Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы статистических расчетов для гуманитариев. Учебное пособие
.pdf
Найдем относительные и накопленные частоты. Результаты
ݔ
݅
Ͳ ͳ ʹ ͵
Ͷ
݊
݅
ͷ Ͷ Ͷ
ͳ
ݓ
݅
Ͳǡ͵
Ͳǡʹͷ
Ͳǡʹ
Ͳǡʹ
ͲǡͲͷ
σ݊
݅
ͳͳ
ͳͷ
ͳͻ
ʹͲ
σݓ
݅
Ͳǡ͵
Ͳǡͷͷ
Ͳǡͷ
Ͳǡͻͷ
ͳ
01234
w
i
x
i
Полигон относительных частот
01234
6w
i
x
i
Кумулятивная кривая
занесем в таблицу.
2. Строим полигон и кумулятивную кривую
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
11
3. Для нахождения
ە
эмпирической функции распределения ܨ
имеем:
ݔͲǡ ܨ
ݔ൏ʹǡܨ
ݔ൏Ͷǡܨ
݊
ሺݔሻ
ሺݔሻ
ൌ
݊
ͳͳ
ሺݔሻ
ൌ
݊
ʹͲ
ͳͷ
ൌ
ൌ ͲǡͻͷǢ ݔͶǡܨ
ʹͲ
Ͳ
ൌͲǢݔ൏ͳǡܨ
ʹͲ
ൌ ͲǡͷͷǢ ݔ൏͵ǡܨ
݊
݊
ሺݔሻ
ሺݔሻ
݊
ൌ
ሺݔሻ
ʹͲ
ʹͲ
ൌ
ʹͲ
ͳͷ
ൌ
ʹͲ
ൌͳ;
ൌͲǡ͵Ǣ
ൌͲǡͷǢ
Аналитически её можно записать следующим образом:
Ͳ˒˓ˋݔͲǡ
Ͳǡ͵˒˓ˋͲ ൏ ݔͳǡ
ሺݔሻ
ܨ
݊
Ͳǡͷͷ˒˓ˋͳ ൏ ݔʹǡ
ൌ
Ͳǡͷ˒˓ˋʹ ൏ ݔ͵ǡ
Ͳǡͻͷ˒˓ˋͲ ൏ ݔͶǡ
ͳ˒˓ˋݔͶǤ
4. Находим выборочные оценки числовых характеристик.
Мода: ܯ
ൌͲ
Медиана: ܯ
ͳͳ
ൌ
݁
ൌͳ
ʹ
Выборочная средняя:
݇
ͳ
ൌ
ݔ݅݊
ݔҧ
˅
݊
݅ൌͳ
ͳ
ሺ
Ͳ ͳͷʹͶ͵ͶͶͳ
ൌ
݅
ʹͲ
ሻ
Выборочная дисперсия:
݇
ͳ
ʹ
ൌ
ሺݔ݅െݔҧ
˅
݊
݅ൌͳ
ሺͳെͳǡͶͷሻʹͷሺʹ െͳǡͶͷ
ʹ
ͶሺͶെͳǡͶͷሻʹͳ
ʹͲ
ሺͲ െͳǡͶͷሻ
ൌ
ሺ͵ െͳǡͶͷሻ
ܵ
ʹ
Среднее квадратическое отклонение: ܵ
ʹͲ
ʹ
ሻ
ή݊
˅
ൌ
݅
ʹ
ሻ
Ͷ
ൌͳǡͷǤ
ʹ
ൌ
ܵ
ൌ ඥͳǡͷ ൌͳǡʹ
ඥ
˅
˅
Коэффициент вариации:
ܵ
˅
ൌ
ήͳͲͲΨ ൌ
ҧ
ݔ
˅
Вариационный размах – ܴൌ ݔ
ͳǡʹ
ήͳͲͲΨ ൎͺ͵Ψ .
ͳǡͶͷ
݉ܽݔെݔ݉݅݊
ൌͶെͲൌͶ.
ൌͳǡͶͷ
݊
ሺݔሻ
12
1.3. Интервальные статистические ряды
݊
͵ͲȂͷͲ
ͷͲȂͳͲͲ
ͳͲͲȂͶͲͲ
ͶͲͲȂͳͲͲ
ͳͲͲͲȂʹͲ
число
интервалов
ͶȂ
Ȃͺ
ͺȂͻ
ͻȂͳͳ
ͳͳȂͳʹ
Для получения интервальных статистических рядов
совокупность вариант группируется. Число интервалов распределения
признака ݉ следует брать не очень большим, чтобы после
группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не
потерять особенности распределения признака.
