становится понятным при рассмотрении
изменения непрерывной случайной величины в достаточно узких границах от x до
x + Dx. Тогда:
.
При малом D x функция f (x) имеет смысл плотности вероятности, так как
она равна отношению вероятности попадания случайной величины внутрь интервала (x, x + Dx) к длине этого интервала. Плотность вероятности как производная
неубывающей функции (интегральной функции распределения) не может принять
отрицательных значений: f (x) 0.
При переходе от дифференциальной функции распределения к интеграль-
ной путём интегрирования получают:
.
Т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функцией
распределения и осью абсцисс, равна единице. При проведении измерения вероятность попадания результата измерения (рис. 11) в обозначениях дифференциальной функции распределения оценивается по формуле:
.
Таким образом, вероятность того, что значение непрерывной случайной ве-
личины находится внутри заданного интервала, равна площади под кривой распределения этой случайной величины на рассматриваемом интервале.
16
[ ] ( )M x x f x dx
f(Dai) f(ai)
A = const
Рисунок 11 - Вероятность попадания результата измерения в заданный интервал
При этом закон распределения погрешностей измерения и закон распреде-
ления результатов измерений отличаются друг от друга на постоянную величину
А – истинное значение измеряемой величины (рис. 12).
Рисунок 12 - Распределение погрешности измерения Δai и результата измерения ai
Произведение f(x)dx называется элементом вероятности. Оно равно вероят-
ности того, что случайная величина x примет некоторое значение в интервале dх,
поэтому по форме кривой распределения можно судить о том, какие интервалы
значений измеряемой величины более, а какие менее вероятны.
Функция распределения является самым универсальным способом описания
поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных
погрешностей прибегают в основном при исследовании принципиально новых
мер и измерительных приборов.
Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых мо-
ментами. Интеграл вида:
называется математическим ожиданием результатов наблюдений, принимаемым
за оценку истинного значения измеряемой величины, являющейся координатой
центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения.
17
Опираясь на рассмотренное, можно дать более строгое определение посто-
2 2 2
[ ] [( [ ]) ] ( [ ]) ( ) ( )D x M x M x x M x f x dx f d
2
2
2
1
( ) exp
2
2
f
D
D
2
2
2
1 ( [ ])
( ) exp
2
2
i
i
a M x
fa
[]Dx
янной систематической и случайной погрешностей.
Систематической погрешностью называется отклонение математического
ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:
Δ
= M[A] – A0.
сист
Случайной погрешностью называют разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов: Δ
= A – M[A].
случ
В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет:
A0 = A – Δ
сист
– Δ
случ
.
Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов
наблюдений и обозначаемый D[x]:
.
Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического
ожидания.
Действительно, как видно из формулы, дисперсия всё более увеличивается с
ростом элементов вероятностей f()d с появлением больших значений случайной
погрешности, т.е. с увеличением рассеивания результатов наблюдений.
Реально каждой серии измерений, производимой с определенной группой
измерительных приборов, соответствует свой закон распределения погрешностей.
Установление и анализ этого закона существенно усложнили бы процедуру расчёта погрешностей измерения. Поэтому на практике обычно пользуются аппроксимацией реального закона распределения, сводя его к наиболее простому виду.
Нормальный закон распределения вероятности случайной составляющей
погрешности наиболее часто встречается в природе и технике. Он является следствием одновременного действия большого числа независимых факторов, каждый
из которых в отдельности незначительно влияет на результат измерения.
Для центральной случайной погрешности, имеющей нормальное распределение, плотность вероятности определяется выражением:
или для результата измерений:
,
где
– среднеквадратическое отклонение имеет ту же размеренность,
18
что и измеряемая величина; D[x] – имеет размерность квадрата измеряемой вели-
( ) 1f x dx
2
2
2
1
{ } exp
2
2
Pd
D
D D
2
0
2
{ } exp 2 ( )
2
2
k
u
P k k du Фk
D
1
<
2
<
3
f(D)
D
0
1
2
3
чины.
Кривые симметричны относительно оси Y, так как функция f(x) – чётная.
Максимум кривых соответствует D = 0.
Из формулы следует, что распределение плотности вероятности при нормальном законе зависит от среднеквадратического отклонения (рис. 13). С увели-
чением
максимальное значение f(x) уменьшается, кривая расширяется и стано-
вится более пологой. Площадь, ограниченная графиком f(x) и осью абсцисс, остается при этом неизменной, равной единице. Таким образом
при
любых значениях среднеквадратического отклонения.
Рисунок 13 - Распределение плотности вероятности от среднеквадратического
отклонения
Вероятность того, что погрешность не превысит интервал D = – до D = +,
определяется соотношением:
Для проведения расчётов удобно связать величину
ским отклонением, т.е. принять:
– дисперсия. Тогда заменой переменной интеграл (1) приводится к известному
= k, где k – безразмерный коэффициент,
интегралу вероятности, значения которого табулированы:
D = u предел = k k
Это соотношение широко используется при практических расчётах. Из него
следует, что: Р{–3 D 3} = 2Ф(3) = 0,9973. Величину 3 принимают за максимальную погрешность при нормальном законе распределения.
19
. (1)
со среднеквадратиче-
. (2)
J = 2 – доверительный интервал; Р – доверительная вероятность. Тогда
a
11
nn
ii
ii
a nA a
D
11
11
nn
ii
ii
A a a
nn
D
1
1
lim 0
n
i
n
i
a
n
D
1
1
n
ni
i
A a a
n
результат измерения можно представить в виде:
A ,
где
– точность, P – коэффициент доверия.
Таким образом, чтобы записать результат измерения, необходимо знать А,
и закон распределения. Но так как истинные значения А и неизвестны, то пользуются оценками этих величин.
В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными
величинами, причём их значения зависят от числа измерений, а распределение вероятностей – от закона распределения вероятности отдельного измерения.
Оценки должны удовлетворять трём условиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными.
Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов n
оценка
приближается к истинному значению a.
Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание M[a] = a.
Очевидно, что если оценка несмещенная, то она не содержит систематической погрешности.
Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими она обладает наименьшей дисперсией, т.е. D[a] = min.
Запишем результат измерения в виде:
a1 = A + Da1, a2 = A + Da2, ... , an = A + Dan.
Суммируя почленно левые и правые части равенства, получаем:
,
откуда следует:
.
Если число наблюдений достаточно велико (строго говоря, n → ∞), то в силу нормального распределения, абсолютные погрешности одинаковой величины,
но с различным знаком встречаются одинаково часто (плотность распределения
симметрична относительно математического ожидания), а значит, второй член в
правой части будет равен нулю:
Таким образом при n → ∞ истинное значение измеренной величины равно
среднему арифметическому:
.
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]