Согласно формуле Стержеса рекомендуемое число интервалов
݉ൌ ͳ ͵ǡ͵ʹʹ݈݊, а величина интервала (интервальная разность,
ширина интервала) равна ݇ൌ
ݔ
െݔ
݉ܽݔ
݉݅݊
ͳ͵ǡ͵ʹʹ ݈݊
. Примерное число интервалов
можно определить по следующей таблице:
Выборочные характеристики для интервального вариационного
ряда находятся аналогично дискретному. В качестве ݔ
берутся
݅
середины интервалов.
1.4. Начальные и центральные моменты вариационного ряда
Выборочная средняя и дисперсия являются частными случаями
более общего понятия – моментов вариационного ряда.
Начальный момент – ߥ
определяется по формуле ߥ
к – го порядка вариационного ряда
݇
ͳ
݉
݇
σ
ൌ
݇
ݔ
݊݅. Очевидно, что ߥͳൌ ݔҧ
݅
݅ൌͳ
݊
, то
˅
есть выборочная средняя есть начальный момент первого порядка.
Центральный момент – ߤ
определяется по формуле ߤ
к – го порядка вариационного ряда
݇
ͳ
݉
σ
ൌ
݇
ሺݔ
݅ൌͳ
݊
݅
െݔҧ
݇
ሻ
݊
. С помощью
˅
݅
моментов распределения можно описать не только среднюю
тенденцию, но и другие особенности вариации признака. Очевидно,
что ߤ
ൌͲሺ˕˃ˍˍ˃ˍ
ͳ
σ
݉
ሺݔ݅െݔҧ
݅ൌͳ
ሻൌͲሻ
˅
, а ߤʹൌ ܵ
ʹ
ǡ то есть это
˅
дисперсия.
Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется
число ܣ
ሚ
ൌ
симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные отݔҧ
одинаковую частоту. При ܣ
часть более пологая). При ܣ
݉
σ
ߤ
͵
݅ൌͳ
ൌ
͵
ݏ
͵
ҧ
െݔ
ሻ
݊
݅
݊ݏ
Ǥ
˅
݅
. Если ܣ
͵
ሚ
Ͳ – положительная асимметрия (правая
ሚ
൏Ͳ – отрицательная асимметрия (левая
ሚ
ൌͲ, то распределение имеет
, имеют
˅
ሺݔ
часть более пологая).
ߤ
Ͷ
෨
Эксцессом вариационного ряда называется число ܧ
݉
σ
݅ൌͳ
ൌ
Ͷ
ҧ
െݔ
ሻ
݊
݅
݊ݏ
Ǥ
˅
݅
െ͵. Онявляется показателем «крутости»
Ͷ
ሺݔ
13
െ͵ൌ
ൌ
Ͷ
ݏ
вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением.
Номер
интер-
вала
Границы
интервала
Середина
интер-
вала
Частота
݊
݅
Накопленная
частота
ߑ݊
݅
Относи-
тельная
частота
݊
݅
݊
Накоп-
ленная
относ.ча
стотаߑ
݊
݅
݊
ͳ
ͷͷȂͷͻ
ͷ ʹ ʹ
ͲǡͲ
ͲǡͲ
ʹ
ͷͻȂ͵
ͳ
9 Ͳǡʹ͵͵
Ͳǡ͵
͵
͵Ȃ
ͷ ͺ ͳ
ͲǡͲ
Ͳǡͷ
Ͷ
Ȃͳ
ͻ
23
Ͳǡʹ
Ͳǡ
ͷ
ͳȂͷ
͵ Ͷ ʹ
Ͳǡͳ͵͵
Ͳǡͻ
ͷȂͻ
͵ ͵Ͳ
Ͳǡͳ
ͳ
Эксцесс нормально распределенной величины равен нулю. Если
, то полигон имеет более крутую вершину. Если
Ͳ
пологую, чем нормальное распределение.
ЗАДАЧА 2. Дана выборка результатов уровня общего
интеллекта в подростковом возрасте по тесту Амтхауэра:
Ͳǡ ǡ Ͷǡ ͵ǡ ͷǡ ǡ ͻǡ ͻǡ ͷǡ ʹǡ ͳǡ ͺǡ Ͷǡ ʹǡ ͷǡ Ͳǡ ͷǡ ͳǡ ͳǡ ͳǡ
ͻǡ Ͳǡ ͻǡ ͷǡ ǡͶǡʹǡʹǡͲǡͷͷǤ
Требуется:
1) Составить
2) Построить полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.
3) Найти выборочные оценки числовых характеристик:
выборочное среднее, выборочную медиану и моду, вариационный
размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент
вариации, асимметрии и эксцесс.
Решение
1) ݊ൌ͵Ͳǡ ݉ൌǡ ݇ൌͶ.
интервальный статистический ряд.
ܧ
෨
൏Ͳ
෨
ܧ
, – более
Замечание.Элемент, совпадающий с верхней границей
интервала относится к последующему интервалу.
2) Строим полигон, гистограмму и кумуляту
14
0,3
5761656973
77
Относительная частота
Середины интервалов
Полигон относительных частот
55-59
59-63
63-67
67-71
71-75
75-79
Относительная частота
Интервалы группировки
Гис тограмма относительных частот
5761656973
77
Накопленная
Середины интервалов
Кумулятивная кривая
0,2
0,1
0,3
0,2
0,1
0
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
относительная частота
15
3)
Мода
находится по гистограмме распределения.
Находим прямоугольник с наибольшей частотой. Соединяя отрезками
прямых вершины этого прямоугольника с соответствующими
вершинами двух соседних прямоугольников, получим точку
пересечения этих отрезков (диагоналей), абсцисса которой и будет
модой вариационного ряда:
Медиану
находим по кумуляте. Проводим горизонтальную
ൌ Ͷǡͷ
.
прямую ݕൌͳͷ до пересечения с графиком эмпирической функции
распределения (или кумулятой). Абсцисса точки пересечения и будет
медианой вариационного ряда: ˈൌͶ.
Выборочная средняя
݇
ͳ
ൌ
ݔ݅݊
ݔҧ
˅
݊
݅ൌͳ
ͳ
ሺ
ͷ ʹͳͷͺͻ͵Ͷ͵Ͷ
ൌ
݅
͵Ͳ
ሻ
ൌ ǡ
Выборочная дисперсия –
݇
ͳ
ʹ
ൌ
ሺݔ݅െݔҧ
˅
݊
݅ൌͳ
ʹ
ሻ
Ͷሺെǡሻʹ͵
͵Ͳ
ሺͷ െǡሻ
ൌ
ܵ
ʹ
ʹሺͳെǡሻʹሺͷ െǡ
ሺ
͵ െǡ
Среднее квадратическое отклонение – ܵ
͵Ͳ
ʹ
ሻ
ή݊
˅
ൌ
݅
ʹ
ሻ
ͺሺͻെǡሻʹ
ൌ ͵͵Ǥ
ʹ
ൌ
ܵ
ൌξ͵͵ ൌͷǡͷ.
ඥ
˅
˅
Коэффициент вариации:
ܵ
˅
ൌ
ήͳͲͲΨ ൌ
ҧ
ݔ
˅
Вариационный размах: ܴൌ ݔ
Коэффициент асимметрии вариационного ряда
ሚ
ܣ
ሺͷ െǡሻ͵ʹሺͳെǡሻ͵ሺͷ െǡ
ሚ
ܣ
ൌ
ሺ
͵ െǡ
ͷǡͷ
ήͳͲͲΨ ൎͺǡΨ . Разброс слабый.
ǡ
݉ܽݔെݔ݉݅݊
݉
σ
ሺݔ
ߤ
͵
ൌ
ൌ
͵
ݏ
͵
ሻ
Ͷሺെǡሻ͵͵
͵Ͳ ͷǡͷ
݅
݅ൌͳ
݊ݏ
͵Ͳ ͷǡͷ
͵
െݔҧ
ൌͻെͷͷ ൌ ʹͶ.
͵
ሻ
݊
Ǥ
˅
݅
͵
͵
͵
ሻ
ͺሺͻെǡሻʹ
ൌ ͲǡʹǤ
Вывод: больших вариант, чем среднее значение больше, кривая
пологая справа.
Эксцесс вариационного ряда
ߤ
Ͷ
෨
ܧ
െ͵ൌ
ൌ
Ͷ
ݏ
݉
σ
݅ൌͳ
Ͷ
ҧ
െݔ
ሻ
݊
݊ݏ
Ǥ
˅
݅
݅
െ͵.
Ͷ
ሺݔ
16
ሺͷ െǡሻ
෨
ܧ
ൌ
Ͷ
ʹሺͳെǡሻͶሺͷ െǡ
Ͷ
Ͷ
ሺ
͵ െǡ
͵Ͳ ͷǡͷ
Ͷ
ሻ
ͶሺെǡሻͶ͵
͵Ͳ ͷǡͷ
Ͷ
ሻ
ͺሺͻെǡሻͶ
െ͵ൌെͳǤ
Вывод: более пологое распределение, чем нормальное.
1.5. Оценка статистических параметров по выборочным данным
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по
выборке ограниченного объема, то есть по некоторой части
генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее
свойствах целиком.
Естественно, что замена исследования генеральной совокупности исследованием выборки порождает ряд вопросов:
1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной
совокупности, т. е. в какой степени выборка репрезентативна по
отношению к генеральной совокупности?
2. Какую информацию о значениях параметров генеральной
совокупности могут дать параметры выборки?
3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем
статистические характеристики (средние величины, дисперсия или
любые другие производные величины) равны тем характеристикам,
которые могут быть получены из генеральной совокупности.
Проверка показывает, что значения параметров, полученных
для разных выборок из одной генеральной совокупности, обычно не
совпадают. Рассчитанные выборочным путем числовые значения
параметров выборок являются лишь результатом приближенного
статистического оцениваниязначений этих параметров в генеральной
совокупности. Статистическое оценивание, в силу изменчивости
наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные
значения.
Примечание.Строго говоря, в статистике оценка — это
правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т. е.
провести оценивание, означает указать приближенное значение.
Различают оценки точечныеиоценкиинтервальные.
Точечные оценки параметров распределения
Любая выборочная характеристика, используемая в качестве
приближенного значения генеральной характеристики и получаемая
вычислением одного числа (точки), называется точечной
статистической оценкой.
17
При избрании способа получения точечных оценок
учитывается, что они должны обладать свойствами
состоятельности,
несмещенностииэффективности.
Состоятельная оценка
— точечная оценка, которая при неограниченном увеличении объема выборки приближается (сходится) к
истинному значению оцениваемой генеральной характеристики.
Выборочную среднюю можно считать состоятельной точечной
оценкой генерального среднего.
Несмещенная оценка— точечная оценка, лишенная система-
тической ошибки (Точечная оценка называется несмещенной, если ее
математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом
объеме выборки).
Выборочная средняя (ݔҧ
) – несмещеннаяоценка генеральной
˅
средней.
Выборочнаяоценка дисперсии — смещенная оценка.Поэтому,
если для определения генеральной дисперсии по выборочным данным
используют формулу
ͳ
ʹ
ܵ
˅
݇
σ
ൌ
ሺݔ
݅ൌͳ
݊
݅
െݔҧ
ʹ
ሻ
ή݊
,
˅
݅
то получают смещенную точечную оценку генеральной дисперсии. Для
получения несмещенной точечной оценки генеральной дисперсии из
выборочных данных используют формулу
݊
ʹ
ൌ
ܵ
݊െͳ
ͳ
݊െͳ
݇
σ
ሺݔ
݅ൌͳ
݅
െݔҧ
ʹ
ሻ
ή݊
.
˅
݅
ʹ
ܵ
ൌ
˅
При сравнении формул видно, что они отличаются лишь
знаменателями. Очевидно, что при больших объемах выборки
смещенная и несмещенная (исправленная) дисперсия отличаются
мало.
На практике пользуются исправленной дисперсией если число
наблюдений в выборке не превышает 30 вариант (n< 30), поскольку
при большем числе наблюдений влияние становится не
существенным.
Эффективная оценка— такая точечная оценка, которая гарантирует наименьшее отклонение выборочной оценки от такой же
оценки генеральной совокупности.
Используют в расчетах S – исправленное среднее
квадратическое отклонение (стандартное отклонение):
ܵൌξܵ
ʹ
.
и ошибку выборочной средней (стандартную ошибку среднего):
ܵ
ൌ
݉
..
ҧ
ݔ
݊
ξ
На первый взгляд два параметра: стандартное отклонение и
стандартная ошибка среднего – схожи, но их используют в разных
18
целях. Стандартное отклонение отражает вариабельность в значениях
ݔ
݅
ʹ Ͷ ͷ
݊
݅
ͺ ͻ
ͳͲ
͵
данных и должно быть указано, если вы хотите пояснить
изменчивость в наборе данных. Стандартная ошибка отображает
точность выборочного среднего и должна быть указана, если вас
интересует среднее значение набора данных.
Если случайная величина распределена по нормальному закону,
то ݔҧ является эффективной оценкой.
ЗАДАЧА 3. Найдите состоятельную, несмещенную,
смещенную и эффективную оценки, если совокупность задана
таблицей распределения:
Решение
Состоятельная и несмещенная оценка математического
ожидания:
݇
ͳ
ݔҧ
ൌ
ݔ݅݊
˅
݊
݅ൌͳ
ͳ
ሺ
ʹ ͺͶͻͷͳͲ ͵
ൌ
݅
͵Ͳ
ሻ
ൌ͵ǡͻ
Смещенная оценка дисперсии:
݇
ͳ
ʹ
ܵ
ൌ
ሺݔ݅െݔҧ
˅
݊
ሺʹ െ͵ǡͻሻʹͺሺͶെ͵ǡͻሻʹͻሺͷ െ͵ǡͻ
ൌ
݅ൌͳ
͵Ͳ
Несмещенная оценка дисперсии: ܵ
ʹ
ሻ
ή݊
ൌ
˅
݅
ʹ
ሻ
ͳͲ ሺ െ͵ǡͻሻʹ͵
ͳǡͻʹͻ
ʹ
ൌ
͵Ͳ
ൌ ͳǡͻǤ
ൌͳǡͻ .
Эффективные оценки:
ܵ
ൌ
݉
ҧ
ݔ
ܵൌξܵ
ͳǡͶ
ൌ
݊
ξ
͵Ͳ
ξ
ʹ
ൌξͳǡͻ ൌͳǡͶ.
ൌ Ͳǡʹǡ
1.6. Интервальные оценки параметров распределения
Точечные оценки параметров распределения (выборочное
среднее, исправленная выборочная дисперсия) не дают информации о
степени близости полученного результата к соответствующему
теоретическому параметру. Поэтому, построение интервала, в котором
с заданной степенью достоверности будет находиться оцениваемый
параметр, является более информативным способом оценивания
неизвестных параметров генеральной совокупности. Иными словами
19
по параметрам выборки пытаются определить параметры генеральной
совокупности.
Интервальной оценкой числовой характеристики называется
оценка, определяемая двумя числами, a именно границами интервала,
содержащего оцениваемую характеристику. В статистике используют
так называемые
заданной доверительной вероятности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или
иной заранее заданной вероятностью находится
генеральной совокупности.
Каждой интервальной оценке ставится в соответствие
вероятность (доверительная вероятность или надежность), с которой
эта оценка накроет неизвестный параметр генеральной совокупности.
Вместо доверительной вероятности р часто на практике используют
уровень значимости α=1-p.
Доверительный интервал для математического ожидания
исследуемого показателя Х. Статистические методы позволяют
получать лишь те
которых близка к единице. В этом случае событие, что интервал
накроет характеристику, будет практически достоверным. При
решении статистических задач в фармации, медицине и биологии
доверительную вероятность, как правило, принимают равной Ͳǡͻͷили
(реже) Ͳǡͻͻ. Эти вероятности признаны достаточными для уверенного
суждения о генеральных параметрах на основании
выборочных показателей.
Доверительный интервал для математического ожидания имеет
§
¨
x
вид:
¨
©
где
по статистическим таблицам (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1)или
рассчитывается на ЭВМ (см. Лабораторную работу № 1-2).
)(nt
- обратное (квантиль) распределение Стьюдента, находится
p
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид
доверительные интервалы,
интервальные оценки, доверительная вероятность
1
2
;
x
1
)1(
ntS
D
n
§
2
nS
)1(
¨
2
V
¨
¨
©
2
n
F
1
2
ntS
D
2
n
2
;
2
)1(
DD
2
соответствующие
неизвестный параметр
известных
)1(
·
¸
,
¸
¹
·
nS
)1(
¸
,
¸
n
)1(
F
¸
¹
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